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浙江省绍兴市新昌县新昌县拔茅中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．“的与1的和是负数”用不等式可以表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
7．一次生活常识竞赛共有题，答对一题得分，不答得分，答错一题扣分小滨有题没答，竞赛成绩不低于分，设小滨答错了题，则（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（　　）
A．62 B．52 C．42 D．32
9．如图，已知，，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（　　）
A．或 B．1或 C．1或 D．1或
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．关于x的不等式2x+a≤0的解集如图所示，则a的值是　 　.
12．如图：，，，那么的长为 　 　．
13．可以用来说明“，则a14．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为　 　．
15．如图，　 　度．
16．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是　 　．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，用尺规作图法，
（1）在上求作一点，使点到的距离相等．
（2）求作AB的垂直平分线.
18．解不等式（组）：
（1）；
（2）
19．如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点，请将下面对求解“与关系”的过程补充完整．
解：∵分别平分、，
（　 　）
为的外角，
　 　（　 　）
（等量代换）
　 　（等式的基本性质）①
又为的外角，
（三角形外角的性质）②
由①②可知：　 　．
20．如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使，量得点到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离，求楼高．
21．观察下列方程，找出他们的共同特征，试给出名称，并作出定义.
，，，，.
22．如图，在中，，，垂足为，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若，求证：．
23．为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同．
（1）求A，B两种文具的单价；
（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？
24．如图，在中，点是上一点，，过点作，且．
（1）求证：；
（2）若点是的中点，的面积为9，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：用不等式可以表示为
故答案为：B.
【分析】先表示出a的 与1的和，再根据负数是小于0的数，把这个和用小于号和0连接起来即可.
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：由， 可得x>2，说法正确，不符合题意；
原说法错误，故本选项符合题意；
原说法正确，故本选项不符合题意；
原说法正确，故本选项不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各选项解答即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边的取值范围是：5-3故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”解答即可.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形外角的定义可知：.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：证明：在 和 中，
∴用“SAS”证明 则还需添加OB=OC.
故选： D.
【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过D点作. 于H，如图，
由题中作法得AD平分∠BAC，
故选： B.
【分析】过D点作 于H，如图，利用基本作图得到AD平分 则根据角平分线的性质得到DH=DC=4，然后根据三角形面积公式求解.
7．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设小滨答错了x道题，则答对了20-1-x=（19-x）道题
依题意得：5(19-x)-2x≥80
故选：B
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，根据数量关系列出不等式即可.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： △ABC中， BC=20，直线DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为32，
∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，
∴△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，
故选： B.
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键。由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周长.
9．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；乌鸦嘴模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质进行求解即可.
10．【答案】C
【知识点】全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：设P、Q两点的运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒，
则BP=2tcm， PC=(6-2t) cm， CQ= xt cm.
∵AB=4cm，
①当△ABP≌△PCQ时，
BA=CP， BP=CQ.
∴6﹣2t=4，
∴t=1.
②当△ABP≌△QCP时，
BA=CQ =4cm， BP=CP =3cm，
∴2t=3，
综上，t的值是1或 时， 能够使△ABP与△CQP全等.
故选： C.
【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当△ABP≌△PCQ和②当△ABP≌△QCP时，设运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解.
11．【答案】2
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解 关于x的不等式2x+a≤0 ，得x≤.
根据数轴可知，关于x的不等式2x+a≤0的解集为x≤-1.
∴=-1.
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】先解不等式，然后根据数轴写出不等式的解集，接着列等式求解a即可.
12．【答案】3
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴BC=EF，
∵，，
∴CF=EF-EC=BC-EC=7-4=3，
故答案为：3.
【分析】根据可得BC=EF，再根据线段和差即可得解.
13．【答案】a=-2，b=2 （答案不唯一）
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 满足 但不满足a=b，
故当a=-2，b=2时符合题意，
故答案为： a=-2，b=2.【分析】找到一对满足 但不满足a=b的a、b的值即可.
14．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠F =∠CDE， ∠FBE=∠C，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△FBE和△DCE中，
∴△FBE≌△DCE(AAS)，
∴EF=ED， BD=CD，
∵AE⊥DE，
∴ AE是线段FD的垂直平分线，
∴AF=AD，
∴AB= AF-BF= AD-CD，
∵AD=12， CD=5，
∴AB=7.
