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第五章：专题2
关联速度问题
高中物理必修第二册课件
主讲老师：xxx
高中物理必修第二册课件
绳连接物体模型
杆连接物体模型
物物直连模型
巩固提升
模型构建
01.
高中物理必修第二册课件
丙　　　　　　　 丁
甲　　　　　　　　　乙
2.常见的模型：
1.模型概述：所谓关联速度模型，就是两个物体通过绳、杆或直接接触发生联系，求两物体速度之间的关系.
特点与方法
02.
高中物理必修第二册课件
1.“关联速度”特点：用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。
2.“ 关联速度” 解题方法：解决问题常用方法是按实际效果分解的方法。在具体应用中还会用到其他不同的方法，如微元法、瞬时功率法和相对运动法等。
具体应用有哪些呢？
绳连接
物体模型
第一部分
模型建构
01.
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如图，绳以恒定速率v 沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠岸，当绳与水面夹角为θ 时，船的速度为多大？
v
θ
A
B
C
v∥
沿绳
垂直于绳
v⊥
v船
若要使船匀速靠岸，则拉绳的速度v有何特点？（匀速？加速？减速？）
模型应用
02.
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算一算：如图,A、B两个物体用细绳相连，A在力F作用下在水平面上运动，B在竖直方向运动。当细绳与水平面间的夹角为θ时，B的速度为v1,求此时物体A的速度多大？
B
θ
V1
F
A
v1
v2
v1
v
θ
v1=vcosθ
v=v1/cosθ
解题关键：找到真正的合速度（实际速度）
解题思路与方法
03.
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1.先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果（一方面是使绳或杆伸缩的效果，另一方面是使绳或杆转动的效果）。
2.确定两个分速度的方向（沿绳或杆方向的分速度和垂直于绳或杆方向的分速度）。
3.按平行四边形定则将合速度进行分解，画出速度分解图。
效果分解法
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例题1
例题精选
04.
如图所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，对于B物体，下列说法正确的是
A．匀加速上升
B．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力
C．匀速上升
D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力
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解析
方法1：效果分解法
05.
【参考答案：B】
设绳子与水平方向的夹角为θ，根据平行四边形定则有：沿绳子方向的速度
v绳=vcosθ，沿绳子方向的速度等于B物体的速度，在运动的过程中，θ角减小，则v绳增大．所以物体做变加速上升．物体的加速度方向向上，根据牛顿第二定律，知绳子的拉力大于B物体的重力．故选B．
【点睛】解决本题的关键知道汽车的速度是沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，以及会根据速度变化情况得出加速度的方向．
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解析
设A 车在极短时间内向左运动一小段距离xA，则B 的位移与A 的位移关系如图所示，由几何关系，有：
两边除以,得
xA
xB
xB
θ
θ
方法2：微元法——选讲
06.
微元法：即两物体在相同的极小时间内发生极小位移，由于绳、杆不可伸长，或直接接触的物体不可形变,两物体沿绳、杆或垂直于接触面方向的分位移相同，即分速度相同。
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解析
从能量的角度理解，绳既不会提供能量，也不会消耗能量，即绳两端弹力的瞬时功率大小相等.设车对绳的拉力和绳对B的拉力大小均为T,绳对B的拉力的瞬时功率大小为P1=TvB,绳对车的拉力的瞬时功率大小为，由P1=P2可解得=vA
方法3：瞬时功率法——选讲
07.
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例题2
例题精选
08.
如图所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（　　）
A．vsinθ B．vcosθ
C．vtanθ D．vcotθ
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解析
【参考答案：A】
由题意可知，线与光盘交点参与两个运动，一是逆着线的方向运动，二是垂直线的方向运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有：
而线的速度的方向，即为小球上升的速度大小，故A正确．
v线=vsinθ
方法1：效果分解法
09.
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解析
设光盘在极短时间内向右运动一小段位移x，由几何关系易知，小球水平位移也为x，竖直位移为
两边除以时间，得小球上升的速度（竖直速度）为
y
θ
θ
y
x’
x
方法2：微元法——选讲
10.
小球的位移为
两边除以
拓展
杆连接
物体模型
第二部分
模型特点
01.
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用轻杆连接的两物体，将两物体的速度沿杆方向和垂直于杆方向正交分解，由于轻杆不可伸长，两物体沿杆方向速度相同，垂直于杆方向角速度相同。
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例题3
例题精选
02.
