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浙江省宁波市蛟川书院（甬真校区）2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷试卷（学科素养大比拼 ）
一、选择题（共10小题）
1．一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：三角形三个内角度数之比是，
∴三角形的三个内角依次为：，，，
∴该三角形一定是锐角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再根据三角形按角分类即可判断求解．
2． 已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是（　　）
A．2 B．5 C．8 D．11
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：选项A：2不满足2选项B：5满足2选项C：8不满足2选项D：11不满足2故答案为： B.
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来确定x的取值范围，再据此判断选项.
3．根据下列已知条件，不能画出唯一的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据三角形判定定理、、、、可确定唯一三角形，不能）分析各选项：
A、已知，，，其中AB是与的夹边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意；
B、已知，，，其中BC是的对边，是的邻边，符合条件，无法确定唯一△ABC，此选项符合题意；
C、已知，，，其中是AB与BC的夹角，符合判定，能画出唯一△ABC，此选项不符合题意；
D、已知，，，其中AB是斜边，AC是直角边，符合判定，能画出唯一△ABC，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】给出条件要能画出唯一三角形，则所给条件必须满足三角形全等的判定方法“SSS、SAS、ASA、AAS、HL”中的一种，据此 先明确每个选项给出条件的边角位置关系，再根据三角形全等判定方法逐一判断即可.
4．在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（　　）
A．16 B．11 C．16或8 D．11或1
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；三角形三边关系；三角形的中线；分类讨论
【解析】解：根据题意
设BD=DC=a，AB=BC=2a，AC=b，
①当，时，
则2a+a=15
b+a=21，
解得：a=5，b=16；
即的三边长为、、，符合题意；
②当，时，
则2a+a=21
b+a=15
解得：a=7，b=8；
即的三边长为、、，符合题意；
综上可知，的长为16或8，
故选：C．
【分析】
本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，，则，分两种情况列二元一次方程组求解求出b，再利用三角形的三边关系检验即可．
5．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，即，
故答案为：A．
【分析】本题先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解．
6．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①作一个角的角平分线正确，
②作一个角等于已知角正确，
③如图所示，作一条线段的垂直平分线，不正确，
综上①②正确．
故选：A．
【分析】根据尺规作图画一条线段的垂直平分线、画一个角的平分线、画一个角等于已知角的作法，逐个分析，即可求解.
7．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∵，
∴，
故B正确，不符合题意；
取的延长线与点M，的延长线与点N，如图：
平分，平分，
，
故C正确，不符合题意；
由选项C知，
，无法得到，
故D项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据角平分线的定义，可以得到，再结合三角形内角和定理，就能推导出；同样依据角平分线的定义可以得到，结合三角形外角的性质，即可证明；根据三角形外角的性质，可得，再利用角平分线的定义和三角形内角和定理，就能推导出；最后结合这个结论，无法推出成立.
8．如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
∵，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
∵，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：D．
【分析】利用“”可证，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，可对①作出判断；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可对②作出判断；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，可对③作出判断；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，可对④作出判断；即可求解．
9．如图，在中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD=AP=5，当ADAB时，过D作DEAC于E，若DE=4，则面积为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC、AD=5、DE=4
由勾股定理得AE=3
又∵AP=5
∴PE=2
∴由勾股定理得PD=
∵AD=AP
∴∠ADP=∠DPA
∵DEAC，ADAB
∴∠DEP=∠DAB
∴△DPE∽△BDA
∴
∴
∴PB=BD-PD=
∵∠C=90°，DEAC
∴∠DEP=∠C
又∵∠DPE=∠BPC
∴△DPE∽△BPC
∴
又∵
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出△PDE的面积，然后证明△PDE∽△PBC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题即可．
10．如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（　　）
A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积
C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，
∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，
∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，
∴∠ADE=∠CAN，
又∵AD=CA，
∴△ADE≌△CAN（AAS），
∴，AE=CN
同理可证△BGH≌△CBN，
∴，BH=CN
∴，
∴
，
∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，
故答案为：D.
【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN，△BGH≌△CBN，得到，AE=CN，，BH=CN，则，即可得到即可解题．
二、填空题（共6小题）
11． 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为　 　.
【答案】两角互余的三角形为直角三角形
【知识点】逆命题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
∴逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，即两角互余的三角形为直角三角形
故答案为：两角互余的三角形为直角三角形.
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题.
