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河南郑州市第八共同体2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．若复数，则的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，，18，20，20，若该组数据的分位数是16，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
4．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　）
A．， B．，
C．， D．，，
6．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．向量，，的模长均为2，且满足，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，下列选项正确的是（ ）
A． B．向量在向量上的投影向量是
C． D．与向量方向相同的单位向量是
10．一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（ ）

A．存在点，使得四边形为菱形
B．对于任意点，都有直线平面
C．对于任意点，都有平面平面
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．在平行四边形中，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数是_______.
13．已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的体积与球的体积也相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比______.
14．如图，设，，线段与交于点，且，则的最小值为_____.
四、解答题
15．已知m为实数，设复数．
(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(2)设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围．
16．中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，，，，，，共六组，并制作如下频率分布直方图.
(1)求续航能力在区间内的实验次数；
(2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取5次实验，再从这5次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验的概率.
17．在中，内角的对边分别为，.
(1)求角A；
(2)若，，求的平分线的长.
18．矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面.在新构造的四棱锥中，求解以下问题：
(1)求四棱锥的体积.
(2)求点到平面的距离.
(3)求二面角的余弦值.
19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为、中点，求的最大值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C D A A AC BD
题号 11
答案 ACD
1．B
解析：，则，则的虚部是
2．C
解析：斜二测画法的直观图为等腰梯形，，，,
则，
还原后直观图中，
故四边形的面积为．
3．D
解析：该组数据共个，则.
已知分位数为，因此，解得.
4．B
解析：设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到红球”。则.
因为袋中共有5个球，其中红球2个，绿球3个，所以，；，.
故.
5．C
解析：对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意；
对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意；
对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意.
6．D
解析：由题意得，扇形半径，圆心角，弧长公式，
所以.
底面周长，所以.
圆锥母线长等于扇形半径，则圆锥的高.
所以圆锥体积为.
7．A
解析：.
，则.
则.
8．A
解析：，由正弦定理得，
即，，
因为为锐角三角形，所以，故，
因为在上单调递增，所以，故，
故，
，
由正弦定理得，即，
故，
由，和可得，
故，，故.
9．AC
解析：因为，，所以，，即，故A正确；
向量在向量上的投影向量是，故B错误；
因为，，所以，，故C正确；
与向量方向相同的单位向量是，故D错误.
10．BD
解析：因为数据的平均数为5，方差为2，极差为7，不妨设，
则，的平均数为，故A错误；
方差为，故B正确；
极差为，故C错误；
若为偶数，则的中位数为，即，
的中位数为；
若为奇数，则的中位数为， 的中位数为；
故D正确.
11．ACD
解析：对于选项A，因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以.
同理，所以四边形为平行四边形，
设正方体棱长为1，设，
则，，
令，即，解得，
即当为中点时，四边形为菱形，故A正确；
对于选项B，连接，则平面平面，
若平面，且平面，则，
又，，故四边形为平行四边形，
故相交，矛盾，故B错误；
对于选项C，连接，，，，
由平面，平面，得，
由为正方形，易知，
因为，平面，平面，
平面，，同理可证，
，平面，
平面，又平面，
平面平面，故C正确；
对于选项D，设正方体棱长为，.所以三棱锥的体积为定值，故D正确.
12．
解析：由题意，，，.
因为四边形为平行四边形，所以，即.
代入得，故点D对应的复数为.
13．
解析：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为，
则圆柱的体积，球的体积为，
因为圆柱的体积与球的体积相等，所以，得，
则.
14．
解析：由题可得：；
又因三点共线，可得.
由平面向量基本定理可得：.
则，
当且仅当时取等号.
15．(1)
(2)
解析：（1）由题意得，
解得．
（2）复数在复平面内对应的点的坐标为，
因为复数z在复平面内对应的点为时，满足，
所以，
即，
解得或，
所以的取值范围为．
16．(1)120
(2)百公里
(3)
解析：（1）由频率分布直方图的性质，可得，
解得，
即续航能力在区间内的频率为，
所以续航能力在区间内的实验次数为次.
（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以估计这类汽车的续航能力的平均数为5.38百公里.
（3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为，
所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取5次实验，
则在中的有2次实验，在中的有3次实验，
设在中的有2次实验为，在中的有3次实验分别为，
可得.
所以从这5次实验中随机抽取2次实验，共有10种不同的取法，
设事件“2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验”
可得，共有7个基本事件，
所以事件的概率为
可得这2次实验中至少有一次有续航能力在中的实验概率为.
17．(1)
(2)
解析：（1），
即有，
由正弦定理可得，
则，
又，故；
（2）由余弦定理得，
又，所以，
由得，
所以，
解得.
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故.
因为是等腰三角形，所以.
翻折后，因为平面平面，且平面平面，
根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高，
又因为，所以，
又因为，
所以四棱锥的体积.
（2）由（1）可知，.
由题意可知，，，，
在中，.
设点到平面的距离为，
又即，解得.
（3）在矩形中，，，
∴，∴.
又平面平面，平面，平面平面，
∴平面，
∵平面，∴，，，，
在中，，∴.
又，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角，
在中，，
∴二面角的余弦值为.
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，
，
则，
因为与的夹角为，所以，解得.
又，，所以.
（3）依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则
，
因为为中点，同理可得，
所以，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
，，
故当时，取最大值为，
的最大值为.

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