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2026年甘肃酒泉市中考适应性第二次检测数学试卷
1． -2026的绝对值是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（　　）．
A． B． C． D．
6．分式方程的解为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．“低空经济”作为新质生产力的代表，已被写入《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（　　）
A．至年中国低空经济市场规模逐年上升
B．年中国低空经济市场规模将突破万亿元
C．从年开始中国低空经济市场规模增长率变小
D．年中国低空经济市场规模增量最多
9．我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．因式分解：2x2+4x+2=　 　。
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
13．计算：　 　．
14．郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离米，米，米，，则的长为　 　．
15．如图按下面的程序计算，如输入的数为40，则输出的结果为122，要使输出的结果为32，则输入的正数的所有值是　 　．
16．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积是　 　．
17．计算：．
18．解不等式组，并写出不等式组的非负整数解．
19．先化简，再求值：，其中．
20．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
21．在2026年中央广播电视总台春节联欢晚会上，A，B，C，D四家公司的机器人组团登台，参与了多个节目的表演，展示了人形机器人、四足机器人等多种形态的“具身智能”技术．某校想从这四家公司中挑选一家公司租赁机器人在校庆活动中为师生表演节目．
（1）学校租赁到A公司机器人的概率为_____；
（2）若学校的分部也需要租赁机器人，请用画树状图或列表的方法，求出该学校和分部租到不同公司机器人的概率（每家公司的机器人被租到的可能性一样大）．
22．光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离．
（1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度；
（2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）．
（参考数据：，，，，）
23．2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________；
（2）扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类；
（3）若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？
24．如图，直线与双曲线分别交于点，点B，与x轴交于点C，过点A作线段垂直x轴于点D，，连接．
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）求的面积．
25．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径长．
26．（1）【模型建立】如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系；
（2）【模型应用】
如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系；
（3）【模型迁移】
如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积．
27．如图1，抛物线与轴交于点，，顶点为，连接，是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求点的坐标；
（3）如图2，是线段上一动点（不与点，重合）且始终保持，连接，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
即-2026的绝对值是2006.
故答案为：C。
【分析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中-2006是负数，因此绝对值就是它的相反数，从而得出答案。
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、图形绕某一点旋转后能与原来的图形重合，是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图形绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图形绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图形绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，所以它不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵
∴故选：D．
【分析】科学记数法表示大于0且小于1的数：写成a×10-n， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）.

4．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：点，在反比例函数的图象上，
将代入，得，
将代入，得，
，
．
故答案为：C.
【分析】将两个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，计算出和的值，再比较大小即可判断求解.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】连接交于点，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，，．在Rt中，用勾股定理可求得，则，然后利用菱形面积公式“S菱形=AC·BD”计算即可求解．
6．【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘最简公分母，得：
展开整理得：
移项得：
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质，去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求得x的值，然后再检验即可求解．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，再由三角形内角和定理求出的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可求解．
8．【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：Ａ选项：由条形统计图可知，从至年中国低空经济市场规模逐年上升，
故Ａ选项正确；
Ｂ选项：由条形统计图可知，年中国低空经济市场规模为亿元，
由折线统计图可知，年中国低空经济市场的增长率为，
年中国低空经济市场规模为亿元，
年中国低空经济市场规模超过了亿元，
故B选项正确；
C选项：由折线统计图可知，从年到年中国低空经济市场规模增长率逐年增加，
从年开始中国低空经济市场规模增长率变小，
故C选项正确；
D选项：由折线统计图可知年中国低空经济市场规模增量为，增量为亿元，
年中国低空经济市场规模增量为，增量为亿元，
，
年中国低空经济市场规模增量不是最多的一看成，
故D选项错误．
故选：D．
【分析】
依据条形统计图给出的我国低空经济市场规模总量，结合折线统计图提供的增长率计算对应数值，再结合计算得到的数据对选项进行判断.
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得大马和小马的总匹数为（匹），大马和小马一共驮的瓦片数为（块），
则．
故选：B.
【分析】本题先根据总数量、总瓦片数计算出大马和小马的总数量与它们一共驮的瓦片总数，再结合两种马驮瓦片的数量关系列出二元一次方程组.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：作，垂足为，
当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即，
当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
【分析】
作，根据垂线段最短可知，当动点P运动到点时，线段的长度取得最小值，此时满足；当动点P运动到点时，运动过程结束，此时，结合直角三角形的性质与勾股定理即可完成求解.