12．如图，在中，，是上的高，，，则的度数为　 　．
【答案】13°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，是上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：13°．
【分析】由等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD=26°，然后等边对等角及三角形内角和定理得出∠ADE=77°，最后根据角的构成，由∠EDC=∠ADC-∠ADE可算出答案.
13．如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度　 　．
【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长交于M，延长交于N，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，即，
∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，根据等腰三角形的三线合一得出BC=2BN，由有两个角为60°的三角形是等边三角形得出△BEM是等边三角形，由等边三角形三边相等、三个内角都是60°得出BM=BE=EM=7，∠EMB=60°，由线段和差算出DM=4，根据含30°角直角三角形的性质得出MN=DM=2，由线段和差算出BN=5，从而即可得出BC的长.
14．如图，为外一点，，平分的一个外角，．若，，则的长为　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，AD交CB于点E，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得到．
故答案为：8．
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得，再通过证明，可得，从而可求、的长度，最后在中利用勾股定理求解即可．
15．瓯江灯光秀，以瓯江沿岸独具特色的山体为载体，采用先进的灯光技术，不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，从而产生多变的景观，如图，点为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成等腰三角形（即，），射出的红色光线形成直角三角形（即，），点在同一直线上．
（）若，则的度数为　 　．
（）若，且，则两片光束重叠部分（即）的面积为　 　．（用含的代数式表示）
【答案】；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图，在线段上截取，过点作于点，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由角的构成求出，，然后根据等边对等角及三角形内角和定理得，最后由三角形的外角性质可得∠E=∠ACB-∠CAE可算出答案；
（2）在线段上截取，过点作于点， 首先利用“SAS”证△ABD≌△ACF，由全等三角形的性质得，，结合已知、等量代换及角的构成可推出，由等角对等边得及线段和差得到AF=EF=2a，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出，再由等角对等边得到，即得到，由三边相等的三角形是等边三角形得出△ADF是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得出DG=GF=a，根据勾股定理得出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解；
16．如图，已知是等边三角形，点在的延长线上，是射线上一点，点在上，若是等边三角形，且，已知，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作于，
，
，
、是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
令，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】过作DM⊥AB于M，由垂直定义得出∠GMD=∠DCF=90°，由等边三角形性质得∠B=∠GDF=60°，DG=DF，BC=AC=10，由三角形外角的性质、角的构成及等式性质可推出∠FDC=∠MGD，从而用“AAS”证明△DCF≌△MGD，由全等三角形的对应边相等得到CD=MG，令CD=x，由线段和差得MB=7-x，BD=10-x，根据含30°角直角三角形性质得BD=2BM=14-2x，从而即可建立出关于字母x的方程，求解得出x的值即可.
三、解答题（共5小题）
17．如图，在网格中，每个小正三角形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上．
（1）在图中，画一个（点为格点），使它与关于直线成轴对称；
（2）在图中，画一个（点为格点，且不与点重合），使．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用网格纸的特点及轴对称的性质，作出点B关于AC的对称点D，连接AD、CD，△ACD就是所求的三角形；
（2）在点B的右侧取格点E，使BE等于3个单位长度，连接BE、AE，设BE与AC的交点为点F， 由网格特点可得AF=BF，CF=EF，由对顶角相等得∠AEB=∠ACB，从而利用“SAS”证△BCF≌△AEF，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠E，从而即可得出∠AEB就是所求的角.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．如图，，，，，且点A，C，E在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，.
∵，
∴为等腰直角三角形.
又∵，，
∴，
∴，
∴在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先得到∠ABD＝∠CBE，然后利用证明全等即可；
（2）由全等可得，，然后得到为等腰直角三角形，进而求出，，再运用勾股定理解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，.
∵，
∴为等腰直角三角形.
