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内蒙古自治区赤峰市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，为边上靠近点的三等分点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是定义域为的偶函数，且满足当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（ ）
A．两个角均为锐角 B．一个角为，一个角为
C．两个角均为 D．两个角均为
8．若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则满足条件的有两个
C．若，，则周长的最大值为
D．若，则
11．在正三棱柱中，所有棱长均为2，为中点，为中点，连接、、．下列命题正确的是（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积为
C．平面与平面所成二面角的正弦值为
D．正三棱柱外接球的表面积为
三、填空题
12．已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________．
13．在平面直角坐标系中，已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为________．
14．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________________．
四、解答题
15．在中，内角，，的对边分别为，，．
(1)若，，，求角及的面积；
(2)求证：的面积（其中）．
16．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数的解析式与对称中心；
(2)当时，求的最大值与最小值；
(3)若角满足，求的值．
17．如图，在三棱锥中，底面，垂足为，且，，为中点，，
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图，正方形的边长为，、分别是、边上的动点，且满足，与相交于点．

(1)若为中点，求的值；
(2)（ⅰ）求证：在运动过程中，恒有；
（ⅱ）求的最大值．
19．对于任意两个实数，，记区间上曲线与直线，及轴围成的曲边梯形面积为，约定，，并定义．
(1)对任意实数和，且，证明：（注：可借助图形辅助证明）；
(2)若，求实数的值；
(3)（ⅰ）求证：对任意实数，都有；
（ⅱ）设，记，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【详解】由题可知，.
2．C
【详解】由，得，得或，
因为，所以.
3．A
【详解】由题意得，
所以，因此.
4．D
【详解】函数的零点个数等价于函数的图象与直线的交点个数，
当时，，，
由图可知交点个数为2个，
所以函数的零点个数为2.
5．A
【详解】若四边形是平行四边形，
则，所以；
若，则，则四边形是平行四边形.
所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件.
故选：A.
6．D
【详解】由题意得，令，解得或，
的定义域为，
设，，
根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
又因为在为增函数，
根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为.
7．D
【详解】对于A，两个角可能均为锐角，故A不正确；
对于B，可能一个角为，一个角为，故B不正确；
对于C，可能两个角均为，故C不正确；
对于D，如果两个角均为，则两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，不是异面直线，故这两个角不可能均为，故D正确.
故选：D.
8．B
【详解】将函数的图象向右平移1个单位后得到函数，
由题可知图象关于原点对称，所以为奇函数，
所以，即，
所以，即，
所以，
解得（因为，舍去），或，或（因为，舍去），或，
所以.
9．ABD
【详解】，选项正确；
，选项正确；
，选项错误；
，选项正确.
10．AD
【详解】A选项，由余弦定理得，
因为，所以，A正确；
B选项，，，，则，故，
则满足条件的不存在，B错误；
C选项，，，由余弦定理得，
故，所以，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，解得，故，
所以周长的最大值为，C错误；
D选项，因为，所以，
因为，在上单调递减，
所以，D正确.
11．ABC
【详解】取中点为，连接，，
因为为中点，所以，，
又因为为中点，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
因为平面，所以三棱锥的高为，
所以，故B正确；
取中点为，过作于，连接，
又因为为中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
因为为中点，所以，所以，
所以，又，所以，
在中，，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故C正确；
取正三棱柱上下底面的正三角形的中心为，连接，
由正三棱柱的性质可知正三棱柱外接球的球心为的中点，
在正三角形中，由正弦定理可得，
在中，外接球的半径，
所以正三棱柱外接球的表面积为，故D错误.

12．4
【详解】设圆心角为，半径，故，解得.
13．
【详解】在方向上的投影为
14．
【详解】由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积为,又，
.
15．(1)，的面积为
(2)
，
.
【详解】（1）由余弦定理可得，
因为角为三角形内角，则，则，
的面积.
（2）略.
16．(1)，
(2)最大值1，最小值
(3)
【详解】（1）由已知图象平移得，所以，
设，的对称中心为，
令，解得，
所以的对称中心为.
（2）当时，则，
因为为偶函数，且在上为减函数，
所以当，即时，有最大值；
当或，即或时，有最小值.
（3）因为，设，则且，
可得，
所以.
17．(1)平面，平面，
，D是中点，
又平面，平面，，平面
平面，
(2)
【详解】（1）略
（2）法一：
连接，平面，平面，∴平面平面
过作，为垂足.
∵平面平面，平面，平面，
为与平面所成角.
，，，.
平面，平面，．
，
，
，
.
即与平面所成角正弦值为．
法二：
连接，过作，
平面，平面，.
又，平面，平面，，
平面.
为与平面所成角，
，，，，
平面，平面，．
，
，
由余弦定理，，
，
，
即与平面所成角正弦值为．
18．(1)2
(2)（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，，，，
，，
，
故，
故恒有．
（ⅱ）
【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，则，，，，
，，
．
（2）（ⅰ）以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设，
则，，，，
，，
，
故，
故恒有．
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以点轨迹是以为直径的圆在正方形内部的部分．
设在上的投影向量为，则 ，
由M点轨迹知，与同向共线，且，
故.
19．(1)如图，
，，


(2)
(3)（ⅰ）①若，则．
②若，则．

③若，则．

综上所述，
（ⅱ）存在，
【详解】（1）略
（2）由已知，
所以，
所以
所以；
（3）（ⅰ）略
（ⅱ）


，当且仅当，即时等号成立．
，
假设存在使恒成立，则，所以．

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