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浙江省杭州中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　）
A．y=ax2+bx+c B．y=x(x-1) C．y= D．y=(x-1)2-x2
2．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
3．以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，排水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（　　）
A．1.4m B．1.6m C．1.8m D．2m
6．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知点A（－1，y1），B（2，y2），C（－3，y3）在抛物线y＝ －x2＋2x＋c上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．从下列4个命题中任取一个：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为．是真命题的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
9．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．是以半径为的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段为邻边作菱形，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（　　）．
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为　 　．
13．设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值：
x … ﹣2 0 2 4 …
y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 …
则方程的解是 　 　．
14．如图，是的直径，弦交于点P，，则的长为　 　．
15．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．请回答下列问题：
（1）　 　；
（2）当时，则的长度为　 　．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．如图是一个转盘，转盘共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针指向白色区域的概率是　 　．
17．已知二次函数的图象经过点，且当时，有最大值．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）判断点是否在抛物线上，并说明理由．
18．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示，完成下列问题：
（1）画出绕点逆时针旋转后的；
（2）求的坐标，并求线段的长是多少？
19．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
20．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
21．如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
22．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为．
（1）　　（用含的代数式表示）．
（2）求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（3）饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值．
23．已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
24．如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，垂足分别为、．
（1）当时，求线段的长；
（2）在点运动的过程中，中的边的长度是否保持不变？如果不变，请说明理由，并求其长度；
（3）设，线段的长度为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、如果a=0， y=ax2+bx+c就不是二次函数，不符合题意；
B、y= x(x-1) =x2-x， 是二次函数，符合题意；
C、 y= ，右边是分式，不是二次函数，不符合题意；
D、 y=(x-1)2-x2 =-2x+1， 是一次函数，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 二次函数是指自变量的最高次数为二次的函数，二次项系数要不等于0，据此作答即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：．
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的平移规律"上加下减，左加右减"并结合题意即可求解．
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：A、坐标原点到的距离为，一定在内，符合题意；
B、坐标原点到的距离为，在上，不符合题意；
C、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意；
D、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意；
故选：A．
【分析】
先计算出圆心也就是坐标原点到每个选项中点的距离，再和圆的半径5比较大小：若计算得到的距离小于，就说明这个点在圆内.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD=100°，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°，
∴100°+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形的性质即可求得的度数.
5．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC．
∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，
∴AE＝EB＝0.6m，
∴OE＝＝＝0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF＝0.8 0.2＝0.6m，
∵CD∥AB，OE⊥AB，
∴OE⊥CD，
∴CD=2CF，
∵CF＝＝0.8m，
∴CD＝1.6m．
故答案为：B．
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，由垂径定理得AE＝EB＝0.6m，在Rt△AEO中，根据勾股定理求出OE的长，由线段和差算出OF的长；由平行线性质推出OE⊥CD，由垂径定理得出CD=2CF，在Rt△COF中利用勾股定理算出CF的长，从而即可得出CD的长得出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D符合，B，C不符合舍去，
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故答案为：A．
【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D可能正确，B，C不符合舍去，然后对A，D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得：抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为
∴当时，y随着x的增大而增大，且当和时，函数值均为y2
∵
∴y3故答案为：B.
【分析】由函数解析式可得函数图象开口向下，且对称轴为直线x=1，在x<1的左侧，y随着x的增大而增大，据此进行比较.
8．【答案】D
【知识点】确定圆的条件；弧长的计算；概率公式；等圆、等弧的概念；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，因此原命题是假命题；
②平分弦不是直径的直径垂直于弦，因此原命题是假命题；
③长度相等的弧不一定是等弧，因此原命题是假命题；
④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为，因此原命题是真命题，
∴从4个命题中任取一个是真命题的概率是
故答案为：D．
【分析】根据确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可判断①；根据垂径定理的推论” 平分弦不是直径的直径垂直于弦，“可判断②；由等弧的定义”能完全重合的两条弧就是等弧“可判断③；根据弧长公式计”“算出半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长即可判断④，进而根据概率公式计算即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
故①正确；
②抛物线开口向下得：，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故②正确；
③抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故③正确；
④∵抛物线的解析式化为
由函数的图象知：当时，，
∴令得，
∵，
∴，
即，
故④正确；
⑤由函数的图象知：当时，，
∴令得，
故⑤正确；
∴这些结论正确的有①②③④⑤．
故答案为：D.