11．【答案】2（x+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x2+2x+1）=2(x+1)2.
故答案为：2(x+1)2.
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解即可.
12．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，结合二次方程的定义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】实数的绝对值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：
【分析】
按照乘方的运算法则以及绝对值的运算法则逐步计算，就可以得到结果.
14．【答案】72米
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵米，米，米，
∴．
∴米，
∴米．
故答案为：72米.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式，将已知条件代入比例式计算可求得AC的值，然后根据线段的和差AE=AC+CE计算即可求解．
15．【答案】10，，
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依题可设，
令y=32，可得3x+2=32，
解得：x=10，
即输入x=10时，输出结果为32；
令y=10，可得3x+2=10，
解得：，
即输入时，经过一次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，
即输入时，经过两次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，不符合题意，舍去．
满足条件的的不同值分别为10，，，
故答案为：10，，．
【分析】令，把y=32代入，可得x=10；此时y=32>30，会输出结果；再令y=10，求出对应的x的值；再把x的值作为y值代入求对应的x值；直到求的x值小于0结束.
16．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形的综合；中点四边形模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接，设，
∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
，，，
，
∴四边形是平行四边形；
，
，
∴四边形是矩形，
∴，，
同理可得：，
∴四边形是菱形．
连接，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可求：，
∴，
…，
∴，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，设，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；由矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得四边形是矩形，根据矩形的面积=长×宽可求得矩形的面积；同理可得四边形是菱形；连接，……，同理求得四边形的面积，把a=6，b=8代入计算即可求解．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】由题意，根据二次根式的乘法法则、二次根式化简、立方根的意义化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可求解．
18．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
先分别求解不等式组里的每个不等式，得到不等式组的整体解集后，再从得到的解集中找出符合要求的非负整数解即可。
19．【答案】解：原式
，
将代入上式，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
20．【答案】（1）解：如图，点O即为所求．
（2）连接交于点D，连接，．∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
解得．
∴圆片的半径是．
【知识点】垂径定理的实际应用；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，点O即为所求；
（2）连接交于点D，连接，，由垂径定理可得，，在中，用勾股定理求得AD的值，根据线段的和差OD=OA-AD将OD用含R的代数式表示出来，在中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程即可求解．
（1）如图，点O即为所求．
（2）连接交于点D，连接，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
解得．
∴圆片的半径是．
21．【答案】（1）
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
由表可得，所有等可能的结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种．
因此该学校和分部租到不同公司机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：学校从A，B，C，D共4家公司中挑选1家，所有等可能的结果共有4种，租赁到A公司机器人的结果只有1种．
∴租赁到A公司机器人的概率为．
故答案为：.
【分析】
（1）由题意，用概率公式计算即可求解；
（2）用列表法列出所有等可能结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种，然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：学校从A，B，C，D共4家公司中挑选1家，所有等可能的结果共有4种，租赁到A公司机器人的结果只有1种．
因此租赁到A公司机器人的概率为．
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
由表可得，所有等可能的结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种．
因此该学校和分部租到不同公司机器人的概率为．
22．【答案】（1）解：如图，过点D作于点F，作于点H．
由题意得米，，
在中，
，
（米）．
答：斜坡顶部D到坡底水平面的垂直高度为14.76米．
（2）在中，
，
（米），
，，，
四边形为矩形，
，米，
（米），
米，
在中，
，
（米），
（米）．
答：该光伏发电板支架AB的高度约为31米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作于点F，作于点，在中，根据正弦的定义计算即可求解；
（2）在中，根据余弦的定义求得CH的值；由“有三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形为矩形，由矩形的性质并结合线段的和差FD=BH=BC+CH求出的值，在中，根据锐角三角函数tan∠ADF=求得AF的值，然后根据线段的和差AB=AF+FB可求解.
（1）如图，过点D作于点F，作于点H．
由题意得米，，
在中，
，
（米）．
答：斜坡顶部D到坡底水平面的垂直高度为14.76米．
（2）在中，
，
（米），
，，，
四边形为矩形，
，米，
（米），
米，
在中，
，
（米），
（米）．
答：该光伏发电板支架AB的高度约为31米．
23．【答案】（1）500，150
（2），C
（3）解：（人），
答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：此次共调查了：（人）；
条形统计图中A类所对应的人数：（人）；
故答案为：500，150；
（2）
解：；
由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类；
故答案为：108°，C.
