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《圆》单元测试拔高卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：底面半径为，圆锥的母线长为，
则圆锥侧面展开图的面积为
故选：．
根据圆锥的侧面积计算即可．
本题考查圆锥的计算和扇形面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是关键．
2.如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、若，，，则的半径为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：连接，，，
、分别与相切于、两点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
故选：．
连接，，，根据切线的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
3.我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆周率，指出“割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为如图，的半径为，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，作于，

用半径为的圆的内接正八边形面积作近似估计，
，，
，
的面积为，
正八边形面积为
的估计值为
故选：．
作于，利用等腰直角三角形的性质求出的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题．
本题主要考查了正八边形和圆的性质，读懂题意，熟练掌握正八边形的性质是解题的关键．
4.如图，是的直径，点、在上若，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：是的直径，
，
由条件可知，
，
故选：．
根据题意可得，再由三角形内角和定理可得，据此根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键．
5.如图，的半径为，为直径，过中点作交于点，连接，，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点有如下描述：
；
当点由点向点运动时，的长增大；
；
最长时为．
以上描述正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：的半径为，为直径，过中点作交于点，连接，，连接，，
为直径，
，故正确；
，半径长为，为中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
由题意得、、、四点共圆，
，
，
，
∽，
，，故正确，，
当点由点向点运动时，当过圆心时，的长最大，
此时，
，故正确；
随着点继续向点运动，的长度逐渐减小，故错误，
故选：．
根据连接，，根据直径所对的圆周角得到，故正确，再由半径长为，利用锐角三角函数求，再由圆周角定理求出，由圆内接四边形的知识证明，得到∽，推出，，故正确，进而推出，判断，从而求解．
本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特殊角三角函数值，求特殊角等知识，
6.如图，在平面直角坐标系中，半径为的的圆心的坐标为，点为轴上一个动点，过点作的切线，切点为，于点下列结论：的最大值为；的最小值为；的最大值为；若点，则的面积为则其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】B
【解析】解：如图，半径为的的圆心的坐标为，
，，
于点，
，
，
的最大值不可能是，
故错误；
与相切于点，
，
，
，
当的值最小时，则的值最小，
，
，
，
的最小值为，
当时，，
的最小值为，
故正确；
，
当的值最小时，则的值最大，此时的值最大，
当时，，则，
的最大值为，
故正确；
当时，如图，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，
故选：．
由半径为的的圆心的坐标为，得，，因为于点，所以，则的最大值不可能是，可判断错误；由切线的性质得，则，所以当的值最小时，的值最小，由，求得的最小值为，则的最小值为，可判断正确；由，可知当的值最小时，则的值最大，此时的值最大，求得的最大值为，可判断正确；当时，可证明≌，得，由，得，则，求得，，进而求得，可判断正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、切线的性质定理、勾股定理、垂线段最短、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．
7.如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：如图，连接，
，
优弧所对的圆心角为，
，
，
故选：．
连接，利用圆周角定理及角的和差求得的度数，进而求得的度数．
本题考查圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
8.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：直径垂直于弦，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
由勾股定理求出的长，再由垂径定理得到，即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出的长．
9.如图，的直径为，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
的直径为，
，
的长．
故选：．
连接，根据切线的性质得，再利用直角三角形的性质和平角的定义计算出，然后根据弧长公式即可求得结论．
本题主要考查了切线的性质和弧长公式，根据“圆的切线垂直于经过切点的半径”正确作出辅助线，构造直角三角形是解决问题的关键．
10.如图，已知的两条弦，相交于点，，，连接，若为中点，那么的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：，
，
在中，，
为的中点，
，即，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理求出，进而利用三角形内角和求出，再根据垂径定理求出，从而得到，从而得出结论．
本题考查圆周角定理和垂径定理，解题关键是熟知圆周角定理和垂径定理．
11.如图，在中，，，，把所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得，
圆锥的底面周长，
旋转体的侧面积，
故选B．
易利用勾股定理求得母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
12.如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
连接，根据直径所对的圆周角是，得，再根据圆周角定理，可求出，即可求出的度数．
本题考查圆周角定理及其推论，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是．
【解答】
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
故选B．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.如图，两个半径均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心是的中点，则图中阴影面积等于 ．
【答案】
【解析】解：过点作，，垂足分别为，，连接，如图所示，

因为圆心是的中点，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
则四边形是正方形，
所以，
因为，，
所以，
在和中，

所以≌，
所以阴影部分的面积为：，
故答案为：．
过点作，，垂足分别为，，连接，根据题意可得利用圆的性质得到，正方形的判定四边形是正方形，再利用全等三角形的判定证明≌，得到，代入即可得到答案．
本题主要考查了扇形面积的计算、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质及圆心角、弧、弦的关系，熟知全等三角形的判定与性质及扇形的面积公式是解题的关键．
