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山西太原师范学院附属中学2026-2027学年高三年级质量监测数学试题
一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用0，1，2，3这四个数字可以组成多少个无重复数字的三位数（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．已知数列是等差数列，且，，则（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
4．已知随机变量的概率分布如下表，则（ ）
1 2 3
0.3 0.3
A．0.6 B．2 C．2.4 D．5
5．数列满足，，则“”是“数列成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知随机变量X服从标准正态分布，设函数（即表示X落在区间上的概率），则（ ）
A． B．
C． D．的图象关于对称
7．若，，，则事件与事件满足（ ）
A．互为对立事件 B． C． D．
8．若函数的最小值为，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知m，且，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位：小时）与语文作业中错别字个数（单位：个）的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示：
1 2 3 4 5
8 6 5 4 2
根据表中的数据计算得经验回归方程为，下列结论正确的是（ ）
A．与负相关 B．
C．当与时，残差相等 D．每增加1小时，平均减少1个
11．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知，则________.
13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________．
14．现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答）
四、解答题
15．为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表：
性别 选择的课程 合计
书法 剪纸
男生 40 50
女生
合计 30
(1)补全列联表；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？
附：，其中．
α 0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
16．已知数列满足，且对任意，有.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
17．若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项.
18．某校为庆祝建校百年，组织数理化知识竞赛．题库中数学、物理、化学占比分别为，，．甲同学从中任选一道题作答，设回答正确的概率为p．
(1)若甲同学回答数学、物理、化学这三类题中每道题的正确率分别为，，．
（ⅰ）求p；
（ⅱ）若甲同学从这三类题中各任选一道题作答，回答正确得3分，回答错误得分．用X表示该同学回答三道题后的总得分，求X的分布列及数学期望；
(2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励．若时获奖的可能性比时大，求p的取值范围，并说明理由．
19．已知函数.
(1)当时，求函数的极值点:
(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)已知函数在 上无零点，求的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】对于A，因为，故A不正确；
对于B，因为是常数，由常数的导数为0，得，故B不正确；
对于C，因为，故C不正确；
对于D，因为.故D正确.
2．B
【详解】组成无重复数字的三位数时，百位数字不能为0，按数位分步计算：
百位选择：只能从1、2、3中选取，共种选法；
十位选择：百位选完后剩余3个数字（包含0），共种选法；
个位选择：百位、十位选完后剩余2个数字，共种选法；
根据分步乘法计数原理，总个数为.
3．C
【详解】在等差数列中，，，
则，所以.
4．C
【详解】根据概率分布得，解得，
计算得，，
根据方差性质得.
5．A
【详解】若，则，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，充分性成立；
若成等比数列，则，
因为，
解得或，
当时，，此时，
即，是以2为周期的数列，
所以，，
即，此时成等比数列，必要性不成立.
故选：A
6．B
【详解】已知 ，标准正态分布密度曲线关于 对称，结合标准正态分布密度曲线图像，
选项 A：，A 错误；
选项 B：,
由对称性得，B 正确；；
选项 C：，，由图可知，，C 错误；
选项 D：，即，所以 的图象不关于 对称，D 错误.
7．C
【详解】选项A，因为，所以，又，所以，两者不为对立事件，错误.
选项B，，错误.
选项C，，所以，正确.
选项D，，错误.
8．A
【详解】已知函数，则，
令，由于，正实数，所以得，
令，则，由于，正实数，所以恒成立，
所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，；
因此方程有且仅有一个实数根，设为，即，
因为，当时，有，解得，矛盾，因此，
当时，，即，函数单调递减；
当时，，即，函数单调递增；
所以函数在处取得最小值，
由于函数的最小值为，即，则有，
同时极值点满足，
代入上式得，解得，
则有，解得，故A正确.
9．BC
【详解】A错，，．
B对，．
C对，，，所以．
D错，．
故选：BC.
