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2026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试第三次学情自测
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．据国家广电总局发布，9月3日上午举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会：直播转播规模、收视人数、收视时长均创历史新高．纪念大会直播期间，全国网络视听平台直播收视逾19.2亿人次．数据19.2亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．从鱼塘中捕得120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得100条鱼，发现其中有记号的鱼10条，可以估计鱼塘中鱼的数量．（　　）
A．1000 B．1200 C．800 D．2400
10．二次函数的图象在这一段位于x轴的上方，在这一段位于轴的下方，则的值为（　　）
A． B． C． D．﹣1
11．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在中，，是边上的高，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
13．若分式 的值为0，则x=　 　．
14．分解因式：　 　．
15．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
16．如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在中，．
（1）尺规作图：过点作边上的高，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）结合（1）的条件，在上取一点，使．连接，求证：．
19．2025年4月19日，北京亦庄举办了全球首届人形机器人半程马拉松，吸引了众人的眼球．在比赛过程中机器人可更换电池，但是会有罚时，且换的过程中不停止计时，因而对机器人的续航能力提出了更高的要求．某公司对其研发的A、B两款人形机器人各10次工作时长（单位：分钟）进行了检测，以下是部分检测数据信息
【收集数据】
A款人形机器人：100 132 112 120 120 124 120 128 140 144
B款人形机器人：92 128 112 116 112 124 128 148 128 152
【分析数据】
型号 平均数 中位数 众数
A a b 120
B 124 126 c
根据以上信息，解答下列问题
（1）填空：________，________，________．
（2）结合上表中的统计量，你认为哪款型号的人形机器人的续航能力较好？请说明理由；
（3）某新能源汽车工厂购进了B款人形机器人300台用于提高工作效率，请估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数．
20．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，E为的中点，求的长．
21．为推进数字校园建设工作，某区安排甲、乙两家公司合作完成台教学一体机的安装任务，乙公司安装的教学一体机数量比甲公司安装的教学一体机数量的两倍少台．
（1）求甲、乙两家公司各安装了多少台教学一体机？
（2）若乙公司每天比甲公司每天少安装台教学一体机，最终乙公司完成安装任务所用天数是甲公司完成安装任务所用天数的倍，求乙公司每天安装多少台教学一体机？
22．如图1，四边形内接于，对角线，相交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）如图2，连接交与点F，，，求的半径长度；
（4）如图3，若，延长至点F，若平分，记的面积为，面积为，面积为，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说明理由．
23．抛物线上存在两点，．
（1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示）
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；
（3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形定义 ：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合。由定义对选项的图形进行判断是否都符合两个定义.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：19.2亿.
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，即选项A错误，不符合题意；
B．，即选项B错误，不符合题意；
C． ，即选项C错误，不符合题意；
D． ，即选项D正确，符合题意．
【分析】
根据幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法运算法则以及单项式乘法法则，依次对每个选项进行分析判断，即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
先借助对顶角的性质结合三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出最终结果.
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴解不等式得，
∴解不等式得：，
∴，
∴将解集表示在数轴上为：，
故选：C．
【分析】
分别解出不等式取公共部分然后在数轴上画出即可．
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：由题意，
∴．
故选：A．
【分析】
根据反比例函数的图象性质进行推导：已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，说明反比例函数的比例系数小于0，也就是，解这个不等式就能得到对应的结果.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求余弦值；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：连接，
∵与都对，
∴，
∵为的直径，
∴
在中，，，
根据勾股定理得：，
则；
【分析】
连接，由勾股定理可以计算得到，根据同弧所对圆周角相等可得，在直角三角形中结合三角函数定义可得，由此即可得到最终结果.
9．【答案】B
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(条)，
故答案为：B．
【分析】运用有标记的条除以混合后标记的占比解题即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为
∴对称轴为直线
∵ 关于对称轴 对称的区间为
又∵ 位于轴上方，根据二次函数对称性， 也位于轴上方
∵ 位于轴下方
∴抛物线过点
将 代入解析式得
整理得
解得．
【分析】
首先确定二次函数的对称轴，然后再利用二次函数的轴对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，再代入解析式计算的值．
11．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】∵绳子剩余4.5尺，
∴，
∵对折绳子量木，木剩余尺，
∴，
∴方程组为
故选：C．
【分析】
按照题目描述梳理信息，列出对应方程即可求解.