【分析】由图象可得抛物线一定会与x轴有两个不同的交点，故b2-4ac＞0，据此可判断①；由抛物线开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴直线为x=可得b=2a＜0，由抛物线交y轴的正半轴可得c＞0，从而根据有理数乘法法则可判断②；由b=2a可判断③；由图象知当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c＜0，即4a+2b+c＜0，结合b=2a即可判断④；由图象知当x=3时，抛物线y=ax2+bx+c＜0，即可判断⑤.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆心为点，过点作直径，连接交于点，连接，
为的中点，
∴，
（1）如图①，顶点在线段上，
∵点恰在该圆直径的三等分点上，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图②，顶点在的延长线上，
，
同理可得：，，，
∴，
∴；
综上，该菱形的边长为或，
故答案为：C.
【分析】设圆心为点O，过点B作直径，连接AC交BO于点E，连接OC，根据等腰三角形的性质可得BD⊥AC，当顶点D在线段BO上时，由题意可得BD=4，则OD=OB-BD=2，根据菱形的性质可得DE=2，则OE=OD+DE=4，利用勾股定理可得CE、CD；当顶点D在BO的延长线上时，BD=8，同理求解即可.
11．【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【知识点】配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=（x-4）2-25．
故答案为y=（x-4）2-25．
【分析】
通过配方法对原式进行变形，进而得到最终答案.
12．【答案】(2，0)
【知识点】点的坐标；圆的相关概念；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设圆心的坐标为(x、y)，
∵A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)，
∴x2+(4-y)2=(4-x)2+(4-y)2=(6-x)2+(2-y)2，
解得x=2，y=0，
∴该圆弧所在的圆心坐标为(2，0).
故答案为：(2，0)．
【分析】设圆心的坐标为(x、y)，根据两点间的距离公式结合同圆半径相等建立方程，求解得出x、y的知，即可得到圆心的坐标.
13．【答案】，
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和，
∴点与点为二次函数图象上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点 与 关于直线对称，
即 时， ，
∴ ，
∴方程的解为．
故答案为：．
【分析】由抛物线的对称性，结合表中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，则可得抛物线的对称轴为直线 ，然后再利用抛物线的对称性得到 与 关于直线对称， 故m=2.5，所以方程 的解为 ．
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作于H，连接，如图，
∵，
∴CD=2CH，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，由垂径定理得CD=2CH；由线段和差、半径直径之间的关系得出OP=2，在Rt△OHP中，根据含30°角直角三角形性质求出OH=1，在Rt△OHC中，利用勾股定理算出CH，从而即可得出CD的长.
15．【答案】13；
【知识点】等腰三角形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；利用顶点式求二次函数解析式；数形结合
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，，
∵，
∵当时，动点Q运动到点H的位置，
则由题意和图象可知，
当点Q运动到点G的时候，最小，即：，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
；
故答案为：13；
（2）由（1）得：，
∴D（13，81）
设抛物线的解析式为：，
把E(1，225)代入得：a(1-13)2+81=225，
，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）如图1，过点P作PG⊥AB于G，在AB上取点H，使AH，连接PH，PA，PB，根据点E的坐标可得当x=1时，动点Q运动到点H的位置，即AH=1，；结合点D的坐标，当点Q运动到点G的时候，最小为81，AG=m，则，在Rt△PHG中，再由勾股定理建立方程求出m的值；
（2）结合（1）m=13可得抛物线顶点坐标为（13，81），故设抛物线的解析式为y=a(x-13)2+81，然后将点E的坐标代入算出a的值，从而得到抛物线的解析式，进而将x=14代入所求抛物线的解析式算出对应的函数值y=82，由y=PQ2即可求出PQ的长.
16．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】P（指针落在白色区域）=，
故答案为．
【分析】
要计算转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率，只需要求出白色区域的面积占圆形转盘总面积的比例，该比例即为所求概率.
17．【答案】（1）解：由题意得顶点为，
设，
把代入，得，
解得．
该二次函数的表达式为．

（2）解：不在，理由如下：
把代入，
得，
点不在该抛物线上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）根据题意先得到抛物线的顶点坐标，因此设抛物线的解析式为，之后利用待定系数法就可以求出该抛物线的解析式；
（2）要判断点是否在抛物线上，只需要将代入已经求得的二次函数解析式，计算出对应的y值，和该点的纵坐标对比就可以完成判断.
