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甘肃省渭源县北寨中学2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学试题
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．下列给出的点的坐标，位于第三象限的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，三角形中，，于点，若，，，．则点到直线的距离是（　　）
A． B．3 C．4 D．5
4．如图，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．若，则的值是（　　）
A．1 B．0 C． D．2
8．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
9．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．一个正方形的面积扩大为原来的倍，它的周长变为原来的　 　倍．
12．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为　 　
13．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=　 　．
14．比较大小： 　 　1．（填“”或“”）．
15．小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为　 　．
16．已知：，那么　 　．
17．计算：
（1）；
（2）求x的值：．
18．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
19．如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，的位置如图所示．
（1）写出点A、B、C的坐标：______，B_______，C________；
（2）平移，使点移动到点．
①画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）；
②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标：________．（用含，的代数式表示）
20．在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若轴，点在点的左侧且，求的值．
21．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
22．如图所示，，平分，．试说明：．
23．如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
24．如图，直线，交于点O，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
25．如图，点E、F分别在线段和上，且于G，于H，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的大小．
26．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？
27．如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间．
（1）如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程）
（2）如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数．
（3）把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误；
，，，
，
，，故A正确，B错误．
故答案为：A.
【分析】由正数大于零和负数，零大于负数，可判断C、D选项，根据几个负数，绝对值大的反而小即可判断A、B选项.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A选项，横坐标为负，纵坐标为正，该点在第二象限，不符合要求；
B选项，横坐标为正，纵坐标为负，该点在第四象限，不符合要求；
C选项，横坐标为负，纵坐标也为负，完全符合第三象限点的坐标特征，符合要求；
D选项，横坐标为正，纵坐标为正，该点在第一象限，不符合要求；
故选：C.
【分析】平面直角坐标系中，第三象限内点的坐标特征是横坐标与纵坐标均为负数，依据这一性质对各选项逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：，垂足为点，
根据点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是垂线段的长度，也就是.
故选：A.
【分析】点到直线的距离的定义为：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离.结合题目给出的条件，可以确定点到直线的距离就是垂线段的长度，依此即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，连接：
由题意可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】连接，根据平行线的性质可以推出，进一步推导即可证得，根据内错角相等，两直线平行可得，再结合平行线的性质即可得到.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
．
又平分，
．
又，
．
故选：B.
【分析】先根据平行线的性质，计算出的度数，再结合角平分线的定义，得到的度数，最终再次利用平行线的性质，求出的度数即可完成解答.
6．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】根据题意可知，平移后对应点的连线长度相等，即，同时对应边的长度相等，即.
已知的周长为，四边形的周长为，因此可以得到：
，，将AC=A'C'代入后可推得，
结合，即可得到.
故选：B.
【分析】本题解题的核心是利用平移的性质得到对应边、对应点连线相等的关系，再结合给出的周长条件推导计算.
7．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
，．
．
故选：C
【分析】根据二次根式的性质可得，，求得a，b，代入代数式求解即可．
8．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，且．
∴，即．
∴的值在5和6之间．
故选：D.
【分析】可以利用夹逼法来估算无理数的大小，只要找出两个相邻的完全平方数，使得31介于这两个完全平方数之间，就可以确定的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由翻折的性质可得：，，由题意可知四边形为长方形，
，
，
，
又，
，
，，
又，
，
即：，
，
，
，
，
，
．
故选：B.
【分析】根据折叠的性质，以及长方形对边平行的性质可以得到：，，由此可以推出，.
接下来结合平行线的性质，由，可得同旁内角互补，即；再由，可得内错角相等，即.
将上述关系整理后即可解出，最后就可以计算得到的度数.
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图象可得，第一个正方形中，，，，，
各点的横坐标依次为，纵坐标依次为，
第二个正方形中，，，，，
各点的纵坐标依次为，横坐标依次为；
根据纵坐标的变化规律可知，每个点一次循环，
，
∴点在第个循环中的第个点的位置，
∴故点的纵坐标为，
又的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为．
故选：B.