故答案为：7.
【分析】证明△FBE和△DCE全等得EF= ED， BD=CD， 根据AE⊥DE得AE是线段FD的垂直平分线， 则AF=AD， 进而得AB=AF-BF=AD-CD， 然后根据AD=12， CD=5即可得出AB的长.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，连接，记、的交点为，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
连接，设与的交点为，首先根据对顶角相等和三角形内角和，可以推导出，再将该关系代入新的三角形中，结合三角形内角和定理即可推导出结论，添加恰当的辅助线构造出可用内角和定理的三角形，是解决这道题的关键.
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式组 得：
∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：-2，-1，0，1，
故答案为： .
【分析】解不等式组可得 再根据整数解共有4个，即可得出a的取值范围.
17．【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：如图，DE即为所作.
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作一个角的角平分线的方法解答即可；
（2）根据作线段的垂直平分线的方法解答即可.
18．【答案】（1）解：4(2x-1)>5(x-2)，
8x-4>5x-10，
8x-5x>-10+4，
3x>-6，
x>-2；
（2）解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集为：x≤1.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)利用解一元一次不等式的步骤求解即可；
(2)分别求解两个一元一次不等式，然后找到公共部分即可得到一元一次不等式组的解集.
19．【答案】角平分线定义；∠ABC；三角形外角的性质；；
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD，
∴∠ABC=2∠1， ∠ACD=2∠2(角平分线的定义)，
∵∠ACD为△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC(三角形外角的性质)
∴2∠2=∠A+2∠1(等量代换)，
(等式的基本性质2)①，
又∵∠2为△BCP的外角，
∴∠2 =∠1+∠P(三角形外角的性质)②，由①②可知：
故答案为：角平分线的定义，∠ABC，三角形外角的性质，
【分析】由角平分线的定义得∠ABC =2∠1， ∠ACD=2∠2， 由三角形外角的性质得∠ACD=∠A+∠ABC，进而等量代换可得 ， 又由∠2 = ∠1 +∠P即可求解.
20．【答案】解： 由题意得∠CDP =∠PBA =90°，
∴∠DCP+∠DPC =∠DPC+∠BPA=90°，
∴∠DCP=∠BPA.
在△CPD和△PAB中，
∴△CPD≌△PAB(ASA)，
∴DP=AB.
∵DB=24m， PB=10m，
∴AB=DP=DB-PB=24-10=14(m)，
答： 楼高AB是14m.
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键.根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)， 进而利用AB= DP = DB-PB求出即可.
21．【答案】解：共同特征：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2；
名称：一元二次方程；
定义：一元二次方程是只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的整式方程。一般形式为 ) ， 其中a、b、c是常数， x是未知数。
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据方程的特征， 从而确定名称和定义 .
22．【答案】（1）解：在△ABC中， ∠B=70°， ∠C = 30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°= 80°，
∵AE平分∠BAC，
（2）证明： ∵∠B=3∠C，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-3∠C
-∠C=180°-4∠C，
∵AE平分∠BAC，
∵AD⊥BC， ∠B=3∠C，
∴∠BAD=90°-3∠C，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=
(90°-2∠C)-(90°-3∠C) =∠C.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠BAE的度数；
(2)根据三角形内角和定理用∠C表示出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义用∠C表示出∠BAE的度数，根据三角形内角和定理用∠C表示出∠BAD的度数， 再根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可.
23．【答案】（1）解：设A文具的单价为x元，则B文具的单价为(x-5)元，
根据题意，得
解得x=15，
经检验x=15是原方程的解，且符合题意，x-5=15-5=10，
答：A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元；
（2）解：设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具(100-m)件，
根据题意，得 解得
答：年级组至少购买B种文具60件.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A文具的单价为x元，则B文具的单价为(x-5)元，根据“用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同”列方程求解即可；
(2)设年级组购买B种文具m件，根据题意列出不等式求解即可.
24．【答案】（1）证明：
在 和 中，
（2）解：
点D是AC的中点，
，
∴.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得. 再利用“边角边”证明即可；
(2)根据全等三角形面积相等，即三角形三角形中线的性质即可求解.
