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河南平顶山市普通高中2025-2026学年上学期高二年级期末考试数学试题（人教A卷）
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知某砖塔有15层．该塔底层（第一层）的底面面积为，所有层的底面面积之和为，且该塔自下而上每层底面面积依次构成递减的等差数列，则该塔自下而上数第6层的底面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行六面体中，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若直线与曲线交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（ ）
A． B．4 C． D．
8．设，分别为椭圆的左、右焦点，A，B为C上两点，且，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设为数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．是等比数列 B． C． D．
10．设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A． B．直线l的斜率的取值范围为
C． D．
11．如图，四棱台的底面ABCD为正方形，，，，E，F分别为BC，CD的中点，M为棱上一动点（含端点），则（ ）
A．直线与直线所成的角为45°
B．当点M与点C不重合时，平面
C．直线AM与平面所成角的最大值为45°
D．点M到直线BD的距离的最小值为
三、填空题
12．已知空间向量，，若，则______．
13．若椭圆上存在两点到直线的距离均为，则实数m的取值范围为______．
14．对于数列，其阶差数列的定义如下：①1阶差：；②阶差：．已知数列满足，，，则______．
四、解答题
15．在等比数列中，，是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16．已知圆与圆的公共弦所在的直线为．
(1)求，的值；
(2)若与交于，两点，求四边形的面积．
17．如图，在多面体ABCDF中，平面平面ACDF，四边形ACDF为矩形，，，M，N分别是线段AB，BC上的动点（不包含端点)，且满足．
(1)证明：直线；
(2)当时，求点M到平面BDF的距离；
(3)当三棱锥的体积最大时，求平面ADN与平面BDF的夹角的余弦值．
18．在数列中，，且．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和，并证明：．
19．已知双曲线的左焦点为，C的一条渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)已知动点，满足．
（ⅰ）若的外接圆与C在第一象限内的交点为M，直线BM与x轴交于点N，设的面积为，的面积为，求；
（ⅱ）记C的左顶点为A，若直线AB，AD与C的左支的另一交点分别为E，H，证明：直线EH恒过定点．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B B C A D ABD AC
题号 11
答案 BCD
1．D
解析：由题设，则，则焦点，即为.
故选：D
2．A
解析：设直线的倾斜角为且，
则，故.
故选：A
3．C
解析：，，，
，，
，，
是以为周期的数列，.
故选：C.
4．B
解析：设等差数列的公差为，且，由题意得，，
而，可得，则解得，
故.
故选：B
5．B
解析：

由，
所以.
故选：B
6．C
解析：由，则，故且，
当，则且，圆心为且在直线上，半径为1，
当，则且，圆心为，半径为1，
由圆心到直线的距离，故直线与圆相切，
如上图示，.
故选：C
7．A
解析：由等比数列片段和的性质知，，
所以且，则，
所以，则.
故选：A
8．D
解析：设，则，而，
由，则，即，
由，则，故，
所以，，则，
由，则，
所以，
所以，整理得，
所以.
故选：D
9．ABD
解析：，，是等比数列，故选项A正确；
公比，，，，
，，故选项B正确；
，故选项C错误；
，，
，故选项D正确.
故选：ABD.
10．AC
解析：由题设，则，故，A对，
由题意，直线的斜率存在且不为0，令且，联立抛物线得，
所以，则，可得或，
所以或，则直线l的斜率的取值范围为，B错，
由，而，，
所以，
所以，C对，
由，，则，
而，则，D错.
故选：AC
11．BCD
解析：由题设，，，平面，
所以平面，平面，则平面平面，
在平面内过点作，构建以为原点，为轴的空间直角坐标系，
由题意四边形是上下底分别为，腰长为的等腰梯形，
所以，，，，，，，
令，则且，
所以，
对于A，由，则，
又，则，A错，
对于B，由是BC，CD的中点，则，而点M与点C不重合，
所以平面，平面，故平面，B对，
对于C，由，平面的一个法向量为，
所以，
令，即，则，
当，时，最大，即直线AM与平面所成角的最大正弦值为，
结合线面角的范围知，直线AM与平面所成角的最大为45°，C对，
对于D，由，，
故，
所以，
所以点M到直线BD的距离，
当时，点M到直线BD的距离的最小值为，D对.
故选：BCD
12．
解析：由，又，
所以，可得.
故答案为：
13．
解析：令直线与椭圆相切，则，
所以，则，
所以，则切线为，两切线的距离为，
而直线与两切线平行，椭圆上存在两点到该直线的距离均为，
显然直线与椭圆有交点时满足要求，此时，
若直线与的距离为，则，
所以或，其中，
所以直线与切线的距离为，则在该两条直线之间的直线也满足要求，即，
同理，直线与切线的距离为，则在该两条直线之间的直线也满足要求，即，
综上，.
故答案为：
14．
解析：，，
因为，，
所以，
即，
，，
所以，解得，
，，
所以，
即，
即，
即，又，
则是等差数列，公差为，首项为1，
则，即，
①，
②，
①-②得到，
，
所以，，
，即.
故答案为：
15．(1)；
(2).
解析：（1）由题设，则，而，
令的公比为，则，可得，
所以是首项、公比为的等比数列，则；
（2）由（1），
所以
.
16．(1)，
(2)
解析：（1）圆与圆,
两圆方程作差可得，即，
因为圆与圆的公共弦所在的直线为，
所以，解得，所以，.
经检验当，时，两圆相交，符合题意.
（2）圆即，所以圆心为，半径，
则到直线的距离，所以；
由（1）可得圆，即，
所以圆心为，半径，
所以到直线的距离，
所以.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
解析：（1）若是的中点，连接，作，由，则，如下图示，
而平面平面，平面，平面平面，
所以平面，而，则，
构建以为原点，为轴的空间直角坐标系，
而，，则，而，
所以，，，，，
若且，则，于是，，
所以，，
所以，
所以；
（2）若，而且，易知分别为的中点，
所以，且，，
若是平面BDF的一个法向量，则，取，则，
由，则点M到平面BDF的距离为；
（3）由，则，
而，
由，当且仅当时取等号，所以，
此时三棱锥的体积最大，且分别为的中点，
由（2）知平面BDF的一个法向量为，
而，，，所以，，
若是平面ADN的一个法向量，则，
取，则，
所以.
18．(1)；
(2)；
(3)，证明见解析.
解析：（1）令，则，令，则，又，
所以，则，故；
（2）由题设，则，
所以，则时，，
所以
，且，
所以，显然也满足，故；
（3）令，
所以，
当为奇数且，则，
此时在为奇数且上单调递增，则，当且仅当时取等号，
当为偶数且，则，
此时在为偶数且上单调递减，则，当且仅当时取等号，
综上，，得证.
19．(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
解析：（1）由焦点坐标知且，又，可得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）由，且，则，故，即，
（i）由题意，的外接圆以为直径，则方程为，
所以，则，
设，则，所以，
整理得，即，
而，则，故，即，
所以直线，即，
令，则，且，
所以，，
所以；
（ii）由（1），则，且，
联立，可得，可得，
所以，可得（舍），
所以，即，同理得，
所以
，
所以，则，
所以，显然直线恒过定点.

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