（1）解：由题意得顶点为，
设，
把代入，得，
解得．
该二次函数的表达式为．
（2）解：不在，理由如下：
把代入，
得，
点不在该抛物线上．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解： 连接，
由图可知，，
．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用旋转变换的性质及方格纸的特点，分别作出A，B，C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据B1点在坐标系中的位置及确定点的坐标方法写出点B1的坐标即可；利用方格纸的特点，由勾股定理计算出BB1即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）连接，
由图可知，，
．
19．【答案】解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种；
（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种，
∴P（甲）＜P（乙），则该游戏对甲乙双方不公平．
考点：游戏公平性；列表法与树状图法
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）通过列举的方法，整理出所有等可能出现的抽取结果，再从中统计出甲乙两人抽取卡片得到的数字乘积的所有不同情况；
（2）根据积的所有结果，分别找出满足甲获胜条件、乙获胜条件的结果个数，结合概率公式分别计算出两人获胜的概率，再比较大小得出结论即可．
20．【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再根据旋转性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，再根据旋转性质可得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：，OE是半径，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）先利用垂径定理证出CF=DF，再利用“三线合一”的性质可得AF=BF，最后利用线段的和差可得AC=BD；
（2）连接，设的半径是，利用勾股定理可得，最后求出半径的长即可.
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：由题意，．
，
对称轴，开口向下，
当时，最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
【知识点】二次函数的最值；用代数式表示几何图形的数量关系；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，，
．
故答案为：．
（2）根据题意，得
，
，
．
答：与的函数关系式为，值的取值范围是．
【分析】（1）由题意建立代数式即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立代数式即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意，，
．
故答案为：．
（2）根据题意，得
，
，
．
答：与的函数关系式为，值的取值范围是．
（3）由题意，．
，
对称轴，开口向下，
当时，最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴
解得，
∴二次函数的关系式为.
（2）解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴的值为4．
（3）解：∵，∴抛物线开口向上，关于直线对称，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
当时，，
分三种情况：
①当时，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时取得最大值，即最大值为，
当时取得最小值，即最小值为，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时时取得最大值，即最大值为，
时取得最小值，即最小值为，
此时最大值与最小值的差为，符合题意；
③当时，
此时时取得最小值，即最小值为，
时取得最大值，最大值为，
由题意可得：，
解得，，
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）由对称轴直线公式结合对称轴直线 可列出方程，将点A的坐标得4-2b+c=4，联立两方程求解得出b、c的值即可得到抛物线解析式；
（2）根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”得平移后的点B的坐标为(1-m，8)，再将其代入（1）所求抛物线的解析式，即可求出m的值；
（3）根据抛物线的开口方向及对称轴直线得出抛物线的增减性；然后分 ①当时， ②当时， ③当时三种情况，根据增减性分别求出对应的最大值与最小值，结合最大值与最小值的差为列出方程分别求解，综上即可得出答案.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴解得，
∴二次函数的关系式为.
（2）解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴的值为4．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，关于直线对称，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
当时，，
分三种情况：
①当时，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时取得最大值，即最大值为，
当时取得最小值，即最小值为，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时时取得最大值，即最大值为，
时取得最小值，即最小值为，
此时最大值与最小值的差为，符合题意；
③当时，
此时时取得最小值，即最小值为，
时取得最大值，最大值为，
由题意可得：，
解得，，
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为.
24．【答案】（1）解：，，
，∠ODB=90°，
；
（2）解：ED的长度不变，
如图，连接AB，
则，
，，
和分别是线段和的中点，
是的中位线，
；
（3）解： 如图，连接，
，
，
，，，
，，
，
过作，
，
由（2）已知，
，
，
即．
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得出，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连接AB，易得△ABO是等腰直角三角形，根据勾股定理算出AB，由三角形的中位线定理可得DE的长；
（3）连接OC，由勾股定理表示出OD，由等腰三角形的三线合一得出，，得到，过D作DE⊥OE，由等腰直角是哪些性质及勾股定理分别表示出OF及EF，然后根据OE=OF+FE可建立出y关于x的函数关系式，进而根据0＜BC＜AB可求出x的取值范围.
