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BY YUSHEN
　第三章　函数
第二讲　函数的简单应用
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一次函数y＝kx＋b（k≠0），k＝tan α（α是直线的倾斜角），k叫做 直线的斜率，b是直线的截距.
　　2. 当k＞0时，函数y＝kx＋b在R上为增函数，当k＜0时，函数y＝kx＋b 在R上为减函数.
　　3. 一次函数模型：根据实际问题，建立自变量x和因变量y的函数模型，通 过待定系数法求解函数解析式，并确定自变量的取值范围.
好题解析＞
　　例1　实验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越 大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是关于其胸径x（m） 的一次函数.已知当这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；当这种树的胸径为0.28 m时，树高 为22 m.则y与x之间的函数解析式为（　　）
A. y＝25x＋15 B. y＝15x＋15
C. y＝15x＋25 D. y＝25x＋25
　　例2　若一次函数f（x）＝kx－1是R上的减函数，则f（2）的值可能为 （　　 ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
　　【参考答案】因为一次函数f（x）＝kx－1是R上的减函数，所以k＜0，所以f（2）＝2k－1＜－1. 故选D.
对点检测1＞
A. y＝8－2x（0＜x＜4）
B. y＝4－x（0＜x＜4）
C. y＝x＋4（0＜x＜4）
D. y＝x－4（0＜x＜4）
【解析】根据题意，x＋y＝4 y＝4－x，x＞0，y＞0，即0＜x＜4.
B
　　1. 自变量在不同的取值范围内有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数.
　　2. 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
　　3. 建立分段函数模型，即根据题意在自变量的每一个范围内确定相应的函 数解析式.
好题解析＞
B. 0 C. 1 D. 2
　　【参考答案】由题意知，f（－1）＝（－1）2＋a＝1＋a.因为a＞－1，所以1＋a＞0，所以f［f （－1）］＝f（1＋a）＝21＋a＝4，即1＋a＝2，得a＝1.故选C.
　　例4　有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分 钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间 的关系如图所示，则y与x的函数解析式为（　　 ）
对点检测2＞
D
【解析】根据题意，解析式分三段.当0≤x≤1.2时，小王从甲城市到乙城市匀速行驶，y＝100x；当 1.2≤x≤2.2时，小王停留在乙城市，此时y＝120；当2.2＜x≤3.7时，小王从乙城市返回甲城市，此时y ＝120－（x－2.2）×80＝296－80x，综上，故选D.
　　1.形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
　　2. 表达形式
　　（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
　　（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）.
　　（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
　　4.二次函数模型：根据实际问题，建立自变量x和因变量y的函数模型，常 用于解决销售最大利润、抛物线最高点及几何体的最大面积等问题.
好题解析＞
A. （0，1］ B. ［0，1）
C. ［0，1］ D. （0，1）
　　例6　某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析可知，若按50元/千克销 售，一个月能售出500千克，且销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单价为x元/千 克，月销售利润为y元，则y与x的函数解析式为（　　 ）
A. y＝（x－40）（500－10x）
B. y＝（x－40）（10x－500）
C. y＝（x－40）［500－10（x－50）］
D. y＝（x－40）［500－10（50－x）］
　　【参考答案】由题意可知，每千克获利（x－40）元，销售量为［500－10（x－50）］千克，则y＝ （x－40）［500－10（x－50）］.故选C.
对点检测3＞
A. 第6秒 B. 第7秒 C. 第7.5秒 D. 第8.5秒
C
A. y＝（10＋x）（100－5x）
B. y＝（10＋x）（100－5x），x∈N
C. y＝（10＋x）（100－5x），x＝2，4，6，8，…，18
D. y＝（10＋x）（100－5x），x＝2，4，6，8，…
C
【解析】根据题意，每张床每晚收费每提高2元，客床租出数量便减少10张，即每张床每晚收费每提1元， 客床租出数量便减少5张，则此时每张床收费10＋x，客床租出数量为100－5x，所以总收入y＝（10＋ x）（100－5x），由题意知x是2的正整数倍，且100－5x＞0，得x＝2，4，6，8，…，18，故选C.
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
C
A. f（2）＜f（1）＜f（4） B. f（1）＜f（2）＜f（4）
C. f（2）＜f（4）＜f（1） D. f（4）＜f（2）＜f（1）
A. ［2，＋∞） B. （－∞，2］
C. ［－2，＋∞） D. （－∞，－2］
A
D
A. 23分钟 B. 24分钟 C. 25分钟 D. 26分钟
C
A. y＝4x＋2 B. y＝－2x＋4
C. y＝－3x＋4 D. y＝－4x＋3
A. a＞－1 B. a＜－1
C. b＞0 D. b＜0
B
A
A. y＝x2＋1 B. y＝x2－1
A. B.
C. D.
D
A
二、填空题
9. 设函数y＝f（x）是一次函数，已知f（1）＝1，f（2）＝3，则f（3）＝ .