如图所示，一轻杆连接两个小球A和B（可视为质点），在一竖直直角形墻角开始运动，当杆与竖直 墻壁的夹角为θ时，球B的速度大小为vB，求此时球A的速度大小vA
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解析
【参考答案：A】
小球A、B分别具有沿杆运动和垂直于杆转动的效果.将vA、vB均沿杆和垂直杆方向分解，由图知两球沿杆方向速度大小相等，即vAcosθ=vBsinθ,得vA=vBtanθ.
方法1：效果分解法
03.
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解析
以球B为参考系，即假定B球静止，则A球绕B球做圆周运动.将A球的速度vA沿vB的方向和垂直于杆方向分解如图所示，其沿vB方向的分速度与vB相同，由矢量图可知，vA= vBtanθ.
方法2：相对运动法——选讲
04.
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例题4
例题精选
05.
一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成=30°角，B球的速度大小为v2，则
A．v2=v1 B．v2=2v1
C．v2=v1 D．v2=v1
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解析
【参考答案：C】
球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有 v11=v1sin30°= v1
球B此时速度方向与杆成=60°角，因此
v21=v2cos60°=v2
沿杆方向两球速度相等，即v21=v11
解得v2=v1,故选C。
方法1：效果分解法
06.
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解析
【参考答案：C】
方法2：相对运动法——选讲
07.
以球B为参考系，即假定B球静止，则A球绕B球做圆周运动.将A球的速度v1沿v2方向和垂直于杆方向分解如图所示，其沿v2方向的分速度与v2相同，由矢量图可知，v1=v2
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解法3 瞬时功率法
如图13所示，杆对两球的作用力大小分别为F
和F ,由牛顿第三定律知F =F .两个力的瞬时功率的大小分别为P =|F v cos(90°+θ)|,P =F v cos(90°-0),由P =P 得v =v .
解析
【参考答案：C】
方法3：瞬时功率法——选讲
08.
如图所示，杆对两球的作用力大小分别为F1
和F2,由牛顿第三定律知F1=F2.两个力的瞬时功率的大小分别为P1=F1v1sinθ,P2=F2v2sinθ,由P1=P2得v1=v2
物物连接
模型
第三部分
模型特点
01.
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直接接触的两物体，由于两物体不发生形变，它们在垂直接触面方向的分速度和分加速度相等，若两物体在接触面无相对滑动，则它们沿接触面的切向分速度相同，反之，则不相同.
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例题5
例题精选
02.
如图所示，一个半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0向右做直线运动，带动直杆沿竖直方向上升.杆与柱体的接触点为P,当P点和柱心O点的连线与竖直方向的夹角为θ时，求直杆的速度v.
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解析
由于半圆形柱体对杆的弹力沿OP方向，所以将竖直杆向上的速度沿OP方向和沿半圆面的切线方向进行分解，如图甲所示
将半圆形柱体水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圆面的切线方向分解，如图乙所示。二者在OP方向上的分速度相等，有v2=v3，vcosθ=v0sin θ，得直杆的速度v=v0tanθ.
方法1：效果分解法
03.
高中物理必修第二册课件
解析
以柱体为参考系，杆的速度沿切线向上，将杆的速度分解如图所示.其水平分速度与柱体速度相同，另一分速度沿切线向上.由矢量图得，直杆的速度v=v0tanθ.
方法2：相对运动法——选讲
04.
高中物理必修第二册课件
如图20所示，杆与柱
体之间的弹力大小分别为
Fx、F,有Fx=F.
设杆向上的速度为
v,弹力FN对杆做功的瞬
时功率大小为P =
解析
方法3：瞬时功率法——选讲
05.
如图所示，杆与柱体之间的弹力大小分别为FN、F'N,有FN=F'N.设杆向上的速度为v,弹力FN对杆做功的瞬时功率大小为P1=FNvcosθ,柱体克服弹力F'N做功的瞬时功率大小为P2=|F'Nv0cos(90°+θ)|,由P1=P2，得v=vo tanθ..
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例题6
例题精选
06.
如图，是楔形木块B放在光滑水平平面上靠边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为α，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某一时刻二者速度分别为vA和vB，则
A. vA:vB=1:1
B. vA:vB=sinα: cosα
C. vA:vB=cosα: sinα
D. vA:vB=sinα: tanα
α
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解析
例题解析
07.
【参考答案：B】
因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度vA和木块的速度vB在垂直于接触面的方向上的投影相等，即：vAcosα=vBsinα，即vA:vB＝sinα:cosα，故选B.
vA
vB
α
巩固提升
（部分题目供老师备考参考）
第四部分
高中物理必修第二册课件
练习1
习题精选
01.
