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广东清远市连州市2025-2026学年春季学期八年级期中监测数学学科试卷
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（　　）
A． B．
C． D．或
3．将点先向右平移3个单位长度后到达点N，那么点N的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，为中点，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中有，点在上．根据图中标示的度数，则之值是（　　）
A．150 B．160 C．170 D．180
8．如图，在中，，平分交于，，，则的面积为（　　）
A． B．4 C． D．16
9．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，直线y=x+与y=kx-1相交于点P，点P的纵坐标为，则关于x的不等式x+>kx-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数是　 　．
12．一个多边形的内角和是，则这个多边形是　 　边形．
13．若，则　 　（填“”或“”）．
14．如图，已知分别平分和， ，则的度数为　 　．
15．如图，已知三角形中，，边，把三角形沿射线方向平移至三角形后，平移距离为2，，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．解不等式组
17．某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？
18．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上．
（1）将向左平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标；
（2）求的面积．
19．如图，锐角的两条高、相交于点O，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）判断点O是否在的平分线上，并说明理由．
20．如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若，．
（1）求的长；
（2）求四边形的周长．
21．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接．
（1）判断线段与的数量关系并给出证明；
（2）如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ．
22．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
（1）任务1：确定商品价格
求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
（2）任务2：设计销售方案
求所有的销售方案；
23．综合与实践：
（1）如图1是小华设计的一个角平分仪，其中，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性．
（2）如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G．
①求的度数；
②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B. 该选项图形不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C. 该选项图形是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
D. 该选项图形不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：数轴表示的解集为．
故答案为：A.
【分析】根据在数轴上表示不等式组的解集时“＞空心向右、≤实心向左”并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】
解：∵ 点向右平移个单位长度，平移规律为右移横坐标加，纵坐标不变，
∴ 点的横坐标为，纵坐标保持不变，
∴ 点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】根据点的平移规律“左减右加、上加下减”可得平移后点N的坐标，然后结合各选项即可判断求解．
4．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，为中点，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=AC并结合已知条件即可求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得OA=OA ，然后根据等腰三角形的性质"等边对等角"并结合三角形内角和定理求解．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
．
是的角平分线
．
是的高线，
，即．
在中，
．
．
故答案为：A.
【分析】由题意，根据三角形内角和定理可求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据高线的定义和直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角的构成计算即可求解．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】 【解答】解：由题意得，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理“三角形的内角和等于180°”可求出r的值，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得求解．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：C.
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可求得DE=AD的值，然后根据三角形的面积公式S BDC=计算即可求解．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】由线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等”可得AE=BE，AG=CG，然后由三角形的周长等于三角形三边之和可求解．
10．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】把代入，得
，解得．
当时，，
所以关于x的不等式的解集为，
用数轴表示为：
．
故选A．
【分析】
首先将代入一次函数解析式，计算得到交点的横坐标。接下来观察函数图象可以发现，当时，直线始终位于直线的上方，对应到不等式中就是满足，因此该不等式的解集为，最后即可用数轴表示这个解集.
11．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为，
∴另一个锐角的度数是：，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可求解．
12．【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：＞.
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：112.5°.
【分析】由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理“三角形的内角和等于180°”即可求解．
15．【答案】9
【知识点】平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：把三角形沿射线方向平移至三角形后，平移距离为2，，边，
，，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：9．
【分析】根据平移的性质"把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等"可得EF=BC，然后根据梯形的面积=（BG+EF）×BE可求解．
16．【答案】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意， 分别求得每一个不等式的解集，然后根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求解.
17．【答案】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
答：最多需要60名七年级学生参加活动．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动，利用“ 收集的塑料瓶总数不少于1700个 ”列出不等式求解即可.
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，D的坐标；
（2）解：由图可得，=．
答：的面积为3.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据网格图的特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点、、，然后依次连接即可求解；
（2）根据三角形的面积公式计算即可求解．
（1）解：如图，即为所求，D的坐标；
（2） 解：由图可得，=．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵锐角的两条高、相交于点O，
∴，
在 BCE和 CBD中
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：点O在的平分线上．理由如下：
连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证明，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据等腰三角形的判定可求解；
（2）连接，由题意，用边边边可证明，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据角的平分线的定义可判断求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵锐角的两条高、相交于点O，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：点O在的平分线上．理由如下：
连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
20．【答案】解：（1）∵ABC沿AB方向向右平移得到DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF＝＝3cm，
即；
（2）由平移的特征及（1）得
，．
∵，，
∴四边形的周长．
答：四边形AEFC的周长为18cm.
