资源简介

浙江省名校共同体2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等 B．对顶角相等
C．若x2＝4，则 x＝2 D．若 a b，则 a2 b2
3．如图，在中，边上的高是（　　）．
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4．已知三角形两边长分别为3和4，则第三边的长可能是（　　）
A．0.5 B．6.5 C．7.5 D．9.5
5．如图，两个三角形全等，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
7．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．如图，在中，，是边上的中线且，于点E，于点F，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有　 　性．
12．一个等腰三角形的周长为21，腰长是底边长的3倍，则底边长为　 　．
13．如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长为　 　．
14．如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则　 　．
15．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则　 　．
16．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当　 　秒时，与全等．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，，，，试说明的理由．
解：∵，
∴（ ），
∵，
∴ ，
即 ．
在与
，
∴（　　），
∴（ ）．
18．如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．
19．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
（1）仅用无刻度的直尺，在图1中，画出一个与全等的（不包含）；
（2）在图2中，用尺规过顶点A画一条直线平分的面积（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在图3中，在直线上找一点P，使最小．
20．如图，在和中，，，，．连接，相交于点M．
（1）证明：；
（2）求的度数．
21．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度．
22．如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
23．如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．
（1）求证：；
（2）求的度数．
24．已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使．
（1）如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________；
（2）如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长；
（3）如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中图形沿着它的某一条直径所在的直线对折，对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以该图形是轴对称图形，此选项符合题意；
B、此选项中图形无论尝试沿着哪一条直线对折，对折后直线两旁的部分都不能完全重合，所以该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、此选项中图形不存在这样一条直线，使得沿着该直线对折后，直线两旁的部分完全重合，所以该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、此选项中图形也找不到一条直线，沿其对折后直线两旁的部分能完全重合，所以该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平方根；实数的大小比较；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】A、在两直线平行的条件下，内错角相等，没有平行线条件，不相等，故A假命题，
B、由对顶角的定义，知是两直线相交所成的角中，有共顶点，没有公共边的两个角是同一个角的补角，故相等，B为真命题，
C、x=-2，也有x2=4，故x2=4，x=±2，故C为假命题，
D、a=-1，b=-3，故有a>b，但a2故答案为：B
【分析】判断命题是真命题还是假命题，假命题只需举出反例，可判断A、C、D；B通过定义发现是同一角的邻补角可证明B为真命题.
3．【答案】A
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：由图可知：过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，此时AE即为边上的高；
故答案为：A．
【分析】三角形的高的定义：过三角形的顶点作对边的垂线，顶点和垂足之间的部分叫做高．根据三角形的高的定义，可对各选项逐一进行判断．
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系得
，
即，
所以第三边的长可能是6.5．
故答案为：B．
【分析】 设第三边的长为x， 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出不等式组，求解得到x的取值范围，从而即可判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】在△ABC中边a与c的夹角为50°，由对应边的夹角是对应角及全等三角形的对应角相等可得第二个三角形中a与c的夹角也应该为50°.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又，
则添加①，；
添加②，与不全等；
添加③，；
添加④，．
则能使的条件是①③④．
故答案为：D．
【分析】根据角的构成及等量加等量和相等推出∠BAC=∠EAD，题干又给出了AC=AD，要使△ABC≌△AED，如果使用“SAS”可以添加AB=AE，如果使用“ASA”可以添加∠C=∠D，如果使用“AAS”可以添加∠B=∠E，从而逐一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：B．
【分析】由且知，根据等角对等边可知，由线段的中垂线的性质，中垂线上的一点到线段两端的距离相等，则分别以B、C为顶点，大于BC一半画弧，连接两个交点即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
由作图方法可得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=54°，然后根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠ACD=63°，最后根据角的构成，由∠BCD=∠ACB-∠ACD可算出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、△ABC的形状能确定，但大小不能确定，故不符合题意；
B、，不能构成三角形，故不符合题意；
C、的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、，给出了两条边和一个角，且是钝角，这属于条件，但当给定角为钝角且对边大于另一条已知边时，可以唯一确定三角形，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】给出的条件要能确定三角形的形状与大小，则给出的条件需要满足三角形全等的判定方法；而三角形全等的判定方法中至少有一边对应相等，A选项给出三角形三内角大小，是可以画出无数个形状一样，但大小不一样的三角形的，据此可判断A选项；根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得出B选项给出的三个条件画不出三角形，据此可判断B选项；C、D选项给出的三个条件属于“SSA”，虽不能作为三角形全等的判定方法，但当一边的对角是直角或钝角，且直角或钝角的对边大于另一条已知边时，可以唯一确定三角形，据此可判断D选项.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，DE=6cm，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线将三角形分成面积相等的两个小三角形可得，然后根据等底三角形面积之间的关系就是对应底上的高之间的关系可得CF=2DE，从而即可得出答案.