12．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】由已知设AD=k，则CD=2k，用勾股定理表示出AC，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠ACD=∠B，结合公共角∠A，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ACD∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出答案.
13．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意得：
解得：x=1
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，即，从中求出符合条件的x的值即可.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接根据公式法进行因式分解即可求解。
15．【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
由根与系数的关系可得：，，
∴．
【分析】
对于一元二次方程，如果方程存在两个实数根，那么根与系数满足关系：，。可以借助这个定理，先求出和的值，再代入需要计算的代数式就能得到结果.
16．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E，连接EP，如图
在等腰直角中，，
∴，
∵，，
∴AD=PD，且∠ABD=∠PBD，
在△ABE和△PBE中，AB=BP，∠ABD=∠PBD，BE=BE，
∴△ABE≌△PBE（SAS），
∴AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，
∴PE=PC，
∵∠FCP+∠CPF=90°，∠EPD+∠CPF=90°，
∴∠FCP=∠EPD，
在△PFC和△EDP中，∠FCP=∠EPD，∠EDP=∠F=90°，PC=PE，
∴△PFC≌△EDP（AAS），
∴，
∵，
∴，
即点到的距离为5.
故答案为：5.
【分析】做辅助线后，根据等腰直角三角形的性质得出，而△BAP是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质得出AD=PD，且∠ABD=∠PBD，此时利用SAS证明△ABE≌△PBE，从而得出AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，此时△EPC为等腰直角三角形，并得出PE=PC，然后结合直角三角形锐角互余以及角度，计算推出∠FCP=∠EPD，此时利用AAS证明△PFC≌△EDP，从而得出，据此即可得出答案。
17．【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据乘方，二次根式，立方根以及绝对值对式子进行化简，再根据实数运算求解即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式以及整式乘法化简每个式子，再合并同类项即可求解．
（1）
（2）
18．【答案】（1）解：如下图所示，线段即为边上的高；
（2）证明：如下图所示，
，AD⊥BC
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点N、F，分别以点N、F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点D，线段AD即为BC边上的高；
（2）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=AB，由等边对等角及三角形外角性质得∠AEB=∠B=2∠C=∠C+∠CAE，则 ∠ CAE= ∠ C，根据等角对等边得CE=AE，进而根据线段和差及等量代换即可得出结论.
（1）解：如下图所示，以点为圆心画弧，交于点、，
分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，
作射线交于点，
线段即为边上的高；
（2）证明：如下图所示，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）124，122，128
（2）解：B款人形机器人续航能力较好，理由：
∵B款人形机器人的工作时长的中位数、众数均比A款人形机器人工作时长的中位数、众数大，
∴B款人形机器人的续航能力较好；
（3）解：2小时分钟，在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的有6台，
∴（台）．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，，
A款人形机器人工作时长从小到大排序为：100 112 120 120 120 124 128 132 140 144，
∴，
B款人形机器人工作时长中，128出现次数最多，
∴；
故答案为：124；122；128；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）由于两款人形机器人工作时长的平均数都是124分钟，故从中位数及众数两个方面比较即可得出结论；
（3）用300乘以样本中在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的占比即可估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数.