又∵，，
∴，
∴，
∴在中，．
19．如图1，中，于D，且，若．
（1）求和的长；
（2）如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．
①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值；
②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，，
∴；
（2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形，
∴，
即，
∴；
②∵，
∴，
又，
∴，，
∴，
∴
∴，
当点M在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
∴；
如果，则点M运动到点A，
∴；
如果，
过点E作于F，如图3所示：
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴
则在中，，
∴．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；余角；分类讨论
【解析】【分析】（1）设，则，，利用三角形的面积构造关于x的方程，可求出、、，然后利用勾股定理求出即可；
（2）①由是以点A为顶点的等腰三角形，得出，则可列出关于t的方程，解方程即可；
②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出，由可判断点M不在上，当点M在时，分，，三种情况讨论即可．
（1）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，，
∴；
（2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形，
∴，
即，
∴；
②∵，
∴，
又，
∴，，
∴，
∴
∴，
当点M在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
∴；
如果，则点M运动到点A，
∴；
如果，
过点E作于F，如图3所示：
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴
则在中，，
∴．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
20．【问题发现】（1）如图1，在与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，求的长．
【问题提出】（2）如图2，在中，，过点C作，且，求．
【问题解决】（3）如图3，四边形中，，且，求．
【答案】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）过D作交延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图：
∵且，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知，由此可以推出，满足全等判定条件，可证明，根据全等三角形对应边相等，即可得到，，进而计算出的长度；
（2）过点作，交的延长线于点，根据，可得，进一步推导可得，满足全等判定条件，可证明，根据全等三角形对应边相等得到，最后即可计算出的面积；
（3）通过作垂线构造全等三角形来求解：过点A作，垂足为E，再过点B作，交DC的延长线于点F。已知的面积为12，CD边长为6，由三角形面积公式，可计算得。又因为，且，因此△ADE是等腰直角三角形，可得，那么。根据题中条件，由三角形内角和可得，且。结合垂线的性质，可得，结合，即，可以证明。由全等三角形对应边相等，得，最后代入三角形面积公式即可求出的面积.
21．如图，中，，E点为射线上一动点，连接，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
（3）当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，则　 　（直接写出结果）．
【答案】（1）解：
在和中
∴
（2）解：如图2，过F点作交AC于D点
在和中，
，
∴点为中点；
（3）6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；比例的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）过F作的延长线交于点D，如
，
由(1)(2)知∶，
【分析】（1）先证明△ADF是等腰直角三角形，得出AD=FD，再通过角的关系证明，从而得到EC=AD，CD=DF，进而得出EC+CD=DF；
（2）通过作辅助线过F点作交于D点，再结合（1）中结论，利用 AAS 即可证明，进而得出边的相等关系，再结合已知的比例关系推导出所求点为中点；
（3）过F作的延长线交于点D，由，，， ，由（1）（2）可知，，可得，所以即可求得的值．
1 / 1浙江省宁波市蛟川书院（甬真校区）2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷试卷（学科素养大比拼 ）
一、选择题（共10小题）
1．一个三角形三个内角度数之比是，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2． 已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是（　　）
A．2 B．5 C．8 D．11
3．根据下列已知条件，不能画出唯一的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（　　）
A．16 B．11 C．16或8 D．11或1
5．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，在中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD=AP=5，当ADAB时，过D作DEAC于E，若DE=4，则面积为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．20
10．如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（　　）
A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积
C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积
二、填空题（共6小题）
11． 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为　 　.
12．如图，在中，，是上的高，，，则的度数为　 　．
13．如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度　 　．
14．如图，为外一点，，平分的一个外角，．若，，则的长为　 　．
15．瓯江灯光秀，以瓯江沿岸独具特色的山体为载体，采用先进的灯光技术，不同颜色的光束投影在山体表面交错重叠，从而产生多变的景观，如图，点为山顶的射灯装置，射出的绿色光线形成等腰三角形（即，），射出的红色光线形成直角三角形（即，），点在同一直线上．
（）若，则的度数为　 　．
（）若，且，则两片光束重叠部分（即）的面积为　 　．（用含的代数式表示）
16．如图，已知是等边三角形，点在的延长线上，是射线上一点，点在上，若是等边三角形，且，已知，，则的长为　 　．
三、解答题（共5小题）
17．如图，在网格中，每个小正三角形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上．
（1）在图中，画一个（点为格点），使它与关于直线成轴对称；
（2）在图中，画一个（点为格点，且不与点重合），使．
18．如图，，，，，且点A，C，E在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．如图1，中，于D，且，若．
（1）求和的长；
（2）如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．
①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值；
②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
20．【问题发现】（1）如图1，在与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，求的长．
【问题提出】（2）如图2，在中，，过点C作，且，求．
【问题解决】（3）如图3，四边形中，，且，求．
21．如图，中，，E点为射线上一动点，连接，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
（3）当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，则　 　（直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：三角形三个内角度数之比是，
∴三角形的三个内角依次为：，，，
∴该三角形一定是锐角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形三个内角的度数之比，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再根据三角形按角分类即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：选项A：2不满足2选项B：5满足2选项C：8不满足2选项D：11不满足2故答案为： B.