【分析】
（1）根据样本容量=频数 ÷百分比可求得共调查的人数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得类的频数；
（2）用乘以A类的占比，即可求解圆心角；再由中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数”即可求中位数；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：此次共调查了：（人）；
条形统计图中A类所对应的人数：（人）；
（2）解：；
由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类；
（3）解：（人），
答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人．
24．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵直线经过点A，C，
∴，
解得．
∴直线的解析式为．
∵双曲线经过点，
∴．
∴双曲线的解析式为；
（2）解：联立，
解得或，
∴．
∴．
答：三角形AOB的面积为.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数tan∠ACD=求出CD的值，可得点C的坐标，然后用待定系数法即可求函数解析式；
（2）由题意，将两个函数解析式联立解方程组，可得交点B的坐标，然后用三角形面积公式计算即可求解．
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵直线经过点A，C，
∴，
解得．
∴直线的解析式为．
∵双曲线经过点，
∴．
∴双曲线的解析式为；
（2）解：联立，
解得或，
∴．
∴．
25．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴的半径为．
答：的半径长为.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）如图所示，连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据圆的切线的判定即可求解；
（2）设的半径为r，则，在中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解．
（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
26．【答案】解：（1）．理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，在和中，，，，，，． （2）．理由如下：如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，． ，，，，，，，即，，． （3）如解图2，延长到点，使，连接．∵，∴是等腰直角三角形，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：，，，，，． 如解图3，过点A作交于点E，则．，．，．又，，，，，，，．综上所述，的面积为10或26.
（1）解：（1）．
理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）解：如解图2，延长到点，使，连接．
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
如解图3，过点A作交于点E，则．
，
．
，
．
又，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的面积为10或26.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（2）根据旋转的性质求出，，再利用全等三角形的性质求出，最后证明求解即可；
（3）根据题意先求出是等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质求出，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
27．【答案】（1） 解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：抛物线，
顶点，
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
解得：（不合题意，舍去）或或，
或；
（3）解： 如图，连接，
，，，
，，，
，
是等腰直角三角形，，
过点作，使，连接，，
，
又，，
，
，
，
要使的值最小，则的值最小，当、、三点共时，取得最小值，
又，，
是等腰直角三角形，
，
的最小值为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）可以通过待定系数法求出该二次函数的解析式；
（2）先求出直线的解析式，设点，由此可得点，点，进而得到线段长，，再结合条件列出关于的方程，求解方程后即可得到最终结果；
（3）首先通过勾股定理的逆定理可以判定△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC。接下来过点B作BC'平行于AC，同时使得BC'=AC，连接CC'和C'G，此时可以证明△ADC≌△BGC'，由此可得CD=C'G。
那么问题就转化为：要使CD+CG的取值最小，等价于要使C'G+CG的取值最小，根据两点之间线段最短可知，当C'、C、G三点共线时，C'G+CG取得最小值，最小值就是线段CC'的长度，据此即可计算得到最终结果.
（1）解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）抛物线，
顶点，
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
解得：（不合题意，舍去）或或，
或；
（3）如图，连接，
，，，
，，，
，
是等腰直角三角形，，
过点作，使，连接，，
，
又，，
，
，
，
要使的值最小，则的值最小，当、、三点共时，取得最小值，
又，，
是等腰直角三角形，
，
的最小值为．
1 / 12026年甘肃酒泉市中考适应性第二次检测数学试卷
1． -2026的绝对值是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，
即-2026的绝对值是2006.
故答案为：C。
【分析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。本题中-2006是负数，因此绝对值就是它的相反数，从而得出答案。
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、图形绕某一点旋转后能与原来的图形重合，是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图形绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图形绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图形绕某一点旋转后不能与原来的图形重合，所以它不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：∵
∴故选：D．
【分析】科学记数法表示大于0且小于1的数：写成a×10-n， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）.

4．点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：点，在反比例函数的图象上，
将代入，得，
将代入，得，
，
．
故答案为：C.
【分析】将两个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，计算出和的值，再比较大小即可判断求解.