10．ABD
【详解】由于，，经验回归直线过样本中心点，
代入得，解得，回归方程为.
选项A：，说明随增大而减小，与负相关，A正确；
选项B：计算得，B正确；
选项C：残差定义为. 当时，，残差；
当时，，残差，残差不相等，C错误；
选项D：回归斜率，说明每增加1小时，平均减少1，即平均减少1个，D正确.
11．ABC
【详解】令，则，得（舍负），故A正确；
因为，所以，得，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故B正确；
易得，则，则，
因为符合上式，故，
因为在上单调递减，
所以，故C正确；
因为，所以，故D错误.
12．
【详解】在中，
令，可得.
13．
【详解】函数的定义域为，求导得 ，
当时，导数值 ，即切线斜率为；
由点斜式得切线方程为，整理为，
设直线与相切于点，
对，求导得，
由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得，
因此切点坐标为 ，又切点在切线上，
代入得： ，解得.
14．114
【详解】先将5人分为3组，有两种分法（3,1,1；2,2,1）：，
再将3组进行全排列，方案数 ：，
把甲乙看作1个整体，相当于4个元素分到3组，共有（1种分法：2,1,1）：，
再将3组进行全排列，方案数：，
所以满足上述要求的不同安排方案数为：.
15．(1)
性别 选择的课程 合计
书法 剪纸
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
(2)可以认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关
【详解】（1）由题可知共选择学生100人，由表可知选择女生合计，
剪纸的男生为人，则选择剪纸的女生为人，
则选择书法的女生为人，则选择书法的学生为人，
则补充后的表如下所示：
性别 选择的课程 合计
书法 剪纸
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
（2）零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关．
根据列联表中数据，得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关．
16．(1)；
(2)
【详解】（1）由，得，
所以时，.
当时，，符合上式.，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得.
所以.
17．(1)
(2)，
【详解】（1）由题，可得，即，
得，又，所以，
因为展开式的通项公式为，，
当时，为整数，即，，，
所以展开式的有理项为.
（2）因为展开式的通项公式为，，
设展开式中第项的系数最大，则，
即，解得，
故展开式的第4项和第5项的系数最大，
又，，
所以展开式系数最大的项为第4项和第5项.
18．(1)（ⅰ）
（ⅱ）
X 1 5 9
P
．
(2)，理由如下：
当时，Y为答对题目的数量，由题意可知，
故当时，获得奖励的概率，
当时，获得奖励的情况可以分为如下情况：
①前8道题答对题目的数量大于等于5，
②前8道题答对题目的数量等于4，且最后2道题至少答对1道题，
③前8道题答对题目的数量等于3，且最后2道题全部答对，
故当时，获得奖励的概率，
所以
，
因为，所以，即，
所以．
【详解】（1）（ⅰ）设“甲同学所选的题目回答正确”，
“所选的题目为数学相关知识的题目”，
“所选的题目为物理相关知识的题目”，
“所选的题目为化学相关知识的题目”，
则，且，，两两互斥．
根据题意得，，，
，，，
则
，
所以甲同学在该题库中任选一道题作答，他回答正确的概率为，
即．
（ⅱ）的可能取值为，1，5，9，
，
，
，
，
则X的分布列为：
X 1 5 9
P
所以．
（2）略
19．(1)极小值点为，无极大值点
(2)
(3)
【详解】（1）当时，函数，定义域为，
由，
因为，所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值点为，无极大值点.
（2）由
即，定义域为
若函数在上单调递减，则等价于在上恒成立，
又，所以问题等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以若函数在上单调递减，则实数的取值范围为.
（3）因为，
当，即时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以在上无零点，符合题意；
当时，令，则，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
的最小值为，
当，即时，无零点，符合题意，
当时，有一个零点，不符合题意，
当时，，的最小值，
因为，所以，使得，不符合题意，
综上所述若函数在 上无零点，则的取值范围为：.

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