【分析】观察可得，横坐标和纵坐标的变化规律满足每个点为一个循环周期，通过计算可知点位于第个循环周期内，是该循环中的第个点，据此即可推出点的坐标.
11．【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为，可得原正方形的面积为，原正方形的周长为。
当正方形面积扩大为原来的倍后，新正方形的面积为，因此新正方形的边长为，
由此可得新正方形的周长为，
所以周长变为原来的倍数为．
故填：.
【分析】本题利用算术平方根的性质，结合正方形的面积与周长公式推导得到最终结果.
12．【答案】9
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵某一个数的平方根分别是和，
∴，解得：，
∴这个数=.
故答案为：9.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得n+1+n-5=0，求出n的值，然后求出n+2的值，进而可得该数.
13．【答案】-2a+b
【知识点】整式的加减运算；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴
＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b+b﹣a+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b
【分析】根据a、b在数轴上的位置可得b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值的非负性可去括号和根号，然后合并同类项即可求解．
14．【答案】
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
不等式两边同时除以3，可得．
故填：
【分析】本题可通过无理数的估算方法判断出根号7的大小，进而推导出所求代数式的大小范围.
15．【答案】
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点作直线，
根据平行线的内错角相等性质，可得，
已知，
根据平行公理的推论，平行于同一条直线的多条直线互相平行，可得直线，
再次利用平行线的内错角相等性质，得到，
因此.
故填：.
【分析】本题考查的是平行线的性质与平行公理推论的应用，通过作辅助线构造平行关系来求解角度.
16．【答案】
【知识点】平方根的性质；求算术平方根；近似数与准确数
【解析】【解答】解：由，可得．
∵，
∴，
∴，
∴．
故填：．
【分析】本题考查算术平方根相关知识，可以结合平方根的性质，利用题目给出的近似值，再根据开平方时小数点移动的规律来计算得到结果.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：，
，
或，
解得或．
【知识点】开平方（求平方根）；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）按照平方根和绝对值的定义进行计算，就能得出最终结果；
（2）先给方程两边同时除以，再依据平方根的定义就可以求出x的值.
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
或，
解得或．
18．【答案】（1）解：由题意可知的立方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵，是的整数部分，
∴.
（2）解：由（1）可知：，，，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题主要涉及算术平方根、平方根、立方根以及无理数估算的相关知识，熟练掌握这些知识点的概念与性质，是正确解决本题的关键.
（1）可以结合立方根、算术平方根的定义，以及无理数的估算方法来计算得到对应结果；
（2）先将求得的代入待求代数式计算出结果，再结合平方根的定义即可得到最终答案.
（1）解：∵的立方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵，是的整数部分，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
19．【答案】（1），，
（2）①如图所示
②．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）解：由图像可得：，，；
故填：，，.
（2）解：①解：点移动到点，
横坐标变化：，得：向右平移个单位，
纵坐标变化：，得：向下平移个单位，
∴平移后：，
平移后：，
如图所示，平移后的三个顶点坐标为，，，连接三点即可得到平移后的三角形.
②∵平移，使点移动到点，
∴点在内，向右平移个单位，向下平移个单位，
∴．
故填：.
【分析】（）可以根据平面直角坐标系“横坐标左负右正、纵坐标下负上正”的坐标规则，通过数格点得到点的坐标；
（）① 对比点和平移后对应点的坐标，可以得到平移规则：整体向右平移个单位，向下平移个单位.按照这个平移规则，对的坐标进行计算，就能得到平移后对应点的坐标，最后依次连接，即可得到平移后的三角形；
② 图形平移时，图形上所有点都遵循相同的平移规律，已知平移前点的坐标为，根据平移规则，平移后横坐标需要加，纵坐标需要减，因此平移后的对应点的坐标为．
（1）解：，，；
（2）解：①点移动到点，
横坐标变化：，得：向右平移个单位，
纵坐标变化：，得：向下平移个单位，
∴平移后：，
平移后：，
平移后的三个顶点坐标为，，，连接三点即可得到平移后的三角形；
②∵平移，使点移动到点，
∴点在内，向右平移个单位，向下平移个单位，
∴．
20．【答案】（1）解：由题意可知点在轴上，
，
.
