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2026年广西壮族自治区钦州市初中学科素养第二次测试数学
1．下列各数中，是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≥﹣2
5．如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（　　）
A． B． C． D．
6．若， 面积比为， 则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．二次函数图象的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
10．一元二次方程的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
13．若分式有意义，则a的取值范围是　 　．
14．分解因式：　 　．
15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为　 　．
16．如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是　 　．
17．计算与解不等式：
（1）计算：
（2）解不等式：
18．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 12 9 8 5
（1）表格中的值为_____________；
（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数；
（3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由．
19．如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
20．为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本．
（1）求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价；
（2）某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？
21．综合与实践
图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，）
（1）求的度数；
（2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值；
（3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；
（3）当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．
23．在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点．
（1）如图1，若点与点重合，，求证：；
（2）如图2，点，都在的延长线上，连接．
①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法）
②证明：；
（3）在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A． 是无理数，
∴此选项不符合题意；
B． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
C． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
D．∵是分数，
∴是有理数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】 根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”与有理数的定义“整数和分数统称为有理数”并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A 、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义"如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴"并结合各选项即可判断求解．
4．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使有意义，
则x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是线段，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：12cm.
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得DE=AB可求解.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：， 面积比为，
∴与的相似比是，
∵相似三角形的周长之比等于相似比，
∴与的周长比为．
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：A.
【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的对称轴是直线．
故答案为：A.
【分析】根据顶点式的对称轴为直线即可求解．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据，方程有两个不相等的实数根；进行判断即可.
11．【答案】B
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，设球的半径为，则，
∵，
∴
在中，
∵，
∴，
解得
故答案为：B.
【分析】连接，设球的半径为，由垂径定理科得，在中，再根据勾股定理列关于的方程，解方程即可求解．
12．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：延长交直线于点，延长交于点，
∵正六边形的外角和为，
∴每个外角的度数为，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：A.
【分析】延长交直线于点，延长交于点，由正六边形外角的性质“六边形的外角和等于360°”可求出和的度数，再根据三角形内角和等于180°求得的度数，最后由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”与三角形内角和定理可求解．
13．【答案】a≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义时分母不等于零可得： 0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解.
14．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】．
故答案为：．
【分析】
运用平方差公式对原式分解因式即可得到结果.
15．【答案】
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】
由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，
故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．
故答案为16π．
【分析】
首先根据给出的主视图和左视图可以判断出该几何体是柱体、锥体还是球体，再结合俯视图确定该几何体的具体形状，之后确定圆锥的母线长与底面半径，以此为基础计算该几何体的表面积.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
和同高，
，
，
点落在内的概率是．
故答案为：.
【分析】由题意，用平行四边形的性质并结合线段比例关系可求出与平行四边形的面积比，即为所求概率．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
．
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解；
（2）根据解不等式的步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解.
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
．
18．【答案】（1）10
（2）解：（人），
答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人；
（3）解：选择乙，理由：
从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加，且最后命中次数稳定在．（答案不唯一）．
【知识点】统计表；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：10.
【分析】
（1）根据样本容量等于各小组频数之和可求得的值；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据折线统计图的变化趋势解答即可（答案不唯一）．
（1）解：；
（2）解：（人），
答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人；
（3）解：选择乙，理由：
从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加，且最后命中次数稳定在．（答案不唯一）．
19．【答案】（1）解：连接，
是中点，是中点，
是的中位线，
，
．
，
，
，
．
是半径，
为的切线．
（2）解：在中，根据勾股定理，得：，
由（1）得，
．
，
．
在中，，
，
，即，
∴，
，
的半径为3．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，由平行线的性质可得，然后根据圆额切线的判定可求解；
（2）在中，根据勾股定理可得AB的值， 由等边对等角可得，然后根据等角的余角相等可得， 由锐角三角函数可得，于是可得关于AC的方程，解方程可求解．
（1）解：连接，
是中点，是中点，
是的中位线，
，
．
，
，
，
．
是半径，
为的切线．
（2）解：在中，根据勾股定理，得：，
由（1）得，
．
，
．
在中，，
，
，即，
∴，
，
的半径为3．
20．【答案】（1）解：设该校购买《西游记》的单价为元，
，
解得，
检验：时，，是原分式方程的解，
，
答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元．
（2）解：设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，
，
根据题意得，解得，
为正整数，
的最小值是4，
是关于的一次函数，且，
随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
此时，
答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该校购买《西游记》的单价为元，利用“ 已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本 ”列出方程求解即可；
（2）设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，利用“总费用=《西游记》的费用+《红楼梦》的费用”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质求解即可.
21．【答案】（1）解：延长交于点D，则，
，
．

（2）解：，且为定值，
是关于的正比例函数，且随增大而增大，
∴当时，最大．
将、、代入，得：，
∴支架能承受的最大力约为．
答：支架能承受的最大力约为.