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”来确定x的取值范围，再据此判断选项.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据三角形判定定理、、、、可确定唯一三角形，不能）分析各选项：
A、已知，，，其中AB是与的夹边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意；
B、已知，，，其中BC是的对边，是的邻边，符合条件，无法确定唯一△ABC，此选项符合题意；
C、已知，，，其中是AB与BC的夹角，符合判定，能画出唯一△ABC，此选项不符合题意；
D、已知，，，其中AB是斜边，AC是直角边，符合判定，能画出唯一△ABC，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】给出条件要能画出唯一三角形，则所给条件必须满足三角形全等的判定方法“SSS、SAS、ASA、AAS、HL”中的一种，据此 先明确每个选项给出条件的边角位置关系，再根据三角形全等判定方法逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组；三角形三边关系；三角形的中线；分类讨论
【解析】解：根据题意
设BD=DC=a，AB=BC=2a，AC=b，
①当，时，
则2a+a=15
b+a=21，
解得：a=5，b=16；
即的三边长为、、，符合题意；
②当，时，
则2a+a=21
b+a=15
解得：a=7，b=8；
即的三边长为、、，符合题意；
综上可知，的长为16或8，
故选：C．
【分析】
本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，，则，分两种情况列二元一次方程组求解求出b，再利用三角形的三边关系检验即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，即，
故答案为：A．
【分析】本题先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解．
6．【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①作一个角的角平分线正确，
②作一个角等于已知角正确，
③如图所示，作一条线段的垂直平分线，不正确，
综上①②正确．
故选：A．
【分析】根据尺规作图画一条线段的垂直平分线、画一个角的平分线、画一个角等于已知角的作法，逐个分析，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∵，
∴，
故B正确，不符合题意；
取的延长线与点M，的延长线与点N，如图：
平分，平分，
，
故C正确，不符合题意；
由选项C知，
，无法得到，
故D项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】
根据角平分线的定义，可以得到，再结合三角形内角和定理，就能推导出；同样依据角平分线的定义可以得到，结合三角形外角的性质，即可证明；根据三角形外角的性质，可得，再利用角平分线的定义和三角形内角和定理，就能推导出；最后结合这个结论，无法推出成立.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
∵，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
∵，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：D．
【分析】利用“”可证，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，可对①作出判断；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可对②作出判断；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，可对③作出判断；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，可对④作出判断；即可求解．
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC、AD=5、DE=4
由勾股定理得AE=3
又∵AP=5
∴PE=2
∴由勾股定理得PD=
∵AD=AP
∴∠ADP=∠DPA
∵DEAC，ADAB
∴∠DEP=∠DAB
∴△DPE∽△BDA
∴
∴
∴PB=BD-PD=
∵∠C=90°，DEAC
∴∠DEP=∠C
又∵∠DPE=∠BPC
∴△DPE∽△BPC
∴
又∵
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出△PDE的面积，然后证明△PDE∽△PBC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，
∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，
∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，
∴∠ADE=∠CAN，
又∵AD=CA，
∴△ADE≌△CAN（AAS），
∴，AE=CN
同理可证△BGH≌△CBN，
∴，BH=CN
∴，
∴
，
∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，
故答案为：D.
【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN，△BGH≌△CBN，得到，AE=CN，，BH=CN，则，即可得到即可解题．
11．【答案】两角互余的三角形为直角三角形
【知识点】逆命题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，
∴逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，即两角互余的三角形为直角三角形
故答案为：两角互余的三角形为直角三角形.
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题.
12．【答案】13°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，是上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：13°．
【分析】由等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD=26°，然后等边对等角及三角形内角和定理得出∠ADE=77°，最后根据角的构成，由∠EDC=∠ADC-∠ADE可算出答案.
13．【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长交于M，延长交于N，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，即，
∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，根据等腰三角形的三线合一得出BC=2BN，由有两个角为60°的三角形是等边三角形得出△BEM是等边三角形，由等边三角形三边相等、三个内角都是60°得出BM=BE=EM=7，∠EMB=60°，由线段和差算出DM=4，根据含30°角直角三角形的性质得出MN=DM=2，由线段和差算出BN=5，从而即可得出BC的长.