11．【答案】稳定
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：稳定．
【分析】当三角形的三边长度确定后，其形状和面积完全被唯一确定，这种性质称为三角形的稳定性，三角形的稳定性不会因为外力作用而轻易改变形状，这是一种几何上的刚性，与其它的多边形相比，三角形具有独特的稳定性，据此作答即可.
12．【答案】3
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设底边长为，则腰长为，
则周长为：，
解得：，
所以该三角形的三边长为：．
故答案为：3．
【分析】设底边长为x，则腰长为3x，由等腰三角形的两腰长相等及三角形周长计算公式，结合三角形周长为21列出方程，求解即可得出答案.
13．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分，
，
的周长．
故答案为：14．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AD=BD，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段和差可将△ADC的周长转化为BC+AC，从而代值计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解∶ ，
．
沿翻折得到，
，．
，
．
，
．
，
．
．
故答案为：．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠A'=∠CBA'，由折叠得∠A=∠A'，∠ABD=∠A'BD，结合∠A=∠ABD可推出∠ABC=3∠A，然后根据三角形的内角和为180°建立方程可求出∠A的度数，进而即可得出∠ABC的度数.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠O2BO1=∠2-∠1=22°，然后根据三等分线定义求出∠ABC=3 ∠O2BO1=66°， ∠O1BC= ∠O2BO1=22°，由三角形内角和为180°求出∠BCO1=26°，再由角平分线定义求出∠BCA=2 ∠BCO1=52°，最后再根据三角形内角和定理即可求出∠A的度数.
16．【答案】4或或12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
；
①如图1，当点在上，点在上时，
由题意得，，，
，，
，，
当时，则，
即，
解得；
②如图2，当点与点重合时，则，此时满足，
∵，
，
解得；
③如图3，当点与重合时，
当时，则，
即，
解得；
综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等．
故答案为：4或或12．
【分析】由垂直的定义得出∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠CPE=∠FCQ；分类讨论：①当点Q在BC上，点P在AC上，根据路程、速度、时间三者的关系得AP=tcm，BQ=2tcm，则CP=(6-t)cm，CQ=(10-2t)cm，由全等三角形的对应边相等得出PC=CQ，据此建立方程，求解得出t的值；②当点P与点Q重合时，则CP=CQ，此时也满足△PEC≌△QFC，根据路程、速度、时间三者的关系得CQ=(2t-10)cm，从而建立方程，求解得出t的值；③当点Q与点A重合时，△PEC≌△CFQ，则PC=CQ，根据路程、速度、时间三者的关系得CP=(t-6)cm，从而建立方程，求解得出t的值，综上可得答案.
17．【答案】两直线平行，内错角相等；；；已知；；；角边角；全等三角形的对应边相等
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵，
∴ ，
即．
在与
，
∴（角边角），
∴（ 全等三角形的对应边相等 ）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；已知；；；角边角；全等三角形的对应边相等.
【分析】由两直线平行，内错角相等得∠B=∠E，由线段构成及等量加等量和相等推出BC=EF，从而用“SAS”证△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应边相等得AB=DE.
18．【答案】解：在中，，，
，
是高，
．
在中，．
是的角平分线，
，
．
又是的角平分线，
，
在中，，，
．
∴，．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】用三角形内角和定理求出∠ABC=70°，由直角三角形两锐角互余求出∠CAD=28°，由角平分线定义求出∠CAE=∠ BAE=24°，从而根据角的构成可求出∠EAD的度数；再根据角平分线的定义求出 ∠ABF=35°，最后根据三角形的内角和定理可求出∠BOA的度数.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求：
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，即为所求：
证明：由作图可知，为边上的中线，
∴，
∵中边上的高等于中边上的高，
∴，
∴平分的面积；
（3）解：如图，点P即为所求：
证明：∵点D和点F关于对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短．
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SSS；利用三角形的中线求面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一，取格点P，使点P与点C关于AB对称，连接AP，CP，△ABP就是所求的三角形；利用方格纸的特点及勾股定理分别计算出AC、AP、BC、BP，可得AC=AP，BC=BP，从而利用“SSS”可证△ABC≌△ABP；
（2）分别以点B、点C为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点D和点F，作直线DF交线段BC于点E，连接AE，AE为BC边上的中线，根据等底同高三角形面积相等可得AE平分△ABC的面积；
（3）利用方格纸的特点及轴对称的性质，作点D关于AB的对称点F，连接CF交AB于点P，该点就是所求的点；由轴对称的性质得PD=PF，则PD+PC=PC+PF=CF，由两点之间线段最短即可得出结论.
