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2025-2026学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，若，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知圆柱底面半径为，母线长为，则它的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为( )
A. B. C. D.
7.已知事件，满足，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，互斥，则
C. 若，则
D. 若，相互独立，则
8.在中，，，为边的中点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根
10.已知四边形是正方形，延长至，使，点是线段上的任意一点设向量，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.在棱长为的正四面体中，点，分别为和的中心，点在线段上，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若平面，则
C. 平面与平面所成二面角的正弦值为
D. 若平面，则三棱锥的外接球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，则 ．
13.如图，圆柱的底面直径和高均是，圆柱内接于圆锥，且，则圆锥的体积为 ．
14.已知全集，集合，，是的子集，记事件：且且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求；
若，求实数的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，是的中点．
求证：平面；
若，，求与平面所成角的正弦值注：用空间向量法求解不给分
17.本小题分
人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量很多学校已经推出基于豆包的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新某探究小组利用豆包解答完成份不同的模拟试卷，统计其解答准确率，整理得到如下频数分布表：
准确率
频数
求的值并估计豆包解答这份试卷准确率的第百分位数；
若按比例分配的分层随机抽样的方法从准确率在，的两组中抽取份试卷，再从这份试卷中随机抽取份试卷，求这份试卷来自同一组的概率．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，周长为已知．
求；
若，证明：为直角三角形；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
19.本小题分
“牟合方盖”是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示，点被称为“牟合方盖”的上顶点，点为“牟合方盖”的中心过点作平面使得，．
求平面截“牟合方盖”所得截面的面积；
点，为平面与两圆柱表面交线的交点，点为的中点，过作平面，点，为“牟合方盖”表面上的点且在平面同一侧，过点作平面，交边界于点，，设，．
如图所示，若，，，求线段的值；
若，点到平面的距离为，当时，恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】设，连接，则为的中点，
因为是的中点，则，
且平面，平面，
所以平面

17.【答案】，第百分位数为

18.【答案】
由余弦定理得，
结合，得，
即，即，，故，
代入，得，
因此，则，即为直角三角形

19.【答案】
；
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