5．如图，在菱形中，为对角线，，，则菱形的面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】连接交于点，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，，．在Rt中，用勾股定理可求得，则，然后利用菱形面积公式“S菱形=AC·BD”计算即可求解．
6．分式方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
方程两边同乘最简公分母，得：
展开整理得：
移项得：
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质，去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求得x的值，然后再检验即可求解．
7．如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，再由三角形内角和定理求出的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可求解．
8．“低空经济”作为新质生产力的代表，已被写入《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（　　）
A．至年中国低空经济市场规模逐年上升
B．年中国低空经济市场规模将突破万亿元
C．从年开始中国低空经济市场规模增长率变小
D．年中国低空经济市场规模增量最多
【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：Ａ选项：由条形统计图可知，从至年中国低空经济市场规模逐年上升，
故Ａ选项正确；
Ｂ选项：由条形统计图可知，年中国低空经济市场规模为亿元，
由折线统计图可知，年中国低空经济市场的增长率为，
年中国低空经济市场规模为亿元，
年中国低空经济市场规模超过了亿元，
故B选项正确；
C选项：由折线统计图可知，从年到年中国低空经济市场规模增长率逐年增加，
从年开始中国低空经济市场规模增长率变小，
故C选项正确；
D选项：由折线统计图可知年中国低空经济市场规模增量为，增量为亿元，
年中国低空经济市场规模增量为，增量为亿元，
，
年中国低空经济市场规模增量不是最多的一看成，
故D选项错误．
故选：D．
【分析】
依据条形统计图给出的我国低空经济市场规模总量，结合折线统计图提供的增长率计算对应数值，再结合计算得到的数据对选项进行判断.
9．我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得大马和小马的总匹数为（匹），大马和小马一共驮的瓦片数为（块），
则．
故选：B.
【分析】本题先根据总数量、总瓦片数计算出大马和小马的总数量与它们一共驮的瓦片总数，再结合两种马驮瓦片的数量关系列出二元一次方程组.
10．如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：作，垂足为，
当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即，
当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
【分析】
作，根据垂线段最短可知，当动点P运动到点时，线段的长度取得最小值，此时满足；当动点P运动到点时，运动过程结束，此时，结合直角三角形的性质与勾股定理即可完成求解.
11．因式分解：2x2+4x+2=　 　。
【答案】2（x+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x2+2x+1）=2(x+1)2.
故答案为：2(x+1)2.
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解即可.
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，结合二次方程的定义即可求出答案.
13．计算：　 　．
【答案】
【知识点】实数的绝对值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：
【分析】
按照乘方的运算法则以及绝对值的运算法则逐步计算，就可以得到结果.
14．郑州中牟贾鲁河大桥，斜拉索都互相平行且距离相等．如图，小丽测得有两根拉索之间距离米，米，米，，则的长为　 　．
【答案】72米
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵米，米，米，
∴．
∴米，
∴米．
故答案为：72米.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式，将已知条件代入比例式计算可求得AC的值，然后根据线段的和差AE=AC+CE计算即可求解．
15．如图按下面的程序计算，如输入的数为40，则输出的结果为122，要使输出的结果为32，则输入的正数的所有值是　 　．
【答案】10，，
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：依题可设，
令y=32，可得3x+2=32，
解得：x=10，
即输入x=10时，输出结果为32；
令y=10，可得3x+2=10，
解得：，
即输入时，经过一次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，
即输入时，经过两次返回，可得输出结果为32；
令，可得，
解得：，不符合题意，舍去．
满足条件的的不同值分别为10，，，
故答案为：10，，．
【分析】令，把y=32代入，可得x=10；此时y=32>30，会输出结果；再令y=10，求出对应的x的值；再把x的值作为y值代入求对应的x值；直到求的x值小于0结束.