14.如图，为的弦，，为圆上的两个动点记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为，若，下列结论：；若，则；若为弧的中点，则；其中正确的是 填序号
【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，连接，
，，
，即，
由题意可得，，
在和中，
，
≌，
，
为直径，
，即，
，故正确；
，，
，
，
是等边三角形，即是等边三角形，，
，故正确；
为弧的中点，
，
假设，
为等腰三角形，
，
，即，
，
只有时才成立，故不一定正确；
由上述可知，
，，
在中，由勾股定理得，
即，故正确．
故答案为：．
根据圆等弧对等角、等腰三角形的性质、勾股定理等逐项判断即可．
本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质并会运用．
15.如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】解：连接，，，
四边形为正方形，，为圆直径，
，，，
，，
四边形为矩形，
，即
当，，三点共线时，最小，，
则：，
，
，
故答案为：．
由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即，，三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．
本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．
16.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折，得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，
，将沿直线翻折，得到，
，
当点在矩形内部时，如图，，作，交于点，
，，
，
，
∽，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
当点从点出发，一直运动到落在上时，点的运动路径为，
，
点的运动路径长，
当点在矩形外部时，如图，作，交延长线于点，
同理可证∽，，，点在以为直径的圆上运动，连接，
当点运动到点时，
，，
，
，
，
根据翻折的性质，，
，
，，
点的运动路径为圆心角为，半径为的，
点的运动路径长，
点的运动总路径长为．
故答案为：．
由翻折的性质可得，然后分点在矩形内、外两种情况，通过作垂线构造∽、∽，进而推出，确定点在以、为直径的圆上运动，计算对应弧长并相加，得到总路径长．
本题考查翻折变换折叠问题，矩形的性质，弧长的计算，相似三角形判定与性质，通过证明三角形相似确定点的轨迹圆是解题关键．
17.如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为 ．
【答案】
【解析】解：连接，，，如图：

点、、、、在上，
，
，
，即，
所对圆周角的度数是，
故答案为：．
连接，，，由，，可得，故，即所对的圆心角为，故圆周角的度数是．
本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆的相关性质．
18.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
【答案】
【解析】解：如图，连接，
由题意得：，
、，
由条件可知，
，
．
故答案为：．
由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
19.如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，点为上一动点，连接以为直角边作，使，：，则点与点的最小距离为 ．
【答案】
【解析】解：如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，取的中点，连接，，，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
∽，
：：：，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
如图，取的中点，连接，，，由∽，推出：：：，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，勾股定理求出，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，矩形的性质，点与圆的位置关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
20.如图，点、是上两定点，圆上一动点从定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是图是随变化的关系图象，则图中的值是 ．
【答案】
【解析】解：从图看，当时，，即此时、、三点共线，
则圆的半径为，
当时，，
是直角三角形，且，
则点从点走到、、三点共线的位置时，如图所示，
此时，走过的角度为，则走过的弧长为，
点的运动速度是 ，
当时，，即是等边三角形，
，
，
此时点走过的弧长为：，
，
故答案为：．
从图看，当时，，即此时、、三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点从点走到、、三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解．
本题考查的是动点图象问题，求弧长，勾股定理逆定理，圆的基本知识，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，在中，半径，分别交弦于点，，且．
求证：；
求证：．
【答案】证明过程见解答；
证明过程见解答
【解析】证明：过作于，连接、，
，，
，，
，
；
，，，
，，
，
，
．
过作于，连接、，根据等腰三角形的性质求出，，再求出答案即可；
根据等腰三角形的性质求出，，求出，再求出答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合是解此题的关键．
22.本小题分
如图，已知扇形，，．
已知点是的中点，过点作的切线要求：保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，连接线段交切线于点，求与线段、线段所围图形的面积．
【答案】如图，直线即为所求；
【解析】解：如图，直线即为所求；
是的中点，
，
是切线，
，
，
，
，
与线段、线段所围图形的面积．
过点作直线即可；
根据与线段、线段所围图形的面积，求解即可．
本题考查作图复杂作图，扇形的面积，三角形的面积，切线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23.本小题分
如图，已知经过，，三点，点在边上，，．
求作；请保留尺规作图痕迹，不写作法
求证：是的切线．
【答案】解：经过，，三点，，
为的直径．
如图，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
证明：连接，
，
，
，
，
．
，
，
即．
为的半径，
是的切线．
【解析】结合圆周角定理可知，为的直径．作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可．
连接，由题意可得，进而可得结合切线的判定可知，是的切线．
本题考查作图复杂作图、圆周角定理、三角形的外接圆与外心、切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
24.本小题分
如图，点为圆内一点，为该圆的一条弦．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作直线与平行，分别交该圆于点、点在点的左侧；不写作法，保留作图痕迹
在中，若与位于圆心异侧，且，，若该圆的半径为，则该圆位于和之间的图形的面积为______如需画草图，请使用试题中的图
【答案】
【解析】解：如图：为所求；
如图，过点作于点，于点，连接、、、，则，，
在中，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
同理可得，
该圆位于和之间的图形的面积．
故答案为：．
延长交于点，再作交于点，然后延长交于点，则满足条件；
过点作于点，于点，连接、、、，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，所以，于是可判断≌，
所以，，接着证明，则，同理可得，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于和之间的图形的面积进行计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、垂径定理和全等三角形的判定与性质．