（1）解：根据题意，，
A款人形机器人工作时长从小到大排序为：100 112 120 120 120 124 128 132 140 144，
∴，
B款人形机器人工作时长中，128出现次数最多，
∴；
（2）解：B款人形机器人续航能力较好，
理由：B款人形机器人的工作时长的中位数、众数均比A款人形机器人工作时长的中位数、众数大，
∴B款人形机器人的续航能力较好；
（3）解：2小时分钟，
在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的有6台，
∴（台）．
20．【答案】（1）证明：连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
又∵点在上，
∴是的切线；
（2）证明：点C是的切点，
，
，
．
又，
，，
，
又，
，
；
（3）解：，
，，
，由（1）得，
在中，由勾股定理得．
点为的中点，
，
．
，，
，
，
，
，，
，
，
．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）连接，由等腰三角形底角相等的性质可得，再根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，可得，结合题目已知条件可推得。又因为题目给出垂直的条件，所以，等量代换后得到，因此三角形DOC中，也就是OC垂直于DF，而OC是圆O的半径，据此即可证明DF是圆O的切线；
（2）根据第一问已证的切线性质，可得，结合题目已知条件，可推出。又因为OB和OC都是圆O的半径，所以，根据等角的余角相等即可得到。再根据对顶角相等可知，等量代换后得到，根据等角对等边即可证得对应结论成立。
（3）第(1)问证得，先用勾股定理计算得到，接着可以证明，再根据相似三角形对应边成比例的性质，得到，，最后结合线段和差的关系就能求出最终结果.
（1）证明：连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
又∵点在上，
∴是的切线；
（2）证明：点C是的切点，
，
，
．
又，
，，
，
又，
，
；
（3）解：，
，，
，由（1）得，
在中，由勾股定理得．
点为的中点，
，
．
，，
，
，
，
，，
，
，
．
21．【答案】（1）解：设甲公司安装了教学机为台，乙公司安装了教学机为台，根据题意得，
，
解得：，
∴乙公司安装的教学机为台，
答：甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台；
（2）解：设甲公司每天安装台教学一体机，乙公司每天安装台教学一体机，根据题意，
，
解得：，
∴，乙公司每天安装台教学一体机，
答：乙公司每天安装台教学一体机．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲公司负责安装的教学一体机数量是台，那么乙公司负责安装的教学一体机数量就是台，之后结合题目给出的总量条件列出方程，求解方程就能得到结果；
（2）设甲公司每天可以安装台教学一体机，那么乙公司每天可以安装台教学一体机，按照题目给出的工作时间关系列出方程，求解方程就能得到结果.
（1）解：设甲公司安装了教学机为台，乙公司安装了教学机为台，根据题意得，
，
解得：，
∴乙公司安装的教学机为台，
答：甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台；
（2）解：设甲公司每天安装台教学一体机，乙公司每天安装台教学一体机，根据题意，
，
解得：，
∴，乙公司每天安装台教学一体机，
答：乙公司每天安装台教学一体机．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，负值舍去，
答：的长度为．

（3）解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
设的半径为R，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的半径为．

（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由，可得同弧所对的圆周角相等，即，再结合两个三角形的公共角，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可判定三角形相似，得到结论；
（2）根据第(1)问得到的，可得对应边成比例，代入得，求解即可得到CD的长度；
（3）连接，根据弧相等得对应的弦相等，结合垂径定理可推出，且，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出。设的半径为R，则，在Rt△OCF中，根据勾股定理可得方程，解方程即可求出圆O的半径；
（4）先证明，得出，即，由，得出，求出，证明，，得出，根据，得出，求出，得出，即可得出．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，负值舍去，
答：的长度为．
（3）解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
设的半径为R，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的半径为．
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为：；
（2）解：由可知：抛物线的顶点坐标为：，
当时：，
当时：，
∴，，
∵，
∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图：
由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点，
∴a的取值范围为：或；
（3）解：∵，，
∴，
当时，，
∴，
①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍去）；
②当M在点A与顶点坐标之间时，
此时，即，不符合题意；
③当M在对称轴右侧，即时，
时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：，此时不符合题意；
当时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上：或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将一元二次方程的一般式换为顶点式，再求解即可；
（2）先求出点A、B的坐标，再结合函数图象分析求解即可；
（3）分类讨论： ①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小， ②当M在点A与顶点坐标之间时， ③当M在对称轴右侧，再分别求解即可.
1 / 12026年广西壮族自治区初中毕业水平数学考试第三次学情自测
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形定义 ：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合。由定义对选项的图形进行判断是否都符合两个定义.
3．据国家广电总局发布，9月3日上午举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会：直播转播规模、收视人数、收视时长均创历史新高．纪念大会直播期间，全国网络视听平台直播收视逾19.2亿人次．数据19.2亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：19.2亿.