（1）解：如图，即为所求：
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，即为所求：
证明：由作图可知，为边上的中线，
∴，
∵中边上的高等于中边上的高，
∴，
∴平分的面积；
（3）解：如图，点P即为所求：
证明：∵点D和点F关于对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短．
20．【答案】（1）证明：因为，
所以，即．
在和中，
，
所以；
（2）解：由（1）中可得．
由三角形内角和，可得，
因为，所以．
又因为与互补（平角定义），
所以．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；8字模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据角的构成及等式的性质可推出∠AOC=∠BOD，然后根据“SAS”可证明△AOC≌△BOD即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠OAC=∠OBD，由“8”字形图得出∠AMB=∠AOB=36°，然后根据平角定义可求出∠AMD的度数.
（1）证明：因为，
所以，即．
在和中，
，
所以．
（2）解：由（1）中可得．
由三角形内角和，可得，
因为，所以．
又因为与互补（平角定义），
所以．
21．【答案】解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵爸爸在距地面高的C处接住她，
∴点E到地面的距离为，
∴点D到地面的距离为，
答：妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度为．

【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】
先通过AAS判定定理证明，根据全等三角形对应边相等的性质，可得，再由此计算出的长度，最终即可推导出点D到地面的距离，得到对应结果.
22．【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积为，
∴；
∵平分，DH⊥AB，DE⊥BC，
∴；
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∵与的周长之差为，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到DB=DC，由等边对等角和三角形外角性质得∠DBC=∠C=25°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠DBC=50°，最后由三角形内角和定理算出∠BAC的度数；
（2）根据三角形面积计算公式建立方程可求出DH=4cm，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE=DH=4cm；根据三角形周长计算公式、线段和差、等量代换及题意可求出得到BC=9cm，最后再根据三角形面积计算公式可算出△BCD的面积.
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积为，
∴；
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∵与的周长之差为，
∴，
∴．
23．【答案】（1）证明：，
．
在中，，
，
，
；
（2）解：过点B作交的延长线于点G．
，，
．
由（1）知，
又，
，
则，．
是边上的中线，
．
由于，，
，
又，则．
在和中， ，，，
，
．
在中，，
，
．
又，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等可推出∠CAD=∠BCE；
（2）过点B作交的延长线于点G．根据“ASA”证明△ACD≌△CBG，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，再根据“SAS”证明△DBE≌△GBE，由全等三角形的对应角相等得出，然后结合三角形内角和定理求出∠G+∠GEB=135°，从而即可得出结论.
（1）证明：，
．
在中，，
，
，
．
（2）解：过点B作交的延长线于点G．
，，
．
由（1）知，
又，
，
则，．
是边上的中线，
．
由于，，
，
又，则．
在和中， ，，，
，
．
在中，，
，
．
又，，
．
24．【答案】（1）
（2）解：同理（）可证，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图，作于点，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平角定义、三角形内角和定理及已知可证，从而用“AAS”证△ADC≌△CEB，由全等三角形的对应边相等得CE=AD，BE=CD，然后根据线段构成及等量代换可得DE=AD+BE；
（2）同理（1）可证△ADC≌△CEB，由全等三角形的对应边相等得CE=AD=6，BE=CD，然后根据线段构成得BE=CD=DE-CE可算出答案；
（3）作GL⊥l于点L，同（1）可证△CLG≌△FDC，由全等三角形的低应边相等得到GL=CD=6，CL=FD，即得GL=BE，再利用“AAS”证△GHL≌△BHE，由全等三角形的对应边相等得到HL=EH，由三角形面积公式及△CGH的面积为10建立方程求出CH的长，进而得到，再根据即可求解.