14．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，AD交CB于点E，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得到．
故答案为：8．
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得，再通过证明，可得，从而可求、的长度，最后在中利用勾股定理求解即可．
15．【答案】；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（）如图，在线段上截取，过点作于点，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由角的构成求出，，然后根据等边对等角及三角形内角和定理得，最后由三角形的外角性质可得∠E=∠ACB-∠CAE可算出答案；
（2）在线段上截取，过点作于点， 首先利用“SAS”证△ABD≌△ACF，由全等三角形的性质得，，结合已知、等量代换及角的构成可推出，由等角对等边得及线段和差得到AF=EF=2a，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出，再由等角对等边得到，即得到，由三边相等的三角形是等边三角形得出△ADF是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得出DG=GF=a，根据勾股定理得出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解；
16．【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作于，
，
，
、是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
令，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】过作DM⊥AB于M，由垂直定义得出∠GMD=∠DCF=90°，由等边三角形性质得∠B=∠GDF=60°，DG=DF，BC=AC=10，由三角形外角的性质、角的构成及等式性质可推出∠FDC=∠MGD，从而用“AAS”证明△DCF≌△MGD，由全等三角形的对应边相等得到CD=MG，令CD=x，由线段和差得MB=7-x，BD=10-x，根据含30°角直角三角形性质得BD=2BM=14-2x，从而即可建立出关于字母x的方程，求解得出x的值即可.
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）利用网格纸的特点及轴对称的性质，作出点B关于AC的对称点D，连接AD、CD，△ACD就是所求的三角形；
（2）在点B的右侧取格点E，使BE等于3个单位长度，连接BE、AE，设BE与AC的交点为点F， 由网格特点可得AF=BF，CF=EF，由对顶角相等得∠AEB=∠ACB，从而利用“SAS”证△BCF≌△AEF，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠E，从而即可得出∠AEB就是所求的角.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，.
∵，
∴为等腰直角三角形.
又∵，，
∴，
∴，
∴在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先得到∠ABD＝∠CBE，然后利用证明全等即可；
（2）由全等可得，，然后得到为等腰直角三角形，进而求出，，再运用勾股定理解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，.
∵，
∴为等腰直角三角形.
又∵，，
∴，
∴，
∴在中，．
19．【答案】（1）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，，
∴；
（2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形，
∴，
即，
∴；
②∵，
∴，
又，
∴，，
∴，
∴
∴，
当点M在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
∴；
如果，则点M运动到点A，
∴；
如果，
过点E作于F，如图3所示：
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴
则在中，，
∴．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；余角；分类讨论
【解析】【分析】（1）设，则，，利用三角形的面积构造关于x的方程，可求出、、，然后利用勾股定理求出即可；
（2）①由是以点A为顶点的等腰三角形，得出，则可列出关于t的方程，解方程即可；
②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出，由可判断点M不在上，当点M在时，分，，三种情况讨论即可．
（1）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，，
∴；
（2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形，
∴，
即，
∴；
②∵，
∴，
又，
∴，，
∴，
∴
∴，
当点M在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
∴；
如果，则点M运动到点A，
∴；
如果，
过点E作于F，如图3所示：
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴
则在中，，
∴．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
20．【答案】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）过D作交延长线于E，如图：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图：
∵且，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知，由此可以推出，满足全等判定条件，可证明，根据全等三角形对应边相等，即可得到，，进而计算出的长度；
（2）过点作，交的延长线于点，根据，可得，进一步推导可得，满足全等判定条件，可证明，根据全等三角形对应边相等得到，最后即可计算出的面积；
（3）通过作垂线构造全等三角形来求解：过点A作，垂足为E，再过点B作，交DC的延长线于点F。已知的面积为12，CD边长为6，由三角形面积公式，可计算得。又因为，且，因此△ADE是等腰直角三角形，可得，那么。根据题中条件，由三角形内角和可得，且。结合垂线的性质，可得，结合，即，可以证明。由全等三角形对应边相等，得，最后代入三角形面积公式即可求出的面积.
21．【答案】（1）解：
在和中
∴
（2）解：如图2，过F点作交AC于D点
在和中，
，
∴点为中点；
（3）6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；比例的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）过F作的延长线交于点D，如
，
由(1)(2)知∶，
【分析】（1）先证明△ADF是等腰直角三角形，得出AD=FD，再通过角的关系证明，从而得到EC=AD，CD=DF，进而得出EC+CD=DF；
（2）通过作辅助线过F点作交于D点，再结合（1）中结论，利用 AAS 即可证明，进而得出边的相等关系，再结合已知的比例关系推导出所求点为中点；
（3）过F作的延长线交于点D，由，，， ，由（1）（2）可知，，可得，所以即可求得的值．
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