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分课时学案
课题 3.2.2公式法 单元 三 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解求根公式的推导过程,掌握公式法解一元二次方程的方法,能准确运用公式求解并判断根的情况。 2.经历配方推导公式的过程,提升代数推理、字母运算与归纳概括能力,体会从一般到特殊的思想。 3.规范解题步骤,准确识别a,b,c并计算判别式,养成严谨运算、书写规范的习惯。 4.感受求根公式的简洁性与通用性,体会数学内在逻辑美,增强代数解题信心。
重点 1.求根公式的理解、记忆与正确运用。 2.公式法解方程的规范步骤：化一般形式→定 a,b,c→算判别式→代入公式→求根。
难点 求根公式的字母推导过程与判别式符号对根的影响的理解。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.用配方法解方程的关键步骤是什么？ 2.一元二次方程的一般形式是什么？ 探究问题 能否给所有一元二次方程找到一个通用求解公式,不用每次都配方？
新知讲解 探究活动一:求根公式的推导 探究: 运用配方法解一元二次方程时,对于每一个具体的方程,都重复使用了一些相同的计算步骤,这启发我们去探索：能不能对一般形式的一元二次方程使用配方法,求出这个方程的根呢？ 对于方程 ① 为了便于配方,在方程①的两边除以,得 . 把方程的左边配方,得 , 思考:为什么要加上 结合完全平方式的结构特征:首平方,尾平方,积的二倍在中央. 因此. ② 当时,方程②可化为: . 将一元二次方程转化为两个一元一次方程. 根据平方根的意义,得 或, 解得:, . 于是,一元二次方程在的条件下,它的根为: . ③ ③式叫作一元二次方程的求根公式. 由求根公式可知,一元二次方程的根由方程的系数 a,b,c决定,这也反映出了一元二次方程的根与系数之间的一个关系. 今后可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 方法总结: 探究活动二:用公式法解一元二次方程 例5:用公式法解下列方程: (1); (2). 例6 用公式法解下列方程：. 方法总结: 探究活动三:黄金分割比 思考:如图3.2-1,我们已经知道,若,则称为黄金分割比,且其数值为.问:这个数值是如何求出的 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.用公式法解一元二次方程时,化方程为一般式当中的a,b,c依次为( ) A.2,－3,－1 B.2,3,1 C.2,－3,1 D.2,3,－1 2.用公式法解方程,其中求得的值是( ) A.16 B.±4 C.32 D.64 3.当x满足时,方程的根是( ) A. B. C. D. 4.若方程是一元二次方程,则方程的根是( ) A. B. C. D.以上答案都不对 5.方程的解是 . 6.已知等腰三角形的一腰为,周长为,则方程的根为 . 7.定义,则方程的解为 . 8.用公式法解方程. (1). (2). 9.阅读理解： 方程的根是.方程的根是. 因此,要求的根,只需求出方程的根,再除以就可以了. 举例：解方程. 解：先解方程y2＋8y＋72×＝0,得y1＝－2,y2＝－6, ∴方程72x2＋8x＋＝0的两根是x1＝,x2＝.即x1＝－,x2＝－. 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程49x2＋6x－＝0.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.用公式法解方程,其中的值是( ) A.16 B.24 C.8 D.4 2.用公式法解方程所得的解正确的是( ) A. B. C. D. 3.用公式法解一元二次方程,得,则该一元二次方程是　 　. 4.方程的解为　 　. 5.解方程: (1); (2); (3). 能力提升: 6.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则三角形的周长为( ) A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对 7.小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中,会得到一个新的实数a2-2b+3,若将实数对(x,-3x)放入其中,得到一个新数为5,则x= . 8.方程的根为( ) A.x=4 B.x=-1 C.x=4或x=-1 D.以上都不对 9.方程的根是( ) A. B. C. D. 10.若实数范围内定义一种运算“﹡”,使,则方程的解为( ) A.-2 B.-2,3 C., D., 11.已知代数式与代数式的值互为相反数,则x= . 12.已知a,b满足,则关于的方程的解是 　 　. 拓展迁移: 13.用公式法解下列方程: (1);(2). 14.已知关于的一元二次方程,其中分别为△ABC三边的长. (1)若x=1是方程的根,求证:△ABC是等腰三角形; (2)若方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
参考答案：
复习回顾
1.化二次项系数为 1→移项→配方→开方→求解。
2.。
3.可以,通过对一般形式配方可推导出通用公式。
探究一：
探究二：
例5:
解：(1)这里.
因而.
所以.
因此,原方程的根 .
(2)移项得,
这里.
因而.
所以.
因此,原方程的根.
例6:解：这里.
因而,
所以.
因此,原方程的根 .
探究三：
解:设,那么.
因为,
所以,
即.
解得, (不合题意,舍去).
所以.
课堂练习：
1.A;2.D;3.D;4.B;5. x1＝,x2＝
6.;7. x1＝,x2＝;
8. 解:(1)∵a＝1,b＝2,c＝－2,
∴b2－4ac＝22－4×1×(－2)＝12＞0,
∴x＝＝－1±,
即x1＝－1＋,x2＝－1－.
(2)∵a＝3,b＝2,c＝－1,
∴b2－4ac＝22－4×3×(－1)＝16＞0,
则x＝,∴x1＝,x2＝－1.
9. 解:先解方程y2＋6y－49×＝0,
即 y2＋6y－7＝0,
解得y1＝1,y2＝－7,
∴方程49x2＋6x－＝0,
解得x1＝,x2＝－.
课后提升：
1.B;2.D;3. 2x2+3x-1=0;4. x1=2,x2=-;
5. 解:(1)∵x2-x-4=0,
∴a=1,b=-1,c=-4,
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-4)=17>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
(2)∵a=3,b=4,c=-2,
∴b2-4ac=42-4×3×(-2)=40>0,
则x==,
∴x1=,x2=.
(3)2x2-3=x(x-4),
整理得x2+4x-3=0,∵b2-4ac=42-4×1×(-3)=16+12=28>0,
∴x===-2±,
∴x1=-2+,x2=-2-.
6.B;7.;8.D;9.B;10.D;11.;12. x1=,x2=;
13. 解:(1)原方程整理可得x2-2x-4=0,
∵a=1,b=-2,c=-4,
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-4)=24>0,则x==±,
∴x1=+,x2=-.
(2)原方程整理得3y2-8y-2=0,
∵a=3,b=-8,c=-2,
∴b2-4ac=(-8)2-4×3×(-2)=88>0,
则y==,
∴y1=,y2=.
14. 解:(1)∵x=1是一元二次方程(a-c)x2-2bx+(a+c)=0的根,∴(a-c)-2b+(a+c)=0,a≠c,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;
(2)△ABC是直角三角形,理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴b2-4ac=(-2b)2-4(a-c)(a+c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,
∴b2+c2=a2,
∴△ABC是直角三角形.
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