（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：同理（）可证，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图，作于点，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
1 / 1浙江省名校共同体2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中图形沿着它的某一条直径所在的直线对折，对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以该图形是轴对称图形，此选项符合题意；
B、此选项中图形无论尝试沿着哪一条直线对折，对折后直线两旁的部分都不能完全重合，所以该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、此选项中图形不存在这样一条直线，使得沿着该直线对折后，直线两旁的部分完全重合，所以该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、此选项中图形也找不到一条直线，沿其对折后直线两旁的部分能完全重合，所以该图形不是轴对称图形，此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等 B．对顶角相等
C．若x2＝4，则 x＝2 D．若 a b，则 a2 b2
【答案】B
【知识点】平方根；实数的大小比较；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】A、在两直线平行的条件下，内错角相等，没有平行线条件，不相等，故A假命题，
B、由对顶角的定义，知是两直线相交所成的角中，有共顶点，没有公共边的两个角是同一个角的补角，故相等，B为真命题，
C、x=-2，也有x2=4，故x2=4，x=±2，故C为假命题，
D、a=-1，b=-3，故有a>b，但a2故答案为：B
【分析】判断命题是真命题还是假命题，假命题只需举出反例，可判断A、C、D；B通过定义发现是同一角的邻补角可证明B为真命题.
3．如图，在中，边上的高是（　　）．
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：由图可知：过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，此时AE即为边上的高；
故答案为：A．
【分析】三角形的高的定义：过三角形的顶点作对边的垂线，顶点和垂足之间的部分叫做高．根据三角形的高的定义，可对各选项逐一进行判断．
4．已知三角形两边长分别为3和4，则第三边的长可能是（　　）
A．0.5 B．6.5 C．7.5 D．9.5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系得
，
即，
所以第三边的长可能是6.5．
故答案为：B．
【分析】 设第三边的长为x， 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出不等式组，求解得到x的取值范围，从而即可判断得出答案.
5．如图，两个三角形全等，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】在△ABC中边a与c的夹角为50°，由对应边的夹角是对应角及全等三角形的对应角相等可得第二个三角形中a与c的夹角也应该为50°.
6．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又，
则添加①，；
添加②，与不全等；
添加③，；
添加④，．
则能使的条件是①③④．
故答案为：D．
【分析】根据角的构成及等量加等量和相等推出∠BAC=∠EAD，题干又给出了AC=AD，要使△ABC≌△AED，如果使用“SAS”可以添加AB=AE，如果使用“ASA”可以添加∠C=∠D，如果使用“AAS”可以添加∠B=∠E，从而逐一判断得出答案.
7．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：B．
【分析】由且知，根据等角对等边可知，由线段的中垂线的性质，中垂线上的一点到线段两端的距离相等，则分别以B、C为顶点，大于BC一半画弧，连接两个交点即可．
8．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
由作图方法可得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=54°，然后根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠ACD=63°，最后根据角的构成，由∠BCD=∠ACB-∠ACD可算出答案.
9．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、△ABC的形状能确定，但大小不能确定，故不符合题意；
B、，不能构成三角形，故不符合题意；
C、的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、，给出了两条边和一个角，且是钝角，这属于条件，但当给定角为钝角且对边大于另一条已知边时，可以唯一确定三角形，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】给出的条件要能确定三角形的形状与大小，则给出的条件需要满足三角形全等的判定方法；而三角形全等的判定方法中至少有一边对应相等，A选项给出三角形三内角大小，是可以画出无数个形状一样，但大小不一样的三角形的，据此可判断A选项；根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得出B选项给出的三个条件画不出三角形，据此可判断B选项；C、D选项给出的三个条件属于“SSA”，虽不能作为三角形全等的判定方法，但当一边的对角是直角或钝角，且直角或钝角的对边大于另一条已知边时，可以唯一确定三角形，据此可判断D选项.
10．如图，在中，，是边上的中线且，于点E，于点F，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，DE=6cm，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线将三角形分成面积相等的两个小三角形可得，然后根据等底三角形面积之间的关系就是对应底上的高之间的关系可得CF=2DE，从而即可得出答案.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有　 　性．
【答案】稳定
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：稳定．
【分析】当三角形的三边长度确定后，其形状和面积完全被唯一确定，这种性质称为三角形的稳定性，三角形的稳定性不会因为外力作用而轻易改变形状，这是一种几何上的刚性，与其它的多边形相比，三角形具有独特的稳定性，据此作答即可.
