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2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
6．已知事件与相互独立，的对立事件为，当时，，则（ ）
A．0.3 B．0.15 C．0.85 D．0.7
7．已知函数若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．的虚部为 B．
C． D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．一质点的运动方程为，其中是时间（单位：），是位移（单位：），若该质点在时的瞬时速度为，瞬时加速度为，则（ ）
A． B． C． D．
11．在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（ ）
A．的最小值是
B．正方体内切球的表面积为
C．当时，的最小值为
D．当取得最小值时，四棱锥的体积为
三、填空题
12．若的展开式的常数项为54，则________．
13．已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________．
14．对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”．已知为等差数列，，，且是的“和数列”，则________，数列的前项和________．
四、解答题
15．某校研究性学习小组随机抽取了该校120名学生，调查了他们每天的睡眠时长（单位：小时）与课堂注意力状况，整理数据后得到下表：
单位：人
课堂注意力 睡眠时长
在内 在内 在内
集中
一般
分散
(1)以频率估计概率，分别估计该校学生睡眠时长在、内的概率；
(2)若将注意力集中和注意力一般合称为“注意力正常”，将注意力分散称为“注意力不集中”，根据所给数据，完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断课堂注意力状况与睡眠时长有关？
单位：人
课堂注意力状况 睡眠时长 合计
少于8小时 不少于8小时
正常
不集中
合计
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．设等差数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，证明：．
17．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，．
(1)求四棱锥的体积．
(2)若为的中点，点满足，证明：平面．
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．水产实验室对甲、乙两种鱼苗饲料进行两轮标准化培育测试：鱼苗饲料需依次通过适口性筛选、养殖存活率实测，两轮测试独立进行，任意一轮不达标则淘汰，两轮测试全部通过则该种鱼苗饲料测试合格．两种鱼苗饲料各阶段的通过率如下表所示（其中）：
适口性筛选通过率 养殖存活率实测通过率
甲
乙
(1)试问甲、乙两种鱼苗饲料哪一种测试合格的概率更高？
(2)若，记这两种鱼苗饲料中测试合格的饲料种数为，求的分布列与数学期望．
19．（1）证明：．
（2）已知函数．
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）若，求的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】，又，
所以.
2．B
【详解】由椭圆方程知，故短轴长为.
3．D
【详解】因为 ，，
所以， 解得，即.
所以.
故向量与的夹角为.
4．C
【详解】所求事件的对立事件是该督察队中没有男干部，
由间接法，得所求概率.
5．D
【详解】由题意的最大值为，解得，
所以其最小正周期是.
6．D
【详解】因为相互独立，所以，又，所以，
所以.
7．A
【详解】由题意得，.
若，即，，解得.
若，即，，解得.
综上所述，.
8．A
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，所以，
则，
所以，解得：，
所以
根据对称性可得直线的斜率为.
9．BCD
【详解】.
选项A，虚部为，错误.
选项B，，所以，正确.
选项C，，正确.
选项D，对应点，位于第二象限，正确.
10．BC
【详解】因为质点的运动方程为，
所以 ，即质点运动的速度为，
所以该质点在时 的瞬时速度为，
因此A错误，B正确；
对速度求导得加速度： ，
，因此C正确，D错误.
11．ABD
【详解】对于A，作关于底面的对称点，连接，交平面于点，此时易得,则取得最小值，
由于，,则,故A正确；

对于B，因正方体内切球的半径为正方体边长的一半，即,
所以其表面积为,故B正确；
对于C，连接,因平面,平面,则，
当时，,即点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆在正方形内的圆弧，
设点是点在平面上的投影，则的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧，
所以，
由点与圆的位置关系可知，，
当最小时，则最小，即，故C错误；

对于D，由A选项可知，因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，则,即点为的中点，
由于点到平面的距离为，点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为，
则四棱锥的体积为,故D正确.

12．3
【详解】的展开式的通项为，，
令，解得，
可知常数项为，可得.
13．/
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，而，
则，
因为的实轴长为6，所以，即，则，
所以的离心率为.
14．
【详解】设等差数列的公差为，
则，而，，可得，
因此，则，
又，则，
对任意都有，因此，
则，即，
则.
15．(1)0.25，0.75
(2)
课堂注意力状况 睡眠时长 合计
少于8小时 不少于8小时
正常 64 36 100
不集中 16 4 20
合计 80 40 120
与睡眠时长无关
【详解】（1）由表知睡眠时长在内的频率为，
睡眠时长在内的频率为，
故该校学生睡眠时长在、内的概率估计值分别为0.25和0.75．
（2）列联表如下：
单位：人
课堂注意力状况 睡眠时长 合计
少于8小时 不少于8小时
正常 64 36 100
不集中 16 4 20
合计 80 40 120
零假设为：课堂注意力状况与睡眠时长无关．
，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为课堂注意力状况与睡眠时长无关．
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为，所以．
又，所以公差，
所以．
（2）由（1）知，
所以
．
17．(1)
(2)证明：过点作，交于点，连接．
因为，所以．因为为的中点，，所以．
又，所以四边形是平行四边形，则．
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面．
因为，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
(3)
【详解】（1）解：因为梯形的面积，
所以四棱锥的体积．
（2）略
（3）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为．
由，得，
取，则．
易知平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)甲种鱼苗饲料测试合格的概率更高
(2)
【详解】（1）设甲、乙两种鱼苗饲料测试合格的事件分别为，，
，，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
且，所以，即甲种鱼苗饲料测试合格的概率更高．
（2）若，则由（1）可得，
由题意可知的可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以的分布列为
所以．
19．（1）证明：令，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，即．
（2）（i）（ii）
的题意筛选出的取值范围.
【详解】（1）略
（2）解：（i）因为，
，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（ii）令，则，．
当时，，
所以是减函数，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，符合题意．
当时，．
当时，，因为函数在上单调递减，所以，
所以，．
当时，，所以在上单调递减，
因为，所以当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，符合题意．
当时，，存在，使得当时，，
所以在上单调递增．
因为，所以当时，，所以在上单调递增．
因为，所以当时，，不符合题意．
综上，的取值范围为．

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