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，即选项A错误，不符合题意；
B．，即选项B错误，不符合题意；
C． ，即选项C错误，不符合题意；
D． ，即选项D正确，符合题意．
【分析】
根据幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法运算法则以及单项式乘法法则，依次对每个选项进行分析判断，即可得到答案.
5．如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
先借助对顶角的性质结合三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出最终结果.
6．不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴解不等式得，
∴解不等式得：，
∴，
∴将解集表示在数轴上为：，
故选：C．
【分析】
分别解出不等式取公共部分然后在数轴上画出即可．
7．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：由题意，
∴．
故选：A．
【分析】
根据反比例函数的图象性质进行推导：已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，说明反比例函数的比例系数小于0，也就是，解这个不等式就能得到对应的结果.
8．如图，是的外接圆，为的直径，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求余弦值；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：连接，
∵与都对，
∴，
∵为的直径，
∴
在中，，，
根据勾股定理得：，
则；
【分析】
连接，由勾股定理可以计算得到，根据同弧所对圆周角相等可得，在直角三角形中结合三角函数定义可得，由此即可得到最终结果.
9．从鱼塘中捕得120条鱼，把他们作上记号后，再放回池中．经过一段时间后，再从池中捕得100条鱼，发现其中有记号的鱼10条，可以估计鱼塘中鱼的数量．（　　）
A．1000 B．1200 C．800 D．2400
【答案】B
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(条)，
故答案为：B．
【分析】运用有标记的条除以混合后标记的占比解题即可．
10．二次函数的图象在这一段位于x轴的上方，在这一段位于轴的下方，则的值为（　　）
A． B． C． D．﹣1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为
∴对称轴为直线
∵ 关于对称轴 对称的区间为
又∵ 位于轴上方，根据二次函数对称性， 也位于轴上方
∵ 位于轴下方
∴抛物线过点
将 代入解析式得
整理得
解得．
【分析】
首先确定二次函数的对称轴，然后再利用二次函数的轴对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，再代入解析式计算的值．
11．《孙子算经》中记载了这样一道题：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？”若设绳子长尺，木长尺．根据题意，可得列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】∵绳子剩余4.5尺，
∴，
∵对折绳子量木，木剩余尺，
∴，
∴方程组为
故选：C．
【分析】
按照题目描述梳理信息，列出对应方程即可求解.
12．如图，在中，，是边上的高，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】由已知设AD=k，则CD=2k，用勾股定理表示出AC，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠ACD=∠B，结合公共角∠A，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出△ACD∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出答案.
13．若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意得：
解得：x=1
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，即，从中求出符合条件的x的值即可.
14．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】直接根据公式法进行因式分解即可求解。
15．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
由根与系数的关系可得：，，
∴．
【分析】
对于一元二次方程，如果方程存在两个实数根，那么根与系数满足关系：，。可以借助这个定理，先求出和的值，再代入需要计算的代数式就能得到结果.
16．如图，在等腰直角中，已知，是上一点，．若，则点到的距离为　 　．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点C作，交射线于点F，过点B作于点D，的延长线交于点E，连接EP，如图
在等腰直角中，，
∴，
∵，，
∴AD=PD，且∠ABD=∠PBD，
在△ABE和△PBE中，AB=BP，∠ABD=∠PBD，BE=BE，
∴△ABE≌△PBE（SAS），
∴AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，
∴PE=PC，
∵∠FCP+∠CPF=90°，∠EPD+∠CPF=90°，
∴∠FCP=∠EPD，
在△PFC和△EDP中，∠FCP=∠EPD，∠EDP=∠F=90°，PC=PE，
∴△PFC≌△EDP（AAS），
∴，
∵，
∴，
即点到的距离为5.
故答案为：5.