12．一个等腰三角形的周长为21，腰长是底边长的3倍，则底边长为　 　．
【答案】3
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设底边长为，则腰长为，
则周长为：，
解得：，
所以该三角形的三边长为：．
故答案为：3．
【分析】设底边长为x，则腰长为3x，由等腰三角形的两腰长相等及三角形周长计算公式，结合三角形周长为21列出方程，求解即可得出答案.
13．如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长为　 　．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分，
，
的周长．
故答案为：14．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AD=BD，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段和差可将△ADC的周长转化为BC+AC，从而代值计算可得答案.
14．如图，中，，边上有一点D，使得，将沿翻折得到，此时，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解∶ ，
．
沿翻折得到，
，．
，
．
，
．
，
．
．
故答案为：．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠A'=∠CBA'，由折叠得∠A=∠A'，∠ABD=∠A'BD，结合∠A=∠ABD可推出∠ABC=3∠A，然后根据三角形的内角和为180°建立方程可求出∠A的度数，进而即可得出∠ABC的度数.
15．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠O2BO1=∠2-∠1=22°，然后根据三等分线定义求出∠ABC=3 ∠O2BO1=66°， ∠O1BC= ∠O2BO1=22°，由三角形内角和为180°求出∠BCO1=26°，再由角平分线定义求出∠BCA=2 ∠BCO1=52°，最后再根据三角形内角和定理即可求出∠A的度数.
16．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当　 　秒时，与全等．
【答案】4或或12．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，
，
，
；
①如图1，当点在上，点在上时，
由题意得，，，
，，
，，
当时，则，
即，
解得；
②如图2，当点与点重合时，则，此时满足，
∵，
，
解得；
③如图3，当点与重合时，
当时，则，
即，
解得；
综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等．
故答案为：4或或12．
【分析】由垂直的定义得出∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出∠CPE=∠FCQ；分类讨论：①当点Q在BC上，点P在AC上，根据路程、速度、时间三者的关系得AP=tcm，BQ=2tcm，则CP=(6-t)cm，CQ=(10-2t)cm，由全等三角形的对应边相等得出PC=CQ，据此建立方程，求解得出t的值；②当点P与点Q重合时，则CP=CQ，此时也满足△PEC≌△QFC，根据路程、速度、时间三者的关系得CQ=(2t-10)cm，从而建立方程，求解得出t的值；③当点Q与点A重合时，△PEC≌△CFQ，则PC=CQ，根据路程、速度、时间三者的关系得CP=(t-6)cm，从而建立方程，求解得出t的值，综上可得答案.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，，，，试说明的理由．
解：∵，
∴（ ），
∵，
∴ ，
即 ．
在与
，
∴（　　），
∴（ ）．
【答案】两直线平行，内错角相等；；；已知；；；角边角；全等三角形的对应边相等
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵，
∴ ，
即．
在与
，
∴（角边角），
∴（ 全等三角形的对应边相等 ）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；；已知；；；角边角；全等三角形的对应边相等.
【分析】由两直线平行，内错角相等得∠B=∠E，由线段构成及等量加等量和相等推出BC=EF，从而用“SAS”证△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应边相等得AB=DE.
18．如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．
【答案】解：在中，，，
，
是高，
．
在中，．
是的角平分线，
，
．
又是的角平分线，
，
在中，，，
．
∴，．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】用三角形内角和定理求出∠ABC=70°，由直角三角形两锐角互余求出∠CAD=28°，由角平分线定义求出∠CAE=∠ BAE=24°，从而根据角的构成可求出∠EAD的度数；再根据角平分线的定义求出 ∠ABF=35°，最后根据三角形的内角和定理可求出∠BOA的度数.
19．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
（1）仅用无刻度的直尺，在图1中，画出一个与全等的（不包含）；
（2）在图2中，用尺规过顶点A画一条直线平分的面积（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在图3中，在直线上找一点P，使最小．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，即为所求：
证明：由作图可知，为边上的中线，
∴，
∵中边上的高等于中边上的高，
∴，
∴平分的面积；
（3）解：如图，点P即为所求：
证明：∵点D和点F关于对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短．
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SSS；利用三角形的中线求面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一，取格点P，使点P与点C关于AB对称，连接AP，CP，△ABP就是所求的三角形；利用方格纸的特点及勾股定理分别计算出AC、AP、BC、BP，可得AC=AP，BC=BP，从而利用“SSS”可证△ABC≌△ABP；
（2）分别以点B、点C为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点D和点F，作直线DF交线段BC于点E，连接AE，AE为BC边上的中线，根据等底同高三角形面积相等可得AE平分△ABC的面积；
（3）利用方格纸的特点及轴对称的性质，作点D关于AB的对称点F，连接CF交AB于点P，该点就是所求的点；由轴对称的性质得PD=PF，则PD+PC=PC+PF=CF，由两点之间线段最短即可得出结论.