（2）解：由题意可知轴，
∴，
，
又∵点在点的左侧且，
∴，即，
．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特点：纵坐标为0，即可求解；（2）根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点：所有点的纵坐标相等，即可求解.
（1）解：点在轴上，
，
；
（2）解：∵轴，
∴，
，
∵点在点的左侧且，
∴，即，
．
21．【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，两直线平行），
∴ABEF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
故填：同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换.
【分析】可以结合平行线的判定定理和性质来对这道题进行分析解答.
22．【答案】解：由题意可知平分，（已知），
∴（角平分线的概念）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】这道题主要考查角平分线的定义与平行线的判定方法，可以先借助角平分线的定义得到，再结合题目给出的已知条件推导出，最后根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理完成证明即可.
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴

【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）已知，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出；再根据“两直线平行，内错角相等”，可得。结合题目给出的，等量代换可得，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可推出；
（2）根据已知条件，结合平行线的性质，可以推得，再结合第一问的结论得到，代入，即可计算出的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴．
24．【答案】（1）解：由条件可知，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）解：由条件可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．

【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得到的度数，由此即可推出的度数；再结合已知条件，得到为90°，最后根据平角为180°的角度关系，就可以计算出的度数．
（2）先根据得到的度数，再结合题目给出的和的比例关系，计算出的度数；接下来根据对顶角相等的性质，得到的度数，最后结合角平分线的性质就可以算出的度数．
（1）解：由条件可知，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由条件可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
25．【答案】（1）证明：由题意可知，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
由题意可知，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）首先根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可证明，根据平行线的内错角相等，得到，结合已知条件，可推得，最后根据内错角相等，两直线平行，即可判定结论.
（2）设，根据两直线平行，内错角相等，由，可得.再结合三角形内角和定理，已知，同时由平行线的同旁内角互补可得，又有，联立两个关于∠CAB的表达式，结合的性质计算，即可解得，得到最终结果.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，，
y，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
26．【答案】解：，
（元），
答：地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元．
【知识点】生活中的平移现象；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】结合平移的性质可以知道，所需地毯的总长度等于图形横向长度与纵向长度的和，据此得到地毯的总长度后，再按照矩形面积公式计算出地毯的总面积，最后用总面积乘以地毯的单价，即可计算出购买地毯所需的总费用.
27．【答案】（1）解：，证明如下：
如图所示，过点作直线：
，
，
又，
．
，
.
（2）解：设，
则，
，
，
又（对顶角相等），
，
解得，
，
，
，
，
如图所示，过点作，
，
，
，
，
，
的平分线与直线交于点，
，
，
又，
.
（3）解：如图所示，过点作，过点作，过点作，
当时，延长交于点，
由题意可得，，
，
又，
，
又，
，
可得，
解得；
如图所示，当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
又，
，
可得，
解得；
如图所示，当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
综上，当时，或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）可以过点作辅助线，再结合平行线的性质即可推导出对应角度的结果；
（2）先设，根据角平分线的定义可以推出，通过列方程计算可以得到，再依据平行线的性质得到，最后再次利用平行线的性质就可以求出的度数；
（3）需要分不同情况进行讨论，分别画出对应情况的图形，依旧借助平行线的性质，对每种情况分别列出方程求解，就能得到对应的结果．
（1）解：，证明如下：
如图，过点作直线，
，
，
，
．
，
；
（2）解：设，
则，
，
，
（对顶角相等），
，
解得，
，
，
，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
，
的平分线与直线交于点，
，
，
，
（3）解：如图，过点作，过点作，过点作，
当时，延长交于点，
根据题意可得，，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
综上，当时，或或．
1 / 1甘肃省渭源县北寨中学2025-2026学年七年级下学期期中考试 数学试题
1．下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据正数大于0，0大于负数，可得，，故C、D错误；
，，，
，
，，故A正确，B错误．
故答案为：A.