16．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…，如此继续下去得到四边形．则四边形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形的综合；中点四边形模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接，设，
∵在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
，，，
，
∴四边形是平行四边形；
，
，
∴四边形是矩形，
∴，，
同理可得：，
∴四边形是菱形．
连接，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可求：，
∴，
…，
∴，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，设，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；由矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得四边形是矩形，根据矩形的面积=长×宽可求得矩形的面积；同理可得四边形是菱形；连接，……，同理求得四边形的面积，把a=6，b=8代入计算即可求解．
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】由题意，根据二次根式的乘法法则、二次根式化简、立方根的意义化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可求解．
18．解不等式组，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
先分别求解不等式组里的每个不等式，得到不等式组的整体解集后，再从得到的解集中找出符合要求的非负整数解即可。
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
将代入上式，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
20．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
【答案】（1）解：如图，点O即为所求．
（2）连接交于点D，连接，．∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
解得．
∴圆片的半径是．
【知识点】垂径定理的实际应用；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，点O即为所求；
（2）连接交于点D，连接，，由垂径定理可得，，在中，用勾股定理求得AD的值，根据线段的和差OD=OA-AD将OD用含R的代数式表示出来，在中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程即可求解．
（1）如图，点O即为所求．
（2）连接交于点D，连接，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
在中，，
∴．
在中，，
∴，
解得．
∴圆片的半径是．
21．在2026年中央广播电视总台春节联欢晚会上，A，B，C，D四家公司的机器人组团登台，参与了多个节目的表演，展示了人形机器人、四足机器人等多种形态的“具身智能”技术．某校想从这四家公司中挑选一家公司租赁机器人在校庆活动中为师生表演节目．
（1）学校租赁到A公司机器人的概率为_____；
（2）若学校的分部也需要租赁机器人，请用画树状图或列表的方法，求出该学校和分部租到不同公司机器人的概率（每家公司的机器人被租到的可能性一样大）．
【答案】（1）
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
由表可得，所有等可能的结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种．
因此该学校和分部租到不同公司机器人的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
（1）
解：学校从A，B，C，D共4家公司中挑选1家，所有等可能的结果共有4种，租赁到A公司机器人的结果只有1种．
∴租赁到A公司机器人的概率为．
故答案为：.
【分析】
（1）由题意，用概率公式计算即可求解；
（2）用列表法列出所有等可能结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种，然后用概率公式计算即可求解．
（1）解：学校从A，B，C，D共4家公司中挑选1家，所有等可能的结果共有4种，租赁到A公司机器人的结果只有1种．
因此租赁到A公司机器人的概率为．
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
由表可得，所有等可能的结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种．
因此该学校和分部租到不同公司机器人的概率为．
22．光伏产业对于优化能源结构、推动绿色发展意义重大．某能源部门在某地安装了一批光伏发电板，如图1，某校实践活动小组对其中一块光伏发电板的支架高度进行了测量，图2为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为18m，斜坡的坡角为55°，在斜坡顶部处测得光伏发电板顶端点的仰角为25°，坡底与支架的距离．
（1）求斜坡顶部到坡底水平面的垂直高度；
（2）求该光伏发电板支架的高度（结果精确到个位）．
（参考数据：，，，，）
【答案】（1）解：如图，过点D作于点F，作于点H．
由题意得米，，
在中，
，
（米）．
答：斜坡顶部D到坡底水平面的垂直高度为14.76米．
（2）在中，
，
（米），
，，，
四边形为矩形，
，米，
（米），
米，
在中，
，
（米），
（米）．
答：该光伏发电板支架AB的高度约为31米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作于点F，作于点，在中，根据正弦的定义计算即可求解；
（2）在中，根据余弦的定义求得CH的值；由“有三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形为矩形，由矩形的性质并结合线段的和差FD=BH=BC+CH求出的值，在中，根据锐角三角函数tan∠ADF=求得AF的值，然后根据线段的和差AB=AF+FB可求解.
（1）如图，过点D作于点F，作于点H．
由题意得米，，
在中，
，
（米）．
答：斜坡顶部D到坡底水平面的垂直高度为14.76米．
（2）在中，
，
（米），
，，，
四边形为矩形，
，米，
（米），
米，
在中，
，
（米），
（米）．
答：该光伏发电板支架AB的高度约为31米．
23．2025年，人工智能正深度融入各行各业，等模型备受瞩目，相关技术突破与应用场景不断拓展，成为社会各界热议的焦点话题．目前人工智能市场分为A：学习辅助类人工智能，B：娱乐互动类人工智能，C：生活服务类人工智能，D：创意设计类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了________人，条形统计图中A类所对应的人数为________；
（2）扇形统计图中A类对应圆心角的度数为________；若将这些被调查者按照关注的类型按进行排序，试求这些学生关注类型的中位数在________类；
（3）若该学校共有学生2000人，请根据本次调查结果，估计全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有多少人？
【答案】（1）500，150
（2），C
（3）解：（人），
答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：此次共调查了：（人）；
条形统计图中A类所对应的人数：（人）；
故答案为：500，150；
（2）
解：；
由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类；
故答案为：108°，C.