（1），，
，
，
；
（2）的长度不变，
如图，连接，
则，
，，
和分别是线段和的中点，
是的中位线，
；
（3）如图，连接，
，
，
，，，
，，
，
过作，
，
由（2）已知，
，
，
即．
1 / 1浙江省杭州中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　）
A．y=ax2+bx+c B．y=x(x-1) C．y= D．y=(x-1)2-x2
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、如果a=0， y=ax2+bx+c就不是二次函数，不符合题意；
B、y= x(x-1) =x2-x， 是二次函数，符合题意；
C、 y= ，右边是分式，不是二次函数，不符合题意；
D、 y=(x-1)2-x2 =-2x+1， 是一次函数，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 二次函数是指自变量的最高次数为二次的函数，二次项系数要不等于0，据此作答即可。
2．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：．
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的平移规律"上加下减，左加右减"并结合题意即可求解．
3．以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：A、坐标原点到的距离为，一定在内，符合题意；
B、坐标原点到的距离为，在上，不符合题意；
C、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意；
D、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意；
故选：A．
【分析】
先计算出圆心也就是坐标原点到每个选项中点的距离，再和圆的半径5比较大小：若计算得到的距离小于，就说明这个点在圆内.
4．如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD=100°，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°，
∴100°+2∠B=180°，
∴∠B=40°，
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形的性质即可求得的度数.
5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，排水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（　　）
A．1.4m B．1.6m C．1.8m D．2m
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC．
∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，
∴AE＝EB＝0.6m，
∴OE＝＝＝0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF＝0.8 0.2＝0.6m，
∵CD∥AB，OE⊥AB，
∴OE⊥CD，
∴CD=2CF，
∵CF＝＝0.8m，
∴CD＝1.6m．
故答案为：B．
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，由垂径定理得AE＝EB＝0.6m，在Rt△AEO中，根据勾股定理求出OE的长，由线段和差算出OF的长；由平行线性质推出OE⊥CD，由垂径定理得出CD=2CF，在Rt△COF中利用勾股定理算出CF的长，从而即可得出CD的长得出答案.
6．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D符合，B，C不符合舍去，
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故答案为：A．
【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D可能正确，B，C不符合舍去，然后对A，D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
7．已知点A（－1，y1），B（2，y2），C（－3，y3）在抛物线y＝ －x2＋2x＋c上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得：抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为
∴当时，y随着x的增大而增大，且当和时，函数值均为y2
∵
∴y3故答案为：B.
【分析】由函数解析式可得函数图象开口向下，且对称轴为直线x=1，在x<1的左侧，y随着x的增大而增大，据此进行比较.
8．从下列4个命题中任取一个：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为．是真命题的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】确定圆的条件；弧长的计算；概率公式；等圆、等弧的概念；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，因此原命题是假命题；
②平分弦不是直径的直径垂直于弦，因此原命题是假命题；
③长度相等的弧不一定是等弧，因此原命题是假命题；
④在半径为4的圆中，的圆心角所对的弧长为，因此原命题是真命题，
∴从4个命题中任取一个是真命题的概率是
故答案为：D．
【分析】根据确定圆的条件“不在同一直线上的三点确定一个圆”可判断①；根据垂径定理的推论” 平分弦不是直径的直径垂直于弦，“可判断②；由等弧的定义”能完全重合的两条弧就是等弧“可判断③；根据弧长公式计”“算出半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长即可判断④，进而根据概率公式计算即可得出答案.
9．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
故①正确；
②抛物线开口向下得：，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故②正确；
③抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故③正确；
④∵抛物线的解析式化为
由函数的图象知：当时，，
∴令得，
∵，
∴，
即，
故④正确；
⑤由函数的图象知：当时，，
∴令得，
故⑤正确；
∴这些结论正确的有①②③④⑤．
故答案为：D.
【分析】由图象可得抛物线一定会与x轴有两个不同的交点，故b2-4ac＞0，据此可判断①；由抛物线开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴直线为x=可得b=2a＜0，由抛物线交y轴的正半轴可得c＞0，从而根据有理数乘法法则可判断②；由b=2a可判断③；由图象知当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c＜0，即4a+2b+c＜0，结合b=2a即可判断④；由图象知当x=3时，抛物线y=ax2+bx+c＜0，即可判断⑤.
10．是以半径为的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段为邻边作菱形，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（　　）．
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆心为点，过点作直径，连接交于点，连接，
为的中点，
∴，
（1）如图①，顶点在线段上，
∵点恰在该圆直径的三等分点上，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图②，顶点在的延长线上，
，
同理可得：，，，
∴，
∴；
综上，该菱形的边长为或，
故答案为：C.