【分析】做辅助线后，根据等腰直角三角形的性质得出，而△BAP是等腰三角形，结合等腰三角形三线合一的性质得出AD=PD，且∠ABD=∠PBD，此时利用SAS证明△ABE≌△PBE，从而得出AE=PE，∠BAE=∠EPC=90°，此时△EPC为等腰直角三角形，并得出PE=PC，然后结合直角三角形锐角互余以及角度，计算推出∠FCP=∠EPD，此时利用AAS证明△PFC≌△EDP，从而得出，据此即可得出答案。
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据乘方，二次根式，立方根以及绝对值对式子进行化简，再根据实数运算求解即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式以及整式乘法化简每个式子，再合并同类项即可求解．
（1）
（2）
18．如图，在中，．
（1）尺规作图：过点作边上的高，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）结合（1）的条件，在上取一点，使．连接，求证：．
【答案】（1）解：如下图所示，线段即为边上的高；
（2）证明：如下图所示，
，AD⊥BC
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点N、F，分别以点N、F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点D，线段AD即为BC边上的高；
（2）由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=AB，由等边对等角及三角形外角性质得∠AEB=∠B=2∠C=∠C+∠CAE，则 ∠ CAE= ∠ C，根据等角对等边得CE=AE，进而根据线段和差及等量代换即可得出结论.
（1）解：如下图所示，以点为圆心画弧，交于点、，
分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，
作射线交于点，
线段即为边上的高；
（2）证明：如下图所示，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．2025年4月19日，北京亦庄举办了全球首届人形机器人半程马拉松，吸引了众人的眼球．在比赛过程中机器人可更换电池，但是会有罚时，且换的过程中不停止计时，因而对机器人的续航能力提出了更高的要求．某公司对其研发的A、B两款人形机器人各10次工作时长（单位：分钟）进行了检测，以下是部分检测数据信息
【收集数据】
A款人形机器人：100 132 112 120 120 124 120 128 140 144
B款人形机器人：92 128 112 116 112 124 128 148 128 152
【分析数据】
型号 平均数 中位数 众数
A a b 120
B 124 126 c
根据以上信息，解答下列问题
（1）填空：________，________，________．
（2）结合上表中的统计量，你认为哪款型号的人形机器人的续航能力较好？请说明理由；
（3）某新能源汽车工厂购进了B款人形机器人300台用于提高工作效率，请估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数．
【答案】（1）124，122，128
（2）解：B款人形机器人续航能力较好，理由：
∵B款人形机器人的工作时长的中位数、众数均比A款人形机器人工作时长的中位数、众数大，
∴B款人形机器人的续航能力较好；
（3）解：2小时分钟，在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的有6台，
∴（台）．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，，
A款人形机器人工作时长从小到大排序为：100 112 120 120 120 124 128 132 140 144，
∴，
B款人形机器人工作时长中，128出现次数最多，
∴；
故答案为：124；122；128；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）由于两款人形机器人工作时长的平均数都是124分钟，故从中位数及众数两个方面比较即可得出结论；
（3）用300乘以样本中在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的占比即可估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数.
（1）解：根据题意，，
A款人形机器人工作时长从小到大排序为：100 112 120 120 120 124 128 132 140 144，
∴，
B款人形机器人工作时长中，128出现次数最多，
∴；
（2）解：B款人形机器人续航能力较好，
理由：B款人形机器人的工作时长的中位数、众数均比A款人形机器人工作时长的中位数、众数大，
∴B款人形机器人的续航能力较好；
（3）解：2小时分钟，
在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的有6台，
∴（台）．
20．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，E为的中点，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
又∵点在上，
∴是的切线；
（2）证明：点C是的切点，
，
，
．
又，
，，
，
又，
，
；
（3）解：，
，，
，由（1）得，
在中，由勾股定理得．
点为的中点，
，
．
，，
，
，
，
，，
，
，
．

【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）连接，由等腰三角形底角相等的性质可得，再根据圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，可得，结合题目已知条件可推得。又因为题目给出垂直的条件，所以，等量代换后得到，因此三角形DOC中，也就是OC垂直于DF，而OC是圆O的半径，据此即可证明DF是圆O的切线；
（2）根据第一问已证的切线性质，可得，结合题目已知条件，可推出。又因为OB和OC都是圆O的半径，所以，根据等角的余角相等即可得到。再根据对顶角相等可知，等量代换后得到，根据等角对等边即可证得对应结论成立。
（3）第(1)问证得，先用勾股定理计算得到，接着可以证明，再根据相似三角形对应边成比例的性质，得到，，最后结合线段和差的关系就能求出最终结果.