【分析】
（1）根据样本容量=频数 ÷百分比可求得共调查的人数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得类的频数；
（2）用乘以A类的占比，即可求解圆心角；再由中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数”即可求中位数；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：此次共调查了：（人）；
条形统计图中A类所对应的人数：（人）；
（2）解：；
由于调查总数500人，那么中位数为第和第个数据的平均数，由条形统计图可得第和第个数据在类；
（3）解：（人），
答：全校最关注“生活服务类人工智能（C类）”的学生约有人．
24．如图，直线与双曲线分别交于点，点B，与x轴交于点C，过点A作线段垂直x轴于点D，，连接．
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵直线经过点A，C，
∴，
解得．
∴直线的解析式为．
∵双曲线经过点，
∴．
∴双曲线的解析式为；
（2）解：联立，
解得或，
∴．
∴．
答：三角形AOB的面积为.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数tan∠ACD=求出CD的值，可得点C的坐标，然后用待定系数法即可求函数解析式；
（2）由题意，将两个函数解析式联立解方程组，可得交点B的坐标，然后用三角形面积公式计算即可求解．
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵直线经过点A，C，
∴，
解得．
∴直线的解析式为．
∵双曲线经过点，
∴．
∴双曲线的解析式为；
（2）解：联立，
解得或，
∴．
∴．
25．如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴的半径为．
答：的半径长为.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）如图所示，连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据圆的切线的判定即可求解；
（2）设的半径为r，则，在中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解．
（1）证明：如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴ ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为．
26．（1）【模型建立】如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系；
（2）【模型应用】
如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系；
（3）【模型迁移】
如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积．
【答案】解：（1）．理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，在和中，，，，，，． （2）．理由如下：如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，． ，，，，，，，即，，． （3）如解图2，延长到点，使，连接．∵，∴是等腰直角三角形，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：，，，，，． 如解图3，过点A作交于点E，则．，．，．又，，，，，，，．综上所述，的面积为10或26.
（1）解：（1）．
理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）解：如解图2，延长到点，使，连接．
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
如解图3，过点A作交于点E，则．
，
．
，
．
又，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的面积为10或26.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（2）根据旋转的性质求出，，再利用全等三角形的性质求出，最后证明求解即可；
（3）根据题意先求出是等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质求出，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
27．如图1，抛物线与轴交于点，，顶点为，连接，是线段上一动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求点的坐标；
（3）如图2，是线段上一动点（不与点，重合）且始终保持，连接，，求的最小值．
【答案】（1） 解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：抛物线，
顶点，
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
解得：（不合题意，舍去）或或，
或；
（3）解： 如图，连接，
，，，
，，，
，
是等腰直角三角形，，
过点作，使，连接，，
，
又，，
，
，
，
要使的值最小，则的值最小，当、、三点共时，取得最小值，
又，，
是等腰直角三角形，
，
的最小值为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）可以通过待定系数法求出该二次函数的解析式；
（2）先求出直线的解析式，设点，由此可得点，点，进而得到线段长，，再结合条件列出关于的方程，求解方程后即可得到最终结果；
（3）首先通过勾股定理的逆定理可以判定△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC。接下来过点B作BC'平行于AC，同时使得BC'=AC，连接CC'和C'G，此时可以证明△ADC≌△BGC'，由此可得CD=C'G。
那么问题就转化为：要使CD+CG的取值最小，等价于要使C'G+CG的取值最小，根据两点之间线段最短可知，当C'、C、G三点共线时，C'G+CG取得最小值，最小值就是线段CC'的长度，据此即可计算得到最终结果.
（1）解：将点，代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）抛物线，
顶点，
设直线的解析式为，将、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
解得：（不合题意，舍去）或或，
或；
（3）如图，连接，
，，，
，，，
，
是等腰直角三角形，，
过点作，使，连接，，
，
又，，
，
，
，
要使的值最小，则的值最小，当、、三点共时，取得最小值，
又，，
是等腰直角三角形，
，
的最小值为．
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