【分析】由正数大于零和负数，零大于负数，可判断C、D选项，根据几个负数，绝对值大的反而小即可判断A、B选项.
2．下列给出的点的坐标，位于第三象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A选项，横坐标为负，纵坐标为正，该点在第二象限，不符合要求；
B选项，横坐标为正，纵坐标为负，该点在第四象限，不符合要求；
C选项，横坐标为负，纵坐标也为负，完全符合第三象限点的坐标特征，符合要求；
D选项，横坐标为正，纵坐标为正，该点在第一象限，不符合要求；
故选：C.
【分析】平面直角坐标系中，第三象限内点的坐标特征是横坐标与纵坐标均为负数，依据这一性质对各选项逐一判断即可.
3．如图，三角形中，，于点，若，，，．则点到直线的距离是（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：，垂足为点，
根据点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是垂线段的长度，也就是.
故选：A.
【分析】点到直线的距离的定义为：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离.结合题目给出的条件，可以确定点到直线的距离就是垂线段的长度，依此即可得到答案.
4．如图，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，连接：
由题意可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【分析】连接，根据平行线的性质可以推出，进一步推导即可证得，根据内错角相等，两直线平行可得，再结合平行线的性质即可得到.
5．如图，已知，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
．
又平分，
．
又，
．
故选：B.
【分析】先根据平行线的性质，计算出的度数，再结合角平分线的定义，得到的度数，最终再次利用平行线的性质，求出的度数即可完成解答.
6．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】根据题意可知，平移后对应点的连线长度相等，即，同时对应边的长度相等，即.
已知的周长为，四边形的周长为，因此可以得到：
，，将AC=A'C'代入后可推得，
结合，即可得到.
故选：B.
【分析】本题解题的核心是利用平移的性质得到对应边、对应点连线相等的关系，再结合给出的周长条件推导计算.
7．若，则的值是（　　）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
，．
．
故选：C
【分析】根据二次根式的性质可得，，求得a，b，代入代数式求解即可．
8．估计的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，且．
∴，即．
∴的值在5和6之间．
故选：D.
【分析】可以利用夹逼法来估算无理数的大小，只要找出两个相邻的完全平方数，使得31介于这两个完全平方数之间，就可以确定的取值范围.
9．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由翻折的性质可得：，，由题意可知四边形为长方形，
，
，
，
又，
，
，，
又，
，
即：，
，
，
，
，
，
．
故选：B.
【分析】根据折叠的性质，以及长方形对边平行的性质可以得到：，，由此可以推出，.
接下来结合平行线的性质，由，可得同旁内角互补，即；再由，可得内错角相等，即.
将上述关系整理后即可解出，最后就可以计算得到的度数.
10．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图象可得，第一个正方形中，，，，，
各点的横坐标依次为，纵坐标依次为，
第二个正方形中，，，，，
各点的纵坐标依次为，横坐标依次为；
根据纵坐标的变化规律可知，每个点一次循环，
，
∴点在第个循环中的第个点的位置，
∴故点的纵坐标为，
又的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为．
故选：B.
【分析】观察可得，横坐标和纵坐标的变化规律满足每个点为一个循环周期，通过计算可知点位于第个循环周期内，是该循环中的第个点，据此即可推出点的坐标.
11．一个正方形的面积扩大为原来的倍，它的周长变为原来的　 　倍．
【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为，可得原正方形的面积为，原正方形的周长为。
当正方形面积扩大为原来的倍后，新正方形的面积为，因此新正方形的边长为，
由此可得新正方形的周长为，
所以周长变为原来的倍数为．
故填：.
【分析】本题利用算术平方根的性质，结合正方形的面积与周长公式推导得到最终结果.
12．已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为　 　
【答案】9
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵某一个数的平方根分别是和，
∴，解得：，
∴这个数=.
故答案为：9.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得n+1+n-5=0，求出n的值，然后求出n+2的值，进而可得该数.
