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辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷
一、单选题
1．下列各角中，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．设复数则z的虚部是（ ）
A．i B． C．i D．
3．的值等于（ ）．
A． B． C． D．
4．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，,,,,垂足为，则（ ）
A． B． C． D．4
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A． B．在复平面内对应的点在第四象限
C． D．
10．在棱长为2的正方体中，．点P是线段上的动点，则（ ）
A．当时，则 B．三棱锥的体积为定值
C．平面 D．线段长度最小值为
11．已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ）
A．若的一个对称中心为，则
B．若为偶函数，则
C．若在区间内有三个零点，则
D．若在区间上单调递增，则的最大值为
三、填空题
12．写出函数的一个对称轴方程为__________.
13．化简：__________.
14．在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________.
四、解答题
15．已知.
(1)求和的值；
(2)若，求的值．
16．如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点，
(1)求证:平面;
(2)求证:;
(3)若，求三棱锥的体积．
17．在中，内角的对边分别为，已知，.
(1)求证：为直角三角形；
(2)若，A的角平分线长为，求的值．
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，且.

(1)求证：平面平面;
(2)当时，求直线与平面所成角的大小；
(3)当时，求二面角的正切值的取值范围．
19．已知向量，，函数.
(1)求的周期和单调递增区间；
(2)若对任意，方程都有解，求实数的取值范围；
(3)设，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C C A A BD ABC
题号 11
答案 BCD
1．C
解析：因为与终边相同的角的集合为：.
当时，；
若，则不是整数；
若，则不是整数；
若，则不是整数.
2．B
解析：，其虚部为
3．A
解析：
故选：A.
4．B
解析：由题意可得 ，，
所以，故.
5．C
解析：对于A，若，，则，A错误.
对于B，若，，则或与相交，B错误.
对于C，若，，则，C正确.
对于D，若，，则，D错误.
6．C
解析：如图所示，连接对角线交于点，连接.
因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点.
因为平面， 平面，且平面平面，由线面平行的性质得.
因此是的中位线，故是的中点，即.
设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积，
因为 的面积是正方形面积的一半，即 ，
因为是中点，所以到底面的距离为.
所以，所以 .
7．A
解析：由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期，
故，此时；
将最低点代入可得，即，
所以，可得.
又，所以，所以；
将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
由三角函数图象伸缩变换的规律可得．
8．A
解析：如图：
因为，所以.
且，所以.
所以.
9．BD
解析：对于A，根据共轭复数的定义可知，，错误；
对于B，根据复数的几何意义可知，对应点，位于第四象限，正确；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
10．ABC
解析：在线段上取点使得，由可得，
由可得，则，
因为平面，，所以平面，
又平面，所以，又，所以，故A正确；
因为平面，线段，所以点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
连接，因为平面平面，
所以平面，
又，同理可得，平面，
又平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，故C正确；
连接，在中，，
在中，，
在中，，
在中利用余弦定理可得，
则，
则线段长度最小值为，
故D错误.

11．BCD
解析：.
由题意知，则，又，则，所以，
故.
对于A，若的一个对称中心为，
则，
可得，，所以，.
又，所以，A错误.
对于B，若为偶函数，则，，
所以，，
又，所以，B正确.
对于C，当时，，
且区间的长度为，
若在区间内有三个零点，则，，则，，
又因为，故，C正确.
对于D，当时，，
因为，所以，
若在上单调递增，则，
即，解得，故的最大值为，D正确.
12．（答案不唯一）
解析：令，解得，
所以函数的对称轴方程为.
13．1
解析：.
14．/
解析：由题意，如图所示，取中点，连接，，
因为与都是边长为的等边三角形，所以，，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以是等边三角形，
所以，
设与的外接圆圆心分别为，，
则，，
同理，，
分别过点，作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为点，
由对称性，，则，
所以，，
所以三棱锥外接球的表面积为，

15．(1)，
(2)
解析：（1）由，且，
将两边同时平方并整理得：，所以，
故，，
方法一：由，
解得：，
方法二：由题意可得，
于是，
所以，
解得：，.
（2）由（1）知，，
可得，
又，
所以．
16．(1)证明：在中，，分别为，的中点，
于是，
由直三棱柱可得：，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
(2)证明：在中，为的中点且，
可得，
由直三棱柱可得，平面，
又平面，，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
(3)当，且，D，E分别为的中点，
所以是边长为1的正三角形，
由直三棱柱可得，平面，即为三棱锥的高
则
解析：（1）略
（2）略
（3）
17．(1)证明：由三角形内角和，得，
由余弦和角公式可得，
又，解得，所以或，
可得或，所以均为直角三角形．
(2)
解析：（1）略
（2）由（1）可知，满足的情况为：，
因为是的角平分线，则，
可得，
在中，由正弦定理得，所以.
18．(1)因为平面，平面，故，
又，，，平面，
故平面，又平面，
故平面平面．
(2)
(3)
解析：（1）略.
（2）因为四边形为平行四边形，
所以且，
又平面，所以平面．
所以直线与平面所成的角为，
因为，，
故，在中，，所以．
所以，中，，
所以，．
（3）过点作于，过作于，连接，
由于平面平面，平面平面，平面，
故平面
又平面，故，

又，，，平面，
故平面，所以，为二面角的平面角，
设，，则，，
由，
解得：，
又，
解得：，
故在中，，
设，则，
由于，故，则，
所以，二面角的正切值的取值范围为．
19．(1)的周期为，单调增区间为，
(2)
(3)
解析：（1）由题意可得：
所以，，．
由正弦曲线的单调区间为，，
可知，，
解得：，.
综上，的周期为，单调增区间为，.
（2）当时，，
故，即．
令，于是方程在有解，
可转化为在有解．
当时，取得最小值；
当或时，取得最大值2．
故的取值范围为．
（3）因为对任意，总存在，使成立，
所以有
由（1）可知，显然，
下面求的最大值，
．
令，则．
当时，在处取得最大值：，
由，得；
当时，在处取得最大值：，
由，得．
综上，的取值范围为.

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