（1）证明：连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
又∵点在上，
∴是的切线；
（2）证明：点C是的切点，
，
，
．
又，
，，
，
又，
，
；
（3）解：，
，，
，由（1）得，
在中，由勾股定理得．
点为的中点，
，
．
，，
，
，
，
，，
，
，
．
21．为推进数字校园建设工作，某区安排甲、乙两家公司合作完成台教学一体机的安装任务，乙公司安装的教学一体机数量比甲公司安装的教学一体机数量的两倍少台．
（1）求甲、乙两家公司各安装了多少台教学一体机？
（2）若乙公司每天比甲公司每天少安装台教学一体机，最终乙公司完成安装任务所用天数是甲公司完成安装任务所用天数的倍，求乙公司每天安装多少台教学一体机？
【答案】（1）解：设甲公司安装了教学机为台，乙公司安装了教学机为台，根据题意得，
，
解得：，
∴乙公司安装的教学机为台，
答：甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台；
（2）解：设甲公司每天安装台教学一体机，乙公司每天安装台教学一体机，根据题意，
，
解得：，
∴，乙公司每天安装台教学一体机，
答：乙公司每天安装台教学一体机．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲公司负责安装的教学一体机数量是台，那么乙公司负责安装的教学一体机数量就是台，之后结合题目给出的总量条件列出方程，求解方程就能得到结果；
（2）设甲公司每天可以安装台教学一体机，那么乙公司每天可以安装台教学一体机，按照题目给出的工作时间关系列出方程，求解方程就能得到结果.
（1）解：设甲公司安装了教学机为台，乙公司安装了教学机为台，根据题意得，
，
解得：，
∴乙公司安装的教学机为台，
答：甲公司安装的教学机为台，乙公司安装的教学机为台；
（2）解：设甲公司每天安装台教学一体机，乙公司每天安装台教学一体机，根据题意，
，
解得：，
∴，乙公司每天安装台教学一体机，
答：乙公司每天安装台教学一体机．
22．如图1，四边形内接于，对角线，相交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）如图2，连接交与点F，，，求的半径长度；
（4）如图3，若，延长至点F，若平分，记的面积为，面积为，面积为，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，负值舍去，
答：的长度为．

（3）解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
设的半径为R，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的半径为．

（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由，可得同弧所对的圆周角相等，即，再结合两个三角形的公共角，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可判定三角形相似，得到结论；
（2）根据第(1)问得到的，可得对应边成比例，代入得，求解即可得到CD的长度；
（3）连接，根据弧相等得对应的弦相等，结合垂径定理可推出，且，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出。设的半径为R，则，在Rt△OCF中，根据勾股定理可得方程，解方程即可求出圆O的半径；
（4）先证明，得出，即，由，得出，求出，证明，，得出，根据，得出，求出，得出，即可得出．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，负值舍去，
答：的长度为．
（3）解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
设的半径为R，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
答：的半径为．
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．抛物线上存在两点，．
（1）求抛物线的对称轴；（用含m的式子表示）
（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象F（包括A，B两点），y轴上一动点，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；
（3）若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为：；
（2）解：由可知：抛物线的顶点坐标为：，
当时：，
当时：，
∴，，
∵，
∴过点C垂直于y轴的直线l：，如图：
由图象可知：当或时，直线l与F有且仅有一个交点，
∴a的取值范围为：或；
（3）解：∵，，
∴，
当时，，
∴，
①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍去）；
②当M在点A与顶点坐标之间时，
此时，即，不符合题意；
③当M在对称轴右侧，即时，
时，A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：，此时不符合题意；
当时，此时M点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上：或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将一元二次方程的一般式换为顶点式，再求解即可；
（2）先求出点A、B的坐标，再结合函数图象分析求解即可；
（3）分类讨论： ①当M在点A的左侧，即：，时，y随x的增大而减小， ②当M在点A与顶点坐标之间时， ③当M在对称轴右侧，再分别求解即可.
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