（1）解：如图，即为所求：
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图，即为所求：
证明：由作图可知，为边上的中线，
∴，
∵中边上的高等于中边上的高，
∴，
∴平分的面积；
（3）解：如图，点P即为所求：
证明：∵点D和点F关于对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短．
20．如图，在和中，，，，．连接，相交于点M．
（1）证明：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：因为，
所以，即．
在和中，
，
所以；
（2）解：由（1）中可得．
由三角形内角和，可得，
因为，所以．
又因为与互补（平角定义），
所以．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；8字模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据角的构成及等式的性质可推出∠AOC=∠BOD，然后根据“SAS”可证明△AOC≌△BOD即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠OAC=∠OBD，由“8”字形图得出∠AMB=∠AOB=36°，然后根据平角定义可求出∠AMD的度数.
（1）证明：因为，
所以，即．
在和中，
，
所以．
（2）解：由（1）中可得．
由三角形内角和，可得，
因为，所以．
又因为与互补（平角定义），
所以．
21．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度．
【答案】解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵爸爸在距地面高的C处接住她，
∴点E到地面的距离为，
∴点D到地面的距离为，
答：妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度为．

【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【分析】
先通过AAS判定定理证明，根据全等三角形对应边相等的性质，可得，再由此计算出的长度，最终即可推导出点D到地面的距离，得到对应结果.
22．如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点H．
（1）若，求的度数；
（2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积．
【答案】（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积为，
∴；
∵平分，DH⊥AB，DE⊥BC，
∴；
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∵与的周长之差为，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到DB=DC，由等边对等角和三角形外角性质得∠DBC=∠C=25°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠DBC=50°，最后由三角形内角和定理算出∠BAC的度数；
（2）根据三角形面积计算公式建立方程可求出DH=4cm，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE=DH=4cm；根据三角形周长计算公式、线段和差、等量代换及题意可求出得到BC=9cm，最后再根据三角形面积计算公式可算出△BCD的面积.
（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积为，
∴；
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∵与的周长之差为，
∴，
∴．
23．如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连结．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：，
．
在中，，
，
，
；
（2）解：过点B作交的延长线于点G．
，，
．
由（1）知，
又，
，
则，．
是边上的中线，
．
由于，，
，
又，则．
在和中， ，，，
，
．
在中，，
，
．
又，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等可推出∠CAD=∠BCE；
（2）过点B作交的延长线于点G．根据“ASA”证明△ACD≌△CBG，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，再根据“SAS”证明△DBE≌△GBE，由全等三角形的对应角相等得出，然后结合三角形内角和定理求出∠G+∠GEB=135°，从而即可得出结论.
（1）证明：，
．
在中，，
，
，
．
（2）解：过点B作交的延长线于点G．
，，
．
由（1）知，
又，
，
则，．
是边上的中线，
．
由于，，
，
又，则．
在和中， ，，，
，
．
在中，，
，
．
又，，
．
24．已知：在中，，，点在直线上，在上另取两个互不重合的点，使．
（1）如图，当时，请直接写出线段和之间的数量关系__________；
（2）如图，当为任意锐角或钝角时，已知，，求的长；
（3）如图，在（）的基础上，延长至点，连接，过点作，且，连接交直线于点．若，，求的长．
【答案】（1）
（2）解：同理（）可证，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图，作于点，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平角定义、三角形内角和定理及已知可证，从而用“AAS”证△ADC≌△CEB，由全等三角形的对应边相等得CE=AD，BE=CD，然后根据线段构成及等量代换可得DE=AD+BE；
（2）同理（1）可证△ADC≌△CEB，由全等三角形的对应边相等得CE=AD=6，BE=CD，然后根据线段构成得BE=CD=DE-CE可算出答案；
（3）作GL⊥l于点L，同（1）可证△CLG≌△FDC，由全等三角形的低应边相等得到GL=CD=6，CL=FD，即得GL=BE，再利用“AAS”证△GHL≌△BHE，由全等三角形的对应边相等得到HL=EH，由三角形面积公式及△CGH的面积为10建立方程求出CH的长，进而得到，再根据即可求解.
（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：同理（）可证，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：如图，作于点，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