【分析】设圆心为点O，过点B作直径，连接AC交BO于点E，连接OC，根据等腰三角形的性质可得BD⊥AC，当顶点D在线段BO上时，由题意可得BD=4，则OD=OB-BD=2，根据菱形的性质可得DE=2，则OE=OD+DE=4，利用勾股定理可得CE、CD；当顶点D在BO的延长线上时，BD=8，同理求解即可.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为　 　.
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【知识点】配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=（x-4）2-25．
故答案为y=（x-4）2-25．
【分析】
通过配方法对原式进行变形，进而得到最终答案.
12．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为　 　．
【答案】(2，0)
【知识点】点的坐标；圆的相关概念；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设圆心的坐标为(x、y)，
∵A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)，
∴x2+(4-y)2=(4-x)2+(4-y)2=(6-x)2+(2-y)2，
解得x=2，y=0，
∴该圆弧所在的圆心坐标为(2，0).
故答案为：(2，0)．
【分析】设圆心的坐标为(x、y)，根据两点间的距离公式结合同圆半径相等建立方程，求解得出x、y的知，即可得到圆心的坐标.
13．设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值：
x … ﹣2 0 2 4 …
y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 …
则方程的解是 　 　．
【答案】，
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和，
∴点与点为二次函数图象上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点 与 关于直线对称，
即 时， ，
∴ ，
∴方程的解为．
故答案为：．
【分析】由抛物线的对称性，结合表中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，则可得抛物线的对称轴为直线 ，然后再利用抛物线的对称性得到 与 关于直线对称， 故m=2.5，所以方程 的解为 ．
14．如图，是的直径，弦交于点P，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作于H，连接，如图，
∵，
∴CD=2CH，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，由垂径定理得CD=2CH；由线段和差、半径直径之间的关系得出OP=2，在Rt△OHP中，根据含30°角直角三角形性质求出OH=1，在Rt△OHC中，利用勾股定理算出CH，从而即可得出CD的长.
15．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．请回答下列问题：
（1）　 　；
（2）当时，则的长度为　 　．
【答案】13；
【知识点】等腰三角形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；利用顶点式求二次函数解析式；数形结合
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，，
∵，
∵当时，动点Q运动到点H的位置，
则由题意和图象可知，
当点Q运动到点G的时候，最小，即：，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
；
故答案为：13；
（2）由（1）得：，
∴D（13，81）
设抛物线的解析式为：，
把E(1，225)代入得：a(1-13)2+81=225，
，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）如图1，过点P作PG⊥AB于G，在AB上取点H，使AH，连接PH，PA，PB，根据点E的坐标可得当x=1时，动点Q运动到点H的位置，即AH=1，；结合点D的坐标，当点Q运动到点G的时候，最小为81，AG=m，则，在Rt△PHG中，再由勾股定理建立方程求出m的值；
（2）结合（1）m=13可得抛物线顶点坐标为（13，81），故设抛物线的解析式为y=a(x-13)2+81，然后将点E的坐标代入算出a的值，从而得到抛物线的解析式，进而将x=14代入所求抛物线的解析式算出对应的函数值y=82，由y=PQ2即可求出PQ的长.
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．如图是一个转盘，转盘共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针指向白色区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】P（指针落在白色区域）=，
故答案为．
【分析】
要计算转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率，只需要求出白色区域的面积占圆形转盘总面积的比例，该比例即为所求概率.
17．已知二次函数的图象经过点，且当时，有最大值．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）判断点是否在抛物线上，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意得顶点为，
设，
把代入，得，
解得．
该二次函数的表达式为．

（2）解：不在，理由如下：
把代入，
得，
点不在该抛物线上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）根据题意先得到抛物线的顶点坐标，因此设抛物线的解析式为，之后利用待定系数法就可以求出该抛物线的解析式；
（2）要判断点是否在抛物线上，只需要将代入已经求得的二次函数解析式，计算出对应的y值，和该点的纵坐标对比就可以完成判断.
