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陕西省汉中市勉县第二中学等学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题
一、单选题
1．经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
4．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
5．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
8．设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于直线和直线，以下说法正确的有（ ）
A．直线过定点
B．若，则
C．的充要条件是
D．点到直线距离的最大值为5
10．已知椭圆的长轴的端点是双曲线的焦点，且椭圆的焦点在双曲线上，则（ ）
A．椭圆的一个焦点坐标是 B．椭圆的长轴长为2
C．椭圆的离心率是 D．椭圆的离心率是
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A． B．
C．的离心率为 D．直线的斜率为
三、填空题
12．已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为__________.
13．圆心为点，且过点的圆的标准方程是________．
14．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
四、解答题
15．已知直线过定点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16．已知圆过三点，，．
(1)求圆的方程；
(2)设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程．
17．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
19．已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
参考答案
1．A
【详解】由于倾斜角为，所以，
所以直线方程为：，
整理得：，
故选：A
2．A
【详解】当时，得，此时与不垂直；
当时，若，则，解得.
故选：A.
3．C
【详解】因为圆的半径为，圆心为，
所以圆心到直线的距离为，故直线与圆相切，
故选：C.
4．A
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
则，故，所以两圆内含；
故选：A
5．D
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
6．B
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
7．D
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
8．B
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
9．ABD
【详解】A：由，即直线恒过定点，对；
B：，则，可得，对；
C：，则，可得，即或，
时，，，满足；
时，，，满足，
综上，或，错；
D：点到直线距离的最大值，是到定点的距离，即为5，对.
故选：ABD
10．AD
【详解】双曲线的焦点为，
所以椭圆的长半轴，
又因为椭圆的焦点在双曲线上，所以椭圆的焦点为双曲线的顶点，
则，，
对于A，椭圆的焦点坐标是，，故A正确；
对于B，椭圆的长轴长为，故 B错误；
对于CD，椭圆的离心率是，故C错误，D正确；
故选：AD.
11．ACD
【详解】如图，由，可设，.
因为，所以.
设，，则，，，解得，
则，，
所以，故A选项正确；，故B选项错误；
在中，由，得，则，
从而的离心率为，故C选项正确.
又，所以直线的斜率为，故D选项正确.
故选：ACD.
12．
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程是，即.
故答案为：.
13．
【详解】因为，，所以圆半径，
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
14．
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
15．(1)；
(2)或
【详解】（1），
所以直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2．
又因为直线过点，
所以直线的方程为，即．
（2）直线过原点时，设直线的方程为，
因为直线过点，所以，
所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，因为直线l在两坐标轴截距相等，
所以设直线的方程为，即，
因为直线过点，所以，
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
16．(1)
(2)或
【详解】（1）设圆G的方程为，
因为圆过三点，，，
所以 ，解得,
圆G的方程为.
（2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆，
（i）若直线的斜率不存在，
则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切;
（ii）若直线的斜率存在，
则设直线方程为 即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，
解得,所以切线方程为.
综上，切线方程为或.
17．(1)
设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面．
(2)
连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．
【详解】（1）略
（2）略
18．(1)
(2)
【详解】（1）椭圆的焦点为和，
所以双曲线的，所以，
又双曲线过点，所以，
由，解得，
双曲线的标准方程为
（2）设，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，
得，
所以，
则的面积，

19．(1)椭圆的方程为，离心率为.
(2).
【详解】（1）如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.

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