5
x 1 2 3 4
2 4 3 1
4 3 2 1
4
1
三、解答题
13. 已知二次函数f（x）＝x2－4x＋5.求：
（1）函数f（x）的对称轴及单调递增区间；
解：（1）因为二次函数解析式为f（x）＝x2－4x＋5，
所以对称轴为直线x＝2，又因为开口向上，所以当x≥2时f（x）为增函数，即单调递增区间为［2，＋ ∞）.
（2）函数f（x）在区间［－3，3］上的最值.
解：（2）因为对称轴为直线x＝2，所以只需求f（－3）＝26，f（2）＝1，f（3）＝2.
所以f（x）max＝f（－3）＝26，f（x）min＝f（2）＝1.
解：（1）函数的定义域为（－∞，0］ （0，＋∞）＝R .
（2）f（2），f（0），f（－1）的值.
解：（2）因为2∈（0，＋∞），所以f（2）＝22＝4；
因为0∈（－∞，0］，所以f（0）＝2×0－1＝－1；
因为－1∈（－∞，0］，所以f（－1）＝2×（－1）－1＝－3.
15. 已知二次函数f（x）＝ax2－2x－4的对称轴是直线x＝1.
（1）求a的值；
（2）若f（x）＞4，求x的取值范围.
解：（2）由（1）知二次函数的解析式为f（x）＝x2－2x－4.
因为f（x）＞4，所以x2－2x－4＞4，解得x＜－2或x＞4.
递进考题＞
一、单项选择题
B. x＋1
B
A. 14元 B. 12元 C. 10元 D. 8元
【解析】∵某人乘坐出租车行驶5.3公里，∴他需要支付的费用为8＋2×（6－3）＝14元.
A
A
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
【解析】由图像可知开口向下，a＜0，所以①错误；图像与y轴交于正半轴，可知c＞0，所以②正确；图 像与x轴有两个交点，可得b2－4ac＞0，所以③正确，所以正确的有2个.
C
A. 函数有最小值0，最大值9 B. 函数有最小值2，最大值5
C. 函数有最小值2，最大值9 D. 函数有最小值0，最大值5
A
A. 有增有减 B. 增减性不确定
C. 是增函数 D. 是减函数
【解析】因为f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，所以m＝0，f（x）＝－x2＋3，开口向下，f （x）在区间（2，5）上是减函数.
D
B
A. B.
C. D.
【解析】分k＞0与k＜0两种情况讨论：当k＞0时，函数y＝kx2开口向上，顶点在原点，而y＝kx－2的 图像过一、三、四象限；当k＜0时，函数y＝kx2开口向下，顶点在原点，而y＝kx－2的图像过二、三、 四象限.
D
二、填空题
9. 已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，若f（1）＝f（2）＝0，则f（3）＝ .
2
10. 某汽车油箱中存油22 kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y（kg）与流 出时间x（分钟）之间的函数关系式为 .
11. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说 法正确的是 .（填序号）
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
④
（－
∞，8］
三、解答题
13. 已知函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且f（1）＝－2.
（1）求f（－1）的值；
解：（1）因为函数f（x）在R上是奇函数，
所以f（－1）＝－f（1）＝2.
（2）若f（t2－3t＋1）＞2，求t的取值范围.
解：（2）因为f（t2－3t＋1）＞2＝f（－1），且f（x）在R上是减函数，所以t2－3t＋1＜－1，解得1 ＜t＜2.
故t的取值范围是（1，2）.
14. 某数学练习册定价为40元，若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券； 若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x（x∈N*， x≤40）本，求总费用f（x）与x的函数解析式（代金券相当于等价金额）.
15. 已知函数f（x）＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0）在区间［2，3］上的最大值为5，最小值为2. 求a，b的值.
真题链接＞
A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （－∞，0］ D. ［0，＋∞）
B
B. f（x）＝x＋1
D. f（x）＝x3＋1
C
A. －5 B. －3 C. 3 D. 5
C
【解析】由题意得f （－3）＝（－3＋1）2＝4，所以f（4）＝4－1＝3.
A. 23 B. 9 C. 3 D. 1
【解析】由题意可知f（4）＝42＝16，f（0）＝a，则f（4）－f（0）＝16－a＝7，得a＝9.
C
B
A. （－4，0） （4，＋∞） B. （－∞，－4） （0，4）
C. （－4，0） （0，4） D. （－∞，－4） （4，＋∞）
C
D
A. 0 B. 1 C. 9 D. 19
【解析】因为函数f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的偶函数，所以a＝0，所以原函数f（x）＝2x2＋1在区间 ［－3，2］上的最小值为f（0）＝1.
B
C. a＜－2 D. a＞－2
B
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，1］ D. ［1，＋∞）
【解析】由题意可知x－1≥0，可得x≥1.
D
C. 2 D. 3
A
A. 最小值为3，最大值为4 B. 最小值为－4，最大值为－3
C. 最小值为－3，最大值为4 D. 最小值为－4，最大值为3
【解析】由奇函数在对称区间上的函数图像关于坐标原点对称可知，f（x）在区间［－2，－1］上的最小 值为－4，最大值为－3.
B
C

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