（1）解：由题意得顶点为，
设，
把代入，得，
解得．
该二次函数的表达式为．
（2）解：不在，理由如下：
把代入，
得，
点不在该抛物线上．
18．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中如图所示，完成下列问题：
（1）画出绕点逆时针旋转后的；
（2）求的坐标，并求线段的长是多少？
【答案】（1）解：如图，即为所求
（2）解： 连接，
由图可知，，
．
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用旋转变换的性质及方格纸的特点，分别作出A，B，C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据B1点在坐标系中的位置及确定点的坐标方法写出点B1的坐标即可；利用方格纸的特点，由勾股定理计算出BB1即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）连接，
由图可知，，
．
19．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
【答案】解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种；
（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种，
∴P（甲）＜P（乙），则该游戏对甲乙双方不公平．
考点：游戏公平性；列表法与树状图法
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）通过列举的方法，整理出所有等可能出现的抽取结果，再从中统计出甲乙两人抽取卡片得到的数字乘积的所有不同情况；
（2）根据积的所有结果，分别找出满足甲获胜条件、乙获胜条件的结果个数，结合概率公式分别计算出两人获胜的概率，再比较大小得出结论即可．
20．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再根据旋转性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，再根据旋转性质可得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理即可求出答案.
21．如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，OE是半径，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）先利用垂径定理证出CF=DF，再利用“三线合一”的性质可得AF=BF，最后利用线段的和差可得AC=BD；
（2）连接，设的半径是，利用勾股定理可得，最后求出半径的长即可.
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
22．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为．
（1）　　（用含的代数式表示）．
（2）求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
（3）饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由题意，．
，
对称轴，开口向下，
当时，最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
【知识点】二次函数的最值；用代数式表示几何图形的数量关系；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，，
．
故答案为：．
（2）根据题意，得
，
，
．
答：与的函数关系式为，值的取值范围是．
【分析】（1）由题意建立代数式即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立代数式即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意，，
．
故答案为：．
（2）根据题意，得
，
，
．
答：与的函数关系式为，值的取值范围是．
（3）由题意，．
，
对称轴，开口向下，
当时，最大，最大值．
答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．
23．已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴
解得，
∴二次函数的关系式为.
（2）解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴的值为4．
（3）解：∵，∴抛物线开口向上，关于直线对称，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
当时，，
分三种情况：
①当时，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时取得最大值，即最大值为，
当时取得最小值，即最小值为，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时时取得最大值，即最大值为，
时取得最小值，即最小值为，
此时最大值与最小值的差为，符合题意；
③当时，
此时时取得最小值，即最小值为，
时取得最大值，最大值为，
由题意可得：，
解得，，
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）由对称轴直线公式结合对称轴直线 可列出方程，将点A的坐标得4-2b+c=4，联立两方程求解得出b、c的值即可得到抛物线解析式；
（2）根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”得平移后的点B的坐标为(1-m，8)，再将其代入（1）所求抛物线的解析式，即可求出m的值；
（3）根据抛物线的开口方向及对称轴直线得出抛物线的增减性；然后分 ①当时， ②当时， ③当时三种情况，根据增减性分别求出对应的最大值与最小值，结合最大值与最小值的差为列出方程分别求解，综上即可得出答案.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴解得，
∴二次函数的关系式为.
（2）解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴的值为4．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，关于直线对称，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
当时，，
分三种情况：
①当时，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时取得最大值，即最大值为，
当时取得最小值，即最小值为，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时时取得最大值，即最大值为，
时取得最小值，即最小值为，
此时最大值与最小值的差为，符合题意；
③当时，
此时时取得最小值，即最小值为，
时取得最大值，最大值为，
由题意可得：，
解得，，
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为.
24．如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，垂足分别为、．
（1）当时，求线段的长；
（2）在点运动的过程中，中的边的长度是否保持不变？如果不变，请说明理由，并求其长度；
（3）设，线段的长度为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．
【答案】（1）解：，，
，∠ODB=90°，
；
（2）解：ED的长度不变，
如图，连接AB，
则，
，，
和分别是线段和的中点，
是的中位线，
；
（3）解： 如图，连接，
，
，
，，，
，，
，
过作，
，
由（2）已知，
，
，
即．
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得出，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连接AB，易得△ABO是等腰直角三角形，根据勾股定理算出AB，由三角形的中位线定理可得DE的长；
（3）连接OC，由勾股定理表示出OD，由等腰三角形的三线合一得出，，得到，过D作DE⊥OE，由等腰直角是哪些性质及勾股定理分别表示出OF及EF，然后根据OE=OF+FE可建立出y关于x的函数关系式，进而根据0＜BC＜AB可求出x的取值范围.
（1），，
，
，
；
（2）的长度不变，
如图，连接，
则，
，，
和分别是线段和的中点，
是的中位线，
；
（3）如图，连接，
，
，
，，，
，，
，
过作，
，
由（2）已知，
，
，
即．
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