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质“①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等”可得AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，然后根据线段的和差即可求解；
（2）同（1）可得EF＝BC，CF＝AD，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可求解．
21．【答案】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵是由绕点A逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质用边角边可证明，由全等三角形对应边相等即可求解；
（2）结合（1）的结论并根据等边三角形的判定“有一个角为60°的等腰三角形时等边三角形”可得是等边三角形，然后由线段的和差即可求解．
（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵是由绕点A逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得，
答：品种仙桃礼盒每件的售价为80元，品种仙桃礼盒每件的售价为100元；
（2）解：设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得，
∵为整数，
∴或或，
故有三种销售方案：
方案1：品种仙桃礼盒598件，品种仙桃礼盒402件；
方案2：品种仙桃礼盒599件，品种仙桃礼盒401件；
方案3：品种仙桃礼盒600件，品种仙桃礼盒400件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，根据题中的相等关系“B品种仙桃礼盒的售价=A品种仙桃礼盒售价+20，25件A品种仙桃礼盒的价格+15件B品种仙桃礼盒的价格=”， 可列关于，的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，根据题中的不等关系“A品种仙桃礼盒售出的数量≤过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，盒品种仙桃礼盒的成本+盒品种仙桃礼盒的成本≤54020元”可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得m的取值范围，再结合m为正整即可求解．
（1）解：设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得，
答：品种仙桃礼盒每件的售价为80元，品种仙桃礼盒每件的售价为100元；
（2）解：设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得，
∵为整数，
∴或或，
故有三种销售方案：
方案1：品种仙桃礼盒598件，品种仙桃礼盒402件；
方案2：品种仙桃礼盒599件，品种仙桃礼盒401件；
方案3：品种仙桃礼盒600件，品种仙桃礼盒400件．
23．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴射线是的平分线，
（2）解：①∵，，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
②，或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
（2）②∵、分别是和的平分线，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
即：，，
当时，，即：，
∴，由（1）得，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
故答案为：①，②，或．
【分析】
（1）根据全等三角形的SSS判定定理可以得到，因此，即可完成求解。
（2）①已知，结合三角形内角和定理可以得到；因为、分别是和的角平分线，因此可得，，将关系代入计算可得，最后结合三角形内角和定理即可求出结果。②已知、分别是和的角平分线，因此可得，。又因为，，，，根据边角边全等判定定理，可推出，。由全等三角形对应角相等，可得，，将关系代入整理后可以得到，，因此当时，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得由上述等量关系可得，结合已知条件，计算可得，因此。当时，由等腰三角形性质可知，根据三角形内角和为180°，可得，代入角度关系整理得，再结合，计算可得，因此。 当时，，据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，.
1 / 1广东清远市连州市2025-2026学年春季学期八年级期中监测数学学科试卷
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
B. 该选项图形不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意；
C. 该选项图形是中心对称图形，
∴此选项符合题意；
D. 该选项图形不是中心对称图形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
2．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：数轴表示的解集为．
故答案为：A.
【分析】根据在数轴上表示不等式组的解集时“＞空心向右、≤实心向左”并结合各选项即可判断求解.
3．将点先向右平移3个单位长度后到达点N，那么点N的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】
解：∵ 点向右平移个单位长度，平移规律为右移横坐标加，纵坐标不变，
∴ 点的横坐标为，纵坐标保持不变，
∴ 点的坐标为．
故答案为：D.
【分析】根据点的平移规律“左减右加、上加下减”可得平移后点N的坐标，然后结合各选项即可判断求解．
4．如图，在中，，为中点，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，为中点，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=AC并结合已知条件即可求解．
5．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得OA=OA ，然后根据等腰三角形的性质"等边对等角"并结合三角形内角和定理求解．
6．如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
．
是的角平分线
．
是的高线，
，即．
在中，
．
．
故答案为：A.
【分析】由题意，根据三角形内角和定理可求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据高线的定义和直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角的构成计算即可求解．
7．如图，中有，点在上．根据图中标示的度数，则之值是（　　）
A．150 B．160 C．170 D．180
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】 【解答】解：由题意得，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理“三角形的内角和等于180°”可求出r的值，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得求解．
8．如图，在中，，平分交于，，，则的面积为（　　）
A． B．4 C． D．16
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∴的面积为．
故答案为：C.
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可求得DE=AD的值，然后根据三角形的面积公式S BDC=计算即可求解．
9．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】由线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等”可得AE=BE，AG=CG，然后由三角形的周长等于三角形三边之和可求解．
10．如图，直线y=x+与y=kx-1相交于点P，点P的纵坐标为，则关于x的不等式x+>kx-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】把代入，得
，解得．
当时，，
所以关于x的不等式的解集为，
用数轴表示为：
．
故选A．
【分析】
首先将代入一次函数解析式，计算得到交点的横坐标。接下来观察函数图象可以发现，当时，直线始终位于直线的上方，对应到不等式中就是满足，因此该不等式的解集为，最后即可用数轴表示这个解集.
11．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为，
∴另一个锐角的度数是：，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可求解．
12．一个多边形的内角和是，则这个多边形是　 　边形．
【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
13．若，则　 　（填“”或“”）．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：＞.
【分析】根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”即可求解.
14．如图，已知分别平分和， ，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：112.5°.