25.本小题分
如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．
求证：直线与相切；
若，，求直径的长．
【答案】证明：连接，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
是的半径，
直线与相切；
解：设的半径为，
在中，，
，
，
．
【解析】连接，由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得，进而可证≌，最后利用全等三角形的性质即可解答；
设的半径为，先在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．
26.本小题分
根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径如图，石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图所示．
素材 通过观察发现，，三个点都在拱圈上，是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，，两个点都是花岗岩的顶点如图．
素材 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长包括手掌、手指称为肘如图，利用该方法测得一块花岗岩的长和宽如图．
问题解决
任务 获取数据 通过观察、计算，两点之间的水平距离及铅垂距离高度差．
任务 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
【答案】解：任务：根据素材，观察图形可知一块花岗岩的长为肘、宽为肘，
根据素材、素材，观察图形，，两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则时，
，两点之间的铅垂距离高度差有块花岗岩的宽，则肘，
答：，两点之间的铅垂距离高度差为肘，铅垂距离高度差为肘；
任务：如图，作过点的水平线，过点作该水平线的垂线，垂足为，作于，记圆心为，连接、，
观察图形，肘，肘，肘，
设，则，
，，，
，
解得：，
，
石拱桥拱圈的半径为肘．
答：石拱桥拱圈的半径肘．
【解析】任务：根据素材，观察图形可知一块花岗岩的长为肘、宽为肘，根据素材、素材，观察图形，得出，两点之间的水平距离及铅垂距离高度差即可；
任务：作过点的水平线，过点作该水平线的垂线，垂足为，作于，记圆心为，连接、观察图形，得出观察图形，、、的长，设，则，根据勾股定理，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径．
本题考查了圆的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键．
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《圆》单元测试拔高卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
2.如图，、分别与相切于、两点，点在上，连接、若，，，则的半径为( )
A.
B.
C.
D.
3.我国魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆周率，指出“割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为如图，的半径为，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为( )
A. B. C. D.
4.如图，是的直径，点、在上若，则( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，的半径为，为直径，过中点作交于点，连接，，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点有如下描述：
；
当点由点向点运动时，的长增大；
；
最长时为．
以上描述正确的有( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，半径为的的圆心的坐标为，点为轴上一个动点，过点作的切线，切点为，于点下列结论：的最大值为；的最小值为；的最大值为；若点，则的面积为则其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7.如图，是的直径，，是上的点，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，的直径为，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知的两条弦，相交于点，，，连接，若为中点，那么的值为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在中，，，，把所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
13.如图，两个半径均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心是的中点，则图中阴影面积等于 ．
14.如图，为的弦，，为圆上的两个动点记弦所对的圆心角度数为，弦所对的圆心角度数为，若，下列结论：；若，则；若为弧的中点，则；其中正确的是 填序号
15.如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是 ．
16.如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折，得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
17.如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为 ．
18.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
19.如图，矩形中，，，以为圆心，为半径作，点为上一动点，连接以为直角边作，使，：，则点与点的最小距离为 ．
20.如图，点、是上两定点，圆上一动点从定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是图是随变化的关系图象，则图中的值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，在中，半径，分别交弦于点，，且．
求证：；
求证：．
22.本小题分
如图，已知扇形，，．
已知点是的中点，过点作的切线要求：保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，连接线段交切线于点，求与线段、线段所围图形的面积．
23.本小题分
如图，已知经过，，三点，点在边上，，．
求作；请保留尺规作图痕迹，不写作法
求证：是的切线．
24.本小题分
如图，点为圆内一点，为该圆的一条弦．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作直线与平行，分别交该圆于点、点在点的左侧；不写作法，保留作图痕迹
在中，若与位于圆心异侧，且，，若该圆的半径为，则该圆位于和之间的图形的面积为______如需画草图，请使用试题中的图
25.本小题分
如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．
求证：直线与相切；
若，，求直径的长．
26.本小题分
根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径如图，石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图所示．
素材 通过观察发现，，三个点都在拱圈上，是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，，两个点都是花岗岩的顶点如图．
素材 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长包括手掌、手指称为肘如图，利用该方法测得一块花岗岩的长和宽如图．
问题解决
任务 获取数据 通过观察、计算，两点之间的水平距离及铅垂距离高度差．
任务 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
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