13．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=　 　．
【答案】-2a+b
【知识点】整式的加减运算；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴
＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b+b﹣a+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b
【分析】根据a、b在数轴上的位置可得b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值的非负性可去括号和根号，然后合并同类项即可求解．
14．比较大小： 　 　1．（填“”或“”）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
不等式两边同时除以3，可得．
故填：
【分析】本题可通过无理数的估算方法判断出根号7的大小，进而推导出所求代数式的大小范围.
15．小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点作直线，
根据平行线的内错角相等性质，可得，
已知，
根据平行公理的推论，平行于同一条直线的多条直线互相平行，可得直线，
再次利用平行线的内错角相等性质，得到，
因此.
故填：.
【分析】本题考查的是平行线的性质与平行公理推论的应用，通过作辅助线构造平行关系来求解角度.
16．已知：，那么　 　．
【答案】
【知识点】平方根的性质；求算术平方根；近似数与准确数
【解析】【解答】解：由，可得．
∵，
∴，
∴，
∴．
故填：．
【分析】本题考查算术平方根相关知识，可以结合平方根的性质，利用题目给出的近似值，再根据开平方时小数点移动的规律来计算得到结果.
17．计算：
（1）；
（2）求x的值：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：，
，
或，
解得或．
【知识点】开平方（求平方根）；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）按照平方根和绝对值的定义进行计算，就能得出最终结果；
（2）先给方程两边同时除以，再依据平方根的定义就可以求出x的值.
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
或，
解得或．
18．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：由题意可知的立方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵，是的整数部分，
∴.
（2）解：由（1）可知：，，，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题主要涉及算术平方根、平方根、立方根以及无理数估算的相关知识，熟练掌握这些知识点的概念与性质，是正确解决本题的关键.
（1）可以结合立方根、算术平方根的定义，以及无理数的估算方法来计算得到对应结果；
（2）先将求得的代入待求代数式计算出结果，再结合平方根的定义即可得到最终答案.
（1）解：∵的立方根是，
∴，
∴，
∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵，是的整数部分，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
19．如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，的位置如图所示．
（1）写出点A、B、C的坐标：______，B_______，C________；
（2）平移，使点移动到点．
①画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）；
②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标：________．（用含，的代数式表示）
【答案】（1），，
（2）①如图所示
②．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）解：由图像可得：，，；
故填：，，.
（2）解：①解：点移动到点，
横坐标变化：，得：向右平移个单位，
纵坐标变化：，得：向下平移个单位，
∴平移后：，
平移后：，
如图所示，平移后的三个顶点坐标为，，，连接三点即可得到平移后的三角形.
②∵平移，使点移动到点，
∴点在内，向右平移个单位，向下平移个单位，
∴．
故填：.
【分析】（）可以根据平面直角坐标系“横坐标左负右正、纵坐标下负上正”的坐标规则，通过数格点得到点的坐标；
（）① 对比点和平移后对应点的坐标，可以得到平移规则：整体向右平移个单位，向下平移个单位.按照这个平移规则，对的坐标进行计算，就能得到平移后对应点的坐标，最后依次连接，即可得到平移后的三角形；
② 图形平移时，图形上所有点都遵循相同的平移规律，已知平移前点的坐标为，根据平移规则，平移后横坐标需要加，纵坐标需要减，因此平移后的对应点的坐标为．
（1）解：，，；
（2）解：①点移动到点，
横坐标变化：，得：向右平移个单位，
纵坐标变化：，得：向下平移个单位，
∴平移后：，
平移后：，
平移后的三个顶点坐标为，，，连接三点即可得到平移后的三角形；
②∵平移，使点移动到点，
∴点在内，向右平移个单位，向下平移个单位，
∴．
20．在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）若点在轴上，求的值；
（2）若轴，点在点的左侧且，求的值．
【答案】（1）解：由题意可知点在轴上，
，
.