【分析】由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理“三角形的内角和等于180°”即可求解．
15．如图，已知三角形中，，边，把三角形沿射线方向平移至三角形后，平移距离为2，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】9
【知识点】平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：把三角形沿射线方向平移至三角形后，平移距离为2，，边，
，，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：9．
【分析】根据平移的性质"把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等"可得EF=BC，然后根据梯形的面积=（BG+EF）×BE可求解．
16．解不等式组
【答案】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】由题意， 分别求得每一个不等式的解集，然后根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求解.
17．某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？
【答案】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
答：最多需要60名七年级学生参加活动．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动，利用“ 收集的塑料瓶总数不少于1700个 ”列出不等式求解即可.
18．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上．
（1）将向左平移4个单位后得到，请画出，并写出的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求，D的坐标；
（2）解：由图可得，=．
答：的面积为3.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据网格图的特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点、、，然后依次连接即可求解；
（2）根据三角形的面积公式计算即可求解．
（1）解：如图，即为所求，D的坐标；
（2） 解：由图可得，=．
19．如图，锐角的两条高、相交于点O，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）判断点O是否在的平分线上，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵锐角的两条高、相交于点O，
∴，
在 BCE和 CBD中
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：点O在的平分线上．理由如下：
连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由题意，用角角边可证明，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据等腰三角形的判定可求解；
（2）连接，由题意，用边边边可证明，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据角的平分线的定义可判断求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵锐角的两条高、相交于点O，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：点O在的平分线上．理由如下：
连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
20．如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若，．
（1）求的长；
（2）求四边形的周长．
【答案】解：（1）∵ABC沿AB方向向右平移得到DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF＝＝3cm，
即；
（2）由平移的特征及（1）得
，．
∵，，
∴四边形的周长．
答：四边形AEFC的周长为18cm.
【知识点】平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质“①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等”可得AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，然后根据线段的和差即可求解；
（2）同（1）可得EF＝BC，CF＝AD，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可求解．
21．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接．
（1）判断线段与的数量关系并给出证明；
（2）如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵是由绕点A逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质用边角边可证明，由全等三角形对应边相等即可求解；
（2）结合（1）的结论并根据等边三角形的判定“有一个角为60°的等腰三角形时等边三角形”可得是等边三角形，然后由线段的和差即可求解．
（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵是由绕点A逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
22．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
（1）任务1：确定商品价格
求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
（2）任务2：设计销售方案
求所有的销售方案；
【答案】（1）解：设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得，
答：品种仙桃礼盒每件的售价为80元，品种仙桃礼盒每件的售价为100元；
（2）解：设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得，
∵为整数，
∴或或，
故有三种销售方案：
方案1：品种仙桃礼盒598件，品种仙桃礼盒402件；
方案2：品种仙桃礼盒599件，品种仙桃礼盒401件；
方案3：品种仙桃礼盒600件，品种仙桃礼盒400件．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，根据题中的相等关系“B品种仙桃礼盒的售价=A品种仙桃礼盒售价+20，25件A品种仙桃礼盒的价格+15件B品种仙桃礼盒的价格=”， 可列关于，的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，根据题中的不等关系“A品种仙桃礼盒售出的数量≤过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，盒品种仙桃礼盒的成本+盒品种仙桃礼盒的成本≤54020元”可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得m的取值范围，再结合m为正整即可求解．
（1）解：设品种仙桃礼盒每件的售价为元，则品种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得，
答：品种仙桃礼盒每件的售价为80元，品种仙桃礼盒每件的售价为100元；
（2）解：设销售品种仙桃礼盒盒，则销售品种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得，
∵为整数，
∴或或，
故有三种销售方案：
方案1：品种仙桃礼盒598件，品种仙桃礼盒402件；
方案2：品种仙桃礼盒599件，品种仙桃礼盒401件；
方案3：品种仙桃礼盒600件，品种仙桃礼盒400件．
23．综合与实践：
（1）如图1是小华设计的一个角平分仪，其中，．将点O放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则射线就是这个角的平分线，请证明此仪器的合理性．
（2）如图2，在中，，、分别是和的平分线，、相交于点 G．
①求的度数；
②如图3，在上截取，在上截取．若为等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴射线是的平分线，
（2）解：①∵，，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
②，或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
（2）②∵、分别是和的平分线，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
即：，，
当时，，即：，
∴，由（1）得，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
当时，，
∴即：，
∴，即：，
又∵，即：，
∴，
∴，
故答案为：①，②，或．
【分析】
（1）根据全等三角形的SSS判定定理可以得到，因此，即可完成求解。
（2）①已知，结合三角形内角和定理可以得到；因为、分别是和的角平分线，因此可得，，将关系代入计算可得，最后结合三角形内角和定理即可求出结果。②已知、分别是和的角平分线，因此可得，。又因为，，，，根据边角边全等判定定理，可推出，。由全等三角形对应角相等，可得，，将关系代入整理后可以得到，，因此当时，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得由上述等量关系可得，结合已知条件，计算可得，因此。当时，由等腰三角形性质可知，根据三角形内角和为180°，可得，代入角度关系整理得，再结合，计算可得，因此。 当时，，据三角形内角和得到，代入得，结合，可得，.
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