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广西贵港市市辖区高中2025-2026学年高二下学期期末学科素养检测数学试卷
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．某质点的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．1
7．在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知某AI软件公司为迎合市场需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据得到经验回归方程，则（ ）
月份x 1 2 3 4 5
利润y 5 8 10 12 15
A．
B．可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元
C．可以估计10月份的利润为25万元
D．5月份利润的残差为0.4万元
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
11．甲 乙 丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．第5次传球后球在乙手中有11种传法
C．数列为等比数列
D．
三、填空题
12．在的展开式中，的系数是________.（用数字作答）
13．在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有______人．（参考数据：，）
14．过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为A，B，当最大时，四边形的面积为________.
四、解答题
15．已知直三棱柱，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若点到平面的距离为，求二面角的正弦值．
16．我国清洁能源产业领跑全球，风电、光伏等发电规模稳居世界首位．如今我国率先开辟全新发展赛道，依托本土充沛低价绿电搭建智算中心，将电能转化为算力进而生成AI Token完成对外输出．我国自主生成的AI Token综合成本仅为欧美市场的，国产自研AI模型在全球算力服务时长中占比超，行业优势十分突出．为研究AI技术普及前后，电力企业依托Token出海模式的收益变化是否存在关联，调研人员抽取家电力企业开展统计，得到如下列联表：
收益显著提升 收益未明显提升 合计
AI技术推出前
AI技术推出后
合计
(1)根据小概率值的独立性检验，分析电力企业收益提升情况与AI技术推出是否有关联；
(2)利用分层抽样从全部家企业中抽取家企业，再从抽取到的企业里随机选取家，设这家企业中收益显著提升的企业数量为，求的分布列与数学期望．
附，其中，
17．已知函数，.
(1)若函数在点处的切线方程为，求，的值；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.
18．已知数列，的前n项和分别为，，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：当时，．
19．如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点.
(1)求点的坐标，及双曲线的离心率；
(2)若线段AB的中点为，求直线的方程；
(3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案
1．B
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
2．A
【详解】由得，
所以，所以在复平面内对应的点的坐标为.
3．B
【详解】由运动路程与时间的关系为，可得，
当时，，即质点在时的瞬时速度为.
4．B
【详解】由题意，圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，
所以圆锥的侧面积为.
5．A
【详解】由题意：，所以.
所以.
当时，（）.
6．C
【详解】由，
则由正弦定理有，即
则由余弦定理有，
又在△ABC中，，则，
又，即，
所以△ABC的面积为．
7．B
【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”，
题目给出，，，
则，
已知选了化学，所求为条件概率：.
8．C
【详解】设,则,.
由椭圆的定义可知,所以,所以,，
在△ABF1中,.
所以在△AF1F2中,,
即整理可得：,
所以
故选：C
9．AB
【详解】.
，A选项正确.
，其斜率为，其含义为月份每增加1，月利润增加约万元，B选项正确.
令，可以估计月份的利润万元，C选项错误.
令，可以估计月份的利润，
由表格可得月份的实际利润为万元，
故月份利润的残差万元，D选项错误.
10．AC
【详解】由题意得
，
对于A，，A正确；
对于B，当时，，
此时正弦函数在上单调递增，
在上单调递减，因此在上不单调，B错误；
对于C，对称轴满足 ，
令，解得是图像的对称轴，C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度得到，
且平移后的函数与的振幅不同，并非同一函数，D错误.
11．ABD
【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为，
，所以为等比数列，C错误；
为首项是，公比是的等比数列，
，故A正确；
前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率，
∴传到乙手中共有11种传法，B正确；
，显然，
，D正确.
12．
【详解】展开式的通项．
令，得，
则，
所以的系数是.
13．840
【详解】由题设，
所以，
所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人.
故答案为：
14．
【详解】
圆的标准方程为：，
其圆心到直线的距离为，故直线与圆相离.
连接，在Rt中，，
则当的长度最小时，最大，此时最大.
而的最小值即为圆心到直线的距离，即，此时切线长，
由于Rt，
故四边形的面积，
故答案为：.
15．(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）
证明：因为为直三棱柱，故平面，所以；
又因为，且，平面，
所以平面，
因为平面，故平面平面；
（2）由(1)知，平面，平面，
故，，；
以A为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系；
设，则，，，，
则，，
设平面的法向量，
则，故，令，可得：；
因为点到平面的距离为，
故，即，，解得或（舍去）；
故；
，，
设平面的法向量，
则，故，令，可得：；
设二面角的平面角为，
则，
因为，则．
故二面角的正弦值．
16．(1)根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联
(2)的分布列为
．
【详解】（1）零假设：电力企业收益提升情况与AI技术推出无关联，
根据表中数据可得，，
因为，所以零假设不成立，
根据小概率值的独立性检验，认为电力企业收益提升情况与AI技术推出有关联．
（2）抽样比：，收益显著提升的企业共家，抽取数量：家，
收益未明显提升的企业共家，抽取数量：家，
抽取的家企业中，家 “收益显著提升”，家 “收益未明显提升”，
由题意，服从超几何分布：的可能取值为，
，，，
，，
所以的分布列为
．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题，，因为在处的切线为，所以，
代入得切点为，切点在切线上，则.
（2）由题，求导得，
由在上单调递增，得在上恒成立，
当时，，因此在上恒成立，又，则
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，则，
当时，，
所以，化简得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，因此
（2），，
则，
所以，
两式相减得，
即，
故.
所以当时，，
所以．
19．(1)，
(2)
(3)过定点，定点坐标为．
【详解】（1）由题可得：，
所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为：
（2）由消去整理得，，
则，且，
设，则，
由为的中点，可得，
解得，满足，
所以直线l的方程为，即.
（3）由（2）知，．且，
则
，
因以为直径的圆恒过点P，则有，
即，解得或，
当时，直线过，不符合题意；
当时，直线过定点，
所以直线l过定点，该定点坐标为.

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