1 / 1浙江省绍兴市新昌县新昌县拔茅中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．“的与1的和是负数”用不等式可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：用不等式可以表示为
故答案为：B.
【分析】先表示出a的 与1的和，再根据负数是小于0的数，把这个和用小于号和0连接起来即可.
2．下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：由， 可得x>2，说法正确，不符合题意；
原说法错误，故本选项符合题意；
原说法正确，故本选项不符合题意；
原说法正确，故本选项不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各选项解答即可.
3．已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边的取值范围是：5-3故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”解答即可.
4．如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形外角的定义可知：.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可求解．
5．如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：证明：在 和 中，
∴用“SAS”证明 则还需添加OB=OC.
故选： D.
【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案.
6．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过D点作. 于H，如图，
由题中作法得AD平分∠BAC，
故选： B.
【分析】过D点作 于H，如图，利用基本作图得到AD平分 则根据角平分线的性质得到DH=DC=4，然后根据三角形面积公式求解.
7．一次生活常识竞赛共有题，答对一题得分，不答得分，答错一题扣分小滨有题没答，竞赛成绩不低于分，设小滨答错了题，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设小滨答错了x道题，则答对了20-1-x=（19-x）道题
依题意得：5(19-x)-2x≥80
故选：B
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，根据数量关系列出不等式即可.
8．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（　　）
A．62 B．52 C．42 D．32
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： △ABC中， BC=20，直线DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为32，
∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，
∴△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，
故选： B.
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键。由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周长.
9．如图，已知，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；乌鸦嘴模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质进行求解即可.
10．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（　　）
A．或 B．1或 C．1或 D．1或
【答案】C
【知识点】全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：设P、Q两点的运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒，
则BP=2tcm， PC=(6-2t) cm， CQ= xt cm.
∵AB=4cm，
①当△ABP≌△PCQ时，
BA=CP， BP=CQ.
∴6﹣2t=4，
∴t=1.
②当△ABP≌△QCP时，
BA=CQ =4cm， BP=CP =3cm，
∴2t=3，
综上，t的值是1或 时， 能够使△ABP与△CQP全等.
故选： C.
【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当△ABP≌△PCQ和②当△ABP≌△QCP时，设运动时间为t秒，点Q的运动速度为a厘米/秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解.
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．关于x的不等式2x+a≤0的解集如图所示，则a的值是　 　.
【答案】2
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解 关于x的不等式2x+a≤0 ，得x≤.
根据数轴可知，关于x的不等式2x+a≤0的解集为x≤-1.
∴=-1.
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】先解不等式，然后根据数轴写出不等式的解集，接着列等式求解a即可.
12．如图：，，，那么的长为 　 　．
【答案】3
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴BC=EF，
∵，，
∴CF=EF-EC=BC-EC=7-4=3，
故答案为：3.
【分析】根据可得BC=EF，再根据线段和差即可得解.
13．可以用来说明“，则a【答案】a=-2，b=2 （答案不唯一）
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 满足 但不满足a=b，
故当a=-2，b=2时符合题意，
故答案为： a=-2，b=2.【分析】找到一对满足 但不满足a=b的a、b的值即可.
14．如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠F =∠CDE， ∠FBE=∠C，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
在△FBE和△DCE中，
∴△FBE≌△DCE(AAS)，
∴EF=ED， BD=CD，
∵AE⊥DE，
∴ AE是线段FD的垂直平分线，
∴AF=AD，
∴AB= AF-BF= AD-CD，
∵AD=12， CD=5，
∴AB=7.
故答案为：7.
【分析】证明△FBE和△DCE全等得EF= ED， BD=CD， 根据AE⊥DE得AE是线段FD的垂直平分线， 则AF=AD， 进而得AB=AF-BF=AD-CD， 然后根据AD=12， CD=5即可得出AB的长.
15．如图，　 　度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，连接，记、的交点为，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
连接，设与的交点为，首先根据对顶角相等和三角形内角和，可以推导出，再将该关系代入新的三角形中，结合三角形内角和定理即可推导出结论，添加恰当的辅助线构造出可用内角和定理的三角形，是解决这道题的关键.
16．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式组 得：
∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：-2，-1，0，1，
故答案为： .
【分析】解不等式组可得 再根据整数解共有4个，即可得出a的取值范围.