（3）解：过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
中，
，
，
，
（），
，
（），
，
，
∴在中，
，
，
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
答：在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）延长交于点D，则，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解；
（2）根据题意得是关于的正比例函数，由正比例函数的性质"当，随增大而增大"即可求解；
（3）过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形， 然后在和中，用锐角三角函数tan∠FOS=可求得FS的值，然后根据线段的和差EF=FS-ES计算即可求解．
（1）解：延长交于点D，则，
，
．
（2）解：，且为定值，
是关于的正比例函数，且随增大而增大，
∴当时，最大．
将、、代入，得：，
∴支架能承受的最大力约为．
（3）解：过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
中，
，
，
，
（），
，
（），
，
，
∴在中，
，
，
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
22．【答案】（1）解：当时，抛物线为．
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向上平移2个单位后为，
令，即，
，
，
解得或，
∴抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
∴对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向上，
，，
∴当时，取到最小值为，
当时，取到最大值，最大值为，
的最大值与最小值之差为5，
，
化简得：，即，
，
，
，
，
．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将a=1代入，并利用配方法将一般式化为顶点式，从而求解即可；
（2）先求出平移后的解析为，再将y=0代入解析式求出x的值可得点A、B的坐标，再求出AB的长即可；
（3）先求出当时，取到最小值为，当时，取到最大值，最大值为，再结合“y的最大值与最小值之差为5”可得，求出a的值，再结合，可得，最后求出即可．
23．【答案】（1）证明：，，
，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，
，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
；
（2）①解：如图，在上取一点，使得．
②证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
在 DAG和 EAB中
；
（3）解：，理由如下：
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由题意，易得为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可得∠EAB=∠ABC，根据“内错角相等，两直线平行”可得BC∥AE，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形为平行四边形，由平行四边形的对边相等可求解．
（2）①根据全等三角形的对应边相等，在上截取线段，使，完成尺规作图．
②由旋转的性质可得、，再根据等腰三角形的性质“等边对等角”并结合角的和差可得，然后用边角边可证．
（3）由等腰三角形的三线合一可得，再结合平行线的性质与三角形内角和定理证明，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差可求解．
（1）证明：，，
，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，
，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
；
（2）①解：如图，在上取一点，使得．
②证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
1 / 12026年广西壮族自治区钦州市初中学科素养第二次测试数学
1．下列各数中，是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A． 是无理数，
∴此选项不符合题意；
B． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
C． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
D．∵是分数，
∴是有理数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】 根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”与有理数的定义“整数和分数统称为有理数”并结合各选项即可判断求解．
2．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A 、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义"如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴"并结合各选项即可判断求解．
4．若式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≥﹣2
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使有意义，
则x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
5．如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是线段，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：12cm.
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得DE=AB可求解.
6．若， 面积比为， 则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：， 面积比为，
∴与的相似比是，
∵相似三角形的周长之比等于相似比，
∴与的周长比为．
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：A.
【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
8．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
9．二次函数图象的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的对称轴是直线．
故答案为：A.
【分析】根据顶点式的对称轴为直线即可求解．
10．一元二次方程的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据，方程有两个不相等的实数根；进行判断即可.
11．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，最大深度，则球的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，设球的半径为，则，
∵，
∴
在中，
∵，
∴，
解得
故答案为：B.
【分析】连接，设球的半径为，由垂径定理科得，在中，再根据勾股定理列关于的方程，解方程即可求解．
12．如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：延长交直线于点，延长交于点，
∵正六边形的外角和为，
∴每个外角的度数为，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：A.
【分析】延长交直线于点，延长交于点，由正六边形外角的性质“六边形的外角和等于360°”可求出和的度数，再根据三角形内角和等于180°求得的度数，最后由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”与三角形内角和定理可求解．
13．若分式有意义，则a的取值范围是　 　．
【答案】a≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义时分母不等于零可得： 0，
解得a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据分式有意义时分母不等于零，即可求解.
14．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】．
故答案为：．
【分析】
运用平方差公式对原式分解因式即可得到结果.
15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】
由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，
故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．
故答案为16π．
【分析】
首先根据给出的主视图和左视图可以判断出该几何体是柱体、锥体还是球体，再结合俯视图确定该几何体的具体形状，之后确定圆锥的母线长与底面半径，以此为基础计算该几何体的表面积.
16．如图，平行四边形中，对角线，交于点，直线过点，且与边，分别交于点，， ．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
和同高，
，
，
点落在内的概率是．
故答案为：.
【分析】由题意，用平行四边形的性质并结合线段比例关系可求出与平行四边形的面积比，即为所求概率．
17．计算与解不等式：
（1）计算：
（2）解不等式：
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
．
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解；
（2）根据解不等式的步骤“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”计算即可求解.
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
．
18．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校50名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 12 9 8 5
（1）表格中的值为_____________；
（2）若该校有1000名学生，请估计该校参加乒乓球活动的学生人数；
（3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由．
【答案】（1）10
（2）解：（人），
答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人；
（3）解：选择乙，理由：
从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加，且最后命中次数稳定在．（答案不唯一）．
【知识点】统计表；折线统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：10.