（2）解：由题意可知轴，
∴，
，
又∵点在点的左侧且，
∴，即，
．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特点：纵坐标为0，即可求解；（2）根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点：所有点的纵坐标相等，即可求解.
（1）解：点在轴上，
，
；
（2）解：∵轴，
∴，
，
∵点在点的左侧且，
∴，即，
．
21．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，两直线平行），
∴ABEF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
故填：同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换.
【分析】可以结合平行线的判定定理和性质来对这道题进行分析解答.
22．如图所示，，平分，．试说明：．
【答案】解：由题意可知平分，（已知），
∴（角平分线的概念）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】这道题主要考查角平分线的定义与平行线的判定方法，可以先借助角平分线的定义得到，再结合题目给出的已知条件推导出，最后根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理完成证明即可.
23．如图，已知，．
（1）证明：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴

【知识点】垂线的概念；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）已知，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出；再根据“两直线平行，内错角相等”，可得。结合题目给出的，等量代换可得，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可推出；
（2）根据已知条件，结合平行线的性质，可以推得，再结合第一问的结论得到，代入，即可计算出的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∵，平分，
∴，
由（1）可知，
∴．
24．如图，直线，交于点O，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：由条件可知，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）解：由条件可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．

【知识点】角的运算；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得到的度数，由此即可推出的度数；再结合已知条件，得到为90°，最后根据平角为180°的角度关系，就可以计算出的度数．
（2）先根据得到的度数，再结合题目给出的和的比例关系，计算出的度数；接下来根据对顶角相等的性质，得到的度数，最后结合角平分线的性质就可以算出的度数．
（1）解：由条件可知，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由条件可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
25．如图，点E、F分别在线段和上，且于G，于H，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的大小．
【答案】（1）证明：由题意可知，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
由题意可知，
∴，
又∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）首先根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可证明，根据平行线的内错角相等，得到，结合已知条件，可推得，最后根据内错角相等，两直线平行，即可判定结论.
（2）设，根据两直线平行，内错角相等，由，可得.再结合三角形内角和定理，已知，同时由平行线的同旁内角互补可得，又有，联立两个关于∠CAB的表达式，结合的性质计算，即可解得，得到最终结果.
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，，
y，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
26．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？
【答案】解：，
（元），
答：地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元．
【知识点】生活中的平移现象；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】结合平移的性质可以知道，所需地毯的总长度等于图形横向长度与纵向长度的和，据此得到地毯的总长度后，再按照矩形面积公式计算出地毯的总面积，最后用总面积乘以地毯的单价，即可计算出购买地毯所需的总费用.
27．如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间．
（1）如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程）
（2）如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数．
（3）把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值．
【答案】（1）解：，证明如下：
如图所示，过点作直线：
，
，
又，
．
，
.
（2）解：设，
则，
，
，
又（对顶角相等），
，
解得，
，
，
，
，
如图所示，过点作，
，
，
，
，
，
的平分线与直线交于点，
，
，
又，
.
（3）解：如图所示，过点作，过点作，过点作，
当时，延长交于点，
由题意可得，，
，
又，
，
又，
，
可得，
解得；
如图所示，当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
又，
，
可得，
解得；
如图所示，当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
综上，当时，或或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）可以过点作辅助线，再结合平行线的性质即可推导出对应角度的结果；
（2）先设，根据角平分线的定义可以推出，通过列方程计算可以得到，再依据平行线的性质得到，最后再次利用平行线的性质就可以求出的度数；
（3）需要分不同情况进行讨论，分别画出对应情况的图形，依旧借助平行线的性质，对每种情况分别列出方程求解，就能得到对应的结果．
（1）解：，证明如下：
如图，过点作直线，
，
，
，
．
，
；
（2）解：设，
则，
，
，
（对顶角相等），
，
解得，
，
，
，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
，
的平分线与直线交于点，
，
，
，
（3）解：如图，过点作，过点作，过点作，
当时，延长交于点，
根据题意可得，，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
当时，延长交于点，
此时，，
，
，
，
，
，
，
可得，
解得；
综上，当时，或或．
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