如图所示，一轻杆两端分别固定着质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）．将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成θ角时，A球沿槽下滑的速度为vA，则此时B球的速度大小为
A．vAtanθ B．
C．vAcosθ D．vAsinθ
高中物理必修第二册课件
解析
【参考答案：B】
如图所示，将A、B两球的速度分别分解为沿着杆方向和垂直杆方向两个分速度，对A球有vA2＝vAcosθ
对B球有vB2＝vBsinθ
由于vA2、vB2沿着同一个杆，则有vAcosθ＝vBsinθ
解得vB＝
所以B正确；ACD错误；故选B。
解法：效果分解法
02.
高中物理必修第二册课件
练习2
（多选）如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱体上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，下列说法正确的是
A．竖直杆向下做加速直线运动
B．竖直杆向下做减速直线运动
C．v0：v杆=tanθ：1
D．v0：v杆=1：tanθ

习题精选
03.
高中物理必修第二册课件
解析
【参考答案：AD】
AB．杆受半圆柱体的作用力如图所示
因两接触运动物体沿接触弹力方向的分速度相等，所以有v0sinθ=v杆cosθ
杆向下运动，θ变大，tanθ变大，则v杆=v0tanθ
变大，杆做加速直线运动，A正确，B错误；
CD．根据v杆=v0tanθ
得v0：v杆=1：tanθ
C错误，D正确。故选AD。

解法：效果分解法
04.
高中物理必修第二册课件
练习3
（多选）如图，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度ν向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心
的连线与竖直方向的夹角为时，竖直杆向上的运动速度为
D．半圆柱体以速度ν向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时，竖直杆向上的运动速度为
习题精选
05.
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解析
【参考答案：BD】
杆和半圆柱间的作用力如图所示
则半圆柱对杆做功的功率为
杆对半圆柱压力做功的功率为
根据能量守恒有
解得
当半圆柱体向右匀速运动时，逐渐减小，所以杆的速度也逐渐减小，所以杆做减速运动。故选BD。
解法：瞬时功率法
06.
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练习4
如图，顶角θ=60°。光滑V字形轨道AOB固定在竖直平面内，且AO竖直。一水平杆与轨道交于M、N两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t 速度由6 m/s增大到14 m/s（杆未触地），则在0.5t 时，触点N 沿倾斜轨道运动的速度大小为
A．10m/s B．17m/s
C．20m/s D．28m/s
习题精选
07.
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解析
【参考答案：C】
杆自由下落，由运动学公式，v=v0+gt，则
则在0.5t时，杆的下落速度为
，根据运动的分解，触点N沿倾斜轨道运动的速度为合速度，如图所示的两分运动，则有：触点N沿倾斜轨道运动的速度大小
故选C。
解法1：效果分解法
08.
高中物理必修第二册课件
解析
杆做自由落体运动，0.5t 时刻，其竖直下落的速度为
设杆在极短时间内竖直下落位移为x，则由几何关系，有触点N沿倾斜轨道运动的位移为
两边除以,得
N
xN
x
θ
解法2：微元法
09.
高中物理必修第二册课件
练习5
（多选）如图，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处．现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是
A．环到达B处时，重物上升的高度h=d/2
B．小环在B处的速度时，环的速度为
C．环从A到B，环沿着杆下落的速度大小小于重物上升的速度大小
D．环能下降的最大高度为4d/3
习题精选——选做
10.
高中物理必修第二册课件
解析
习题解析
11.
A、根据几何关系有，环从A下滑至B点时，重物上升的高度，故A错误；B、C、对B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v环cos45°=v物，根据系统机械能守恒定律可得，解得：环的速度，故B正确．故C错误．D、设环下滑到最大高度为H时环和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为，根据机械能守恒有
，解得：，故D正确．故选BD．
【参考答案：BD】
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练习6
习题精选——选做
12.
有一只狐狸以不变速度沿着直线逃跑，一猎犬以不变的速率紧追，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在处，猎犬在处，，且（如图），试求此时猎犬的加速度的大小。
【答案】
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解析
【解析】猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小与方向在不断改变。从所讨论的时刻开始考虑一段很短的时间，在这段时间内猎犬运动的轨迹可近似看作是一段圆弧，设其半径为，则加速度是①其方向与速度的方向垂直。如图所示，设在这时间内狐狸与猎犬分别到达与，猎犬的速度方向转过的角度为
②而狐狸跑过的距离是③
因而
④
解法1：微元法
13.
高中物理必修第二册课件
解析
设猎犬在处时加速度为（如图），则在时间内其速度由（方向指向）变为（方向指向），速度增加了，因速度大小不变，方向改变的角度为
由此立即可得
解法2：向量法
14.
THANKS
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