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13.2 与三角形有关的线段 课前预习2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．如图，平分，过D作交于点E，若，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．6
2．今有三木，其二长分别为三寸、四寸，欲构为三角形．试问下列何者可为第三木？翻译成现代文：现有三根木棍，其中两根长度分别为3寸和4寸，想要与第三根木棍拼成一个三角形．请问下列哪个长度可以作为第三根木棍的长度？（ ）
A．1寸 B．6寸 C．7寸 D．8寸
3．如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（ ）
A．画出三角形薄板的三条高，取其交点
B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点
C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点
D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点．
4．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列叙述正确的是（ ）
①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点
A．②④ B．①②④ C．③④ D．②③④
6．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，7cm B．3cm，4cm，8cm
C．4cm，4cm，8cm D．7cm，7cm，13cm
7．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
8．在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（ ）
A．2 B．13 C．3或13 D．2或12
9．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，则的高与的比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的_________．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做________．
12．小红要剪一个面积为的三角形纸片，它的一边是，那么它这边上的高是_____．
13．下列物体的某些结构都是三角形，其中没有运用三角形稳定性的是______．（填物体名称）
14．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为______．
15．如图，中，E是上的一点，，点D是的中点，若的面积，则_____．
三、解答题
16．画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？
17．嘉淇同学秋游时，发现一位农民伯伯正在浇地，这块地的外形如图所示的，其中边在一条水渠上，这位农民伯伯想在地中再新开一条水渠，把水引到顶点A处，且水渠把地块平分成面积相等的两部分．

(1)这条水渠是的______（填“中线”、“角平分线”或“高”）．
(2)请在图中画出水渠的位置，并说明水渠把三角形地块平分成面积相等的两部分的理由．
18．某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表：
规格（单位：） 1 2 3 4 5 6
价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100
学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为．
(1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？
(2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？
19．我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”．
(1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由；
(2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______．试卷第1页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D A D D C D B
1．【答案】C
【知识点】三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是通过角平分线与平行线的性质推出等角，进而判定等腰三角形．
由平分得，结合得，从而，判定为等腰三角形，得．
【详解】解：∵ 平分，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：C．
2．【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，通过这个关系确定第三边的取值范围，再对照选项选出符合条件的长度.
【详解】解：设第三根木棍的长度为寸，
∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，
∴，
即，
对照选项，只有6寸在的范围内，
故选：B．
3．【答案】B
【知识点】重心的概念
【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键．
根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答．
【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴支撑点是三角形三边中线的交点．
故选：B．
4．【答案】D
【知识点】画三角形的高
【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段，
A、是边上的高，故此选项不符合题意；
B、不是边上的高，故此选项不符合题意；
C、是边上的高，故此选项不符合题意；
D、是边上的高，故此选项符合题意．
5．【答案】A
【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积、画三角形的高
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题．
分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确；
③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误；
④三角形的三条角平分线交于一点，说法正确．
故选：A．
6．【答案】D
【知识点】构成三角形的条件
【分析】直接利用三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意；
B．，不能组成三角形，不符合题意；
C．，不能组成三角形，不符合题意；
D．，能组成三角形，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形，
由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．
8．【答案】C
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：①当的周长大于的周长时，
为边的中线，
，
与的周长差，
与的周长差为5，，
，
解得；
②当的周长比的周长大时，
为边的中线，
，
与的周长差，
与的周长差为5，，
，
解得，
综上或13，
故选：C．
9．【答案】D
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】连接，设，，根据三角形面积之间的关系可得：，，根据，可得．
【详解】解：如下图所示，连接，
设，，
点是边的中点，点在边上，，
，，
，
点是边的中点，
，
，
，
，
，
点在边上，，
，
，
整理得：，
，
．
10．【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解
【详解】解：，，
，即，
，
故选：B
11．【答案】 中线， 三角形的重心
【知识点】重心的概念
【解析】略
12．【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】根据三角形的面积公式，即可求出这边上的高．
【详解】解：设它这边上的高是，
∴由三角形的面积公式可得，解得：，
∴它这边上的高为，
故答案为：．
【点睛】本题灵活考查了三角形的面积公式用法，掌握三角形的面积的知识是解题的关键．
13．【答案】警示牌
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可根据三角形的稳定性进行求解即可．
【详解】解：没有运用三角形稳定性的是警示牌；
故答案为：警示牌．
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，一边长为可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ，周长为．
若一边长为，
分两种情况讨论：
当为腰长时，则，．但，不满足三角形三边关系，故舍去．
当为底边长时，则，，．此时，，满足三角形三边关系，则优美比．
故答案为：．
15．【答案】2
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．本题需先分别求出，再根据即可求出结果．
【详解】解：，
，点是的中点，
，，
，
，
，
．
故答案为：2．
16．【答案】如下图O是的重心．
【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念
【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键．
根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明．
【详解】解：理由如下：
∵O是的重心，
∴、、是的中线，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
同理可得，
∴．
17．【答案】(1)中线
(2)图见解析，理由见解析
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积
【分析】（1）根据中线的性质解答即可；
（2）作于点D，然后根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）由中线的性质可知，这条水渠是的中线．
故答案为：中线；
（2）如图，为水渠，即边的中线为，作于点D，
∵边的中线为，
∴．
∵
∴，
∴三角形的中线把三角形地块平分成面积相等的两部分．

【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分．
18．【答案】(1)有三种规格的钢管可供选择
(2)元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、构成三角形的条件、等腰三角形的定义
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，有理数四则混合运算的应用，熟记：“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系即可求解；
（2）根据等腰三角形定义以及三角形三边关系求出第三边长，进而可求解．
【详解】（1）解：已经购买的两根钢管的长度是和，根据三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，
有三种规格的钢管可供选择；
（2）三角形底座为等腰三角形，
（不符合题意，舍去），，
总费用为（元）．
19．【答案】(1)不是“比高三角形”，理由见解析
(2)3或2
【知识点】三角形三边关系的应用、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形三边关系的应用等知识．
（1）先根据题意得出为最短边上的高，为最长边上的高，再根据等面积法求出，最后根据“比高三角形”的定义判断即可．
（2）根据三角形三边关系结合“比高三角形”的定义得出的三边长分别为，，或，，．设最短边上的高为，最长边上的高为，再结合三角形的面积计算以及“比高三角形”的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：不是“比高三角形”，理由如下：
∵，
∴为最短边上的高，为最长边上的高，
∵，
∴，
∴，k不是整数，
∴不是“比高三角形”；
（2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为，
∴为的最长边，
当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件，
故的三边长分别为，，或，，．
设最短边上的高为，最长边上的高为，
当三边长分别为，，时，
，
解得：，即，
当三边长分别为，，．时，
，
解得：，即，
综上所述， 的“比高系数"k为3或2．
答案第1页，共2页
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