【分析】
（1）根据样本容量等于各小组频数之和可求得的值；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）根据折线统计图的变化趋势解答即可（答案不唯一）．
（1）解：；
（2）解：（人），
答：估计该校参加乒乓球活动的学生人数约为180人；
（3）解：选择乙，理由：
从折线统计图可以发现，随着周数的增加，乙同学投篮的命中次数也在增加，且最后命中次数稳定在．（答案不唯一）．
19．如图，是的外接圆，在中，，延长至点，使．过点作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）解：连接，
是中点，是中点，
是的中位线，
，
．
，
，
，
．
是半径，
为的切线．
（2）解：在中，根据勾股定理，得：，
由（1）得，
．
，
．
在中，，
，
，即，
∴，
，
的半径为3．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，由平行线的性质可得，然后根据圆额切线的判定可求解；
（2）在中，根据勾股定理可得AB的值， 由等边对等角可得，然后根据等角的余角相等可得， 由锐角三角函数可得，于是可得关于AC的方程，解方程可求解．
（1）解：连接，
是中点，是中点，
是的中位线，
，
．
，
，
，
．
是半径，
为的切线．
（2）解：在中，根据勾股定理，得：，
由（1）得，
．
，
．
在中，，
，
，即，
∴，
，
的半径为3．
20．为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费10500元和4500元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本．
（1）求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价；
（2）某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？
【答案】（1）解：设该校购买《西游记》的单价为元，
，
解得，
检验：时，，是原分式方程的解，
，
答：该校购买的《西游记》的单价为30元，《红楼梦》的单价为105元．
（2）解：设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，
，
根据题意得，解得，
为正整数，
的最小值是4，
是关于的一次函数，且，
随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
此时，
答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该校购买《西游记》的单价为元，利用“ 已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的3.5倍，并且订购《西游记》的数量比《红楼梦》的数量多50本 ”列出方程求解即可；
（2）设这个班订购本《红楼梦》，订购总费用为元，利用“总费用=《西游记》的费用+《红楼梦》的费用”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质求解即可.
21．综合与实践
图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的左视图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．（，，，，，）
（1）求的度数；
（2）为保证小桌板结构稳定，小桌板能放置物体的最大质量为，是支架的承受力，且与满足，其中是物体的质量，．求支架承受力的最大值；
（3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点，点到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，求的最大高度？
【答案】（1）解：延长交于点D，则，
，
．

（2）解：，且为定值，
是关于的正比例函数，且随增大而增大，
∴当时，最大．
将、、代入，得：，
∴支架能承受的最大力约为．
答：支架能承受的最大力约为.
（3）解：过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
中，
，
，
，
（），
，
（），
，
，
∴在中，
，
，
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
答：在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）延长交于点D，则，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解；
（2）根据题意得是关于的正比例函数，由正比例函数的性质"当，随增大而增大"即可求解；
（3）过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形， 然后在和中，用锐角三角函数tan∠FOS=可求得FS的值，然后根据线段的和差EF=FS-ES计算即可求解．
（1）解：延长交于点D，则，
，
．
（2）解：，且为定值，
是关于的正比例函数，且随增大而增大，
∴当时，最大．
将、、代入，得：，
∴支架能承受的最大力约为．
（3）解：过点作，过点作交于点，过点作交于点，则，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
中，
，
，
，
（），
，
（），
，
，
∴在中，
，
，
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长；
（3）当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，抛物线为．
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：抛物线向上平移2个单位后为，
令，即，
，
，
解得或，
∴抛物线与轴的交点分别为，，
；
（3）解：，
∴对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向上，
，，
∴当时，取到最小值为，
当时，取到最大值，最大值为，
的最大值与最小值之差为5，
，
化简得：，即，
，
，
，
，
．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将a=1代入，并利用配方法将一般式化为顶点式，从而求解即可；
（2）先求出平移后的解析为，再将y=0代入解析式求出x的值可得点A、B的坐标，再求出AB的长即可；
（3）先求出当时，取到最小值为，当时，取到最大值，最大值为，再结合“y的最大值与最小值之差为5”可得，求出a的值，再结合，可得，最后求出即可．
23．在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点．
（1）如图1，若点与点重合，，求证：；
（2）如图2，点，都在的延长线上，连接．
①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法）
②证明：；
（3）在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：，，
，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，
，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
；
（2）①解：如图，在上取一点，使得．
②证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
在 DAG和 EAB中
；
（3）解：，理由如下：
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由题意，易得为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可得∠EAB=∠ABC，根据“内错角相等，两直线平行”可得BC∥AE，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形为平行四边形，由平行四边形的对边相等可求解．
（2）①根据全等三角形的对应边相等，在上截取线段，使，完成尺规作图．
②由旋转的性质可得、，再根据等腰三角形的性质“等边对等角”并结合角的和差可得，然后用边角边可证．
（3）由等腰三角形的三线合一可得，再结合平行线的性质与三角形内角和定理证明，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差可求解．
（1）证明：，，
，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，
，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
；
（2）①解：如图，在上取一点，使得．
②证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
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