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，用尺规作图法，
（1）在上求作一点，使点到的距离相等．
（2）求作AB的垂直平分线.
【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：如图，DE即为所作.
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作一个角的角平分线的方法解答即可；
（2）根据作线段的垂直平分线的方法解答即可.
18．解不等式（组）：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：4(2x-1)>5(x-2)，
8x-4>5x-10，
8x-5x>-10+4，
3x>-6，
x>-2；
（2）解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集为：x≤1.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)利用解一元一次不等式的步骤求解即可；
(2)分别求解两个一元一次不等式，然后找到公共部分即可得到一元一次不等式组的解集.
19．如图，在中，的平分线和外角的平分线交于点，请将下面对求解“与关系”的过程补充完整．
解：∵分别平分、，
（　 　）
为的外角，
　 　（　 　）
（等量代换）
　 　（等式的基本性质）①
又为的外角，
（三角形外角的性质）②
由①②可知：　 　．
【答案】角平分线定义；∠ABC；三角形外角的性质；；
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD，
∴∠ABC=2∠1， ∠ACD=2∠2(角平分线的定义)，
∵∠ACD为△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC(三角形外角的性质)
∴2∠2=∠A+2∠1(等量代换)，
(等式的基本性质2)①，
又∵∠2为△BCP的外角，
∴∠2 =∠1+∠P(三角形外角的性质)②，由①②可知：
故答案为：角平分线的定义，∠ABC，三角形外角的性质，
【分析】由角平分线的定义得∠ABC =2∠1， ∠ACD=2∠2， 由三角形外角的性质得∠ACD=∠A+∠ABC，进而等量代换可得 ， 又由∠2 = ∠1 +∠P即可求解.
20．如图，阳阳为了测量楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使，量得点到楼底距离与旗杆高度都为，旗杆与楼之间的距离，求楼高．
【答案】解： 由题意得∠CDP =∠PBA =90°，
∴∠DCP+∠DPC =∠DPC+∠BPA=90°，
∴∠DCP=∠BPA.
在△CPD和△PAB中，
∴△CPD≌△PAB(ASA)，
∴DP=AB.
∵DB=24m， PB=10m，
∴AB=DP=DB-PB=24-10=14(m)，
答： 楼高AB是14m.
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键.根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA)， 进而利用AB= DP = DB-PB求出即可.
21．观察下列方程，找出他们的共同特征，试给出名称，并作出定义.
，，，，.
【答案】解：共同特征：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2；
名称：一元二次方程；
定义：一元二次方程是只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的整式方程。一般形式为 ) ， 其中a、b、c是常数， x是未知数。
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据方程的特征， 从而确定名称和定义 .
22．如图，在中，，，垂足为，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：在△ABC中， ∠B=70°， ∠C = 30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°= 80°，
∵AE平分∠BAC，
（2）证明： ∵∠B=3∠C，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-3∠C
-∠C=180°-4∠C，
∵AE平分∠BAC，
∵AD⊥BC， ∠B=3∠C，
∴∠BAD=90°-3∠C，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=
(90°-2∠C)-(90°-3∠C) =∠C.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠BAE的度数；
(2)根据三角形内角和定理用∠C表示出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义用∠C表示出∠BAE的度数，根据三角形内角和定理用∠C表示出∠BAD的度数， 再根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可.
23．为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同．
（1）求A，B两种文具的单价；
（2）若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？
【答案】（1）解：设A文具的单价为x元，则B文具的单价为(x-5)元，
根据题意，得
解得x=15，
经检验x=15是原方程的解，且符合题意，x-5=15-5=10，
答：A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元；
（2）解：设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具(100-m)件，
根据题意，得 解得
答：年级组至少购买B种文具60件.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A文具的单价为x元，则B文具的单价为(x-5)元，根据“用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同”列方程求解即可；
(2)设年级组购买B种文具m件，根据题意列出不等式求解即可.
24．如图，在中，点是上一点，，过点作，且．
（1）求证：；
（2）若点是的中点，的面积为9，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：
在 和 中，
（2）解：
点D是AC的中点，
，
∴.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得. 再利用“边角边”证明即可；
(2)根据全等三角形面积相等，即三角形三角形中线的性质即可求解.
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