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湖南省长沙市中雅培粹学校2026年中考二模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”判断解答即可.
2．如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得组合体的俯视图是：
，
故答案为：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．2026年国内新能源风电项目稳步落地，某海上风电场全年累计清洁发电量达到千瓦时，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；幂的乘方运算；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，因此，A错误．
选项B：根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可得，B错误．
选项C：根据二次根式乘法法则，可得，C正确．
选项D：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，D错误．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加法、除法、乘法和幂的乘方运算法则逐项判断解答即可.
5．某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下表：
年龄/岁 12 13 14 15 16
人数 1 4 3 2 2
则这个小组成员年龄数据的中位数是（　　）
A．13 B．14 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵数据按从小到大的顺序排列是：12，13，13，13，13，14，14，14，15，15，16，16，即第6个和第7个数据均为14，
∴中位数．
故答案为：B.
【分析】将数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数，据此解答即可．
6．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵中，
∴，，
∴该函数图象过第一、二、四象限，
∴该函数图象不过第三象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，当，时，一次函数的图象在一、二、四象限，则该函数不经过第三象限．
7．将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
在含角的直角三角板中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】先求出∠5的度数，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠3的度数，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
8．如图，是的内接三角形，于点，若，，则（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
，
，
∵，
∴是边的中线，
．
故答案为：4.
【分析】连接，根据垂径定理可得AE=BE，然后根据直角三角形斜边中线性质解答即可．
9．《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设一共有名农户，粮食总量固定不变.
∵每人分斗，剩余斗，
∴粮食总量为 ；
∵每人分斗，还差斗，说明现有粮食总量比少斗，
∴粮食总量为 ；
∵粮食总量相等，
∴得方程 ，
故答案为：B.
【分析】设一共有名农户，根据“ 每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗 ”列方程解答即可.
10．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接、，作于，如图：
六边形是正六边形，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
的估计值为，
故选：B．
【分析】连接、，作于，求出中心角，即可得到得，，根据勾股定理得到，然后求出正六边形的面积，进而求出π的值解答即可．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
12．已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的一个根，
，即，
．
【分析】
已知n是方程的一个根，将n代入方程，再将其代入代数式中计算即可.
13．圆锥的底面直径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵.
故答案为：24π.
【分析】利用扇形面积公式πrl计算侧面积．
14．为了解某校学生参与课后服务的情况，从该校全体2400名学生中，随机调查了80名学生，统计结果显示有12名学生未参与课后服务．由此，估计该校全体学生中，未参与课后服务的学生有　 　名．
【答案】
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：未参与课后服务学生的频率：，
根据用样本估计总体的方法，估计该校全体学生中未参与课后服务的学生人数为： ．
故答案为：360.
【分析】根据样本中未参与课后服务学生的频率乘以总体人数解答即可．
15．已知一定质量的氧气的体积（）是密度（）的反比例函数，其图象如图所示，则当时的氧气的体积　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
故答案为：6．
【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，求出V的值即可解答即可．
16．2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话：
小文：我要送3本书给小远；
小明：我要送5本书给小远；
小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半；
小远：谢谢三位好朋友！
请问，此时小志手中还有　 　本书籍．
【答案】4
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设四人最初每人有本书籍，根据题意，小文送出3本书后剩余书籍数量为，小明送出5本书后剩余书籍数量为．
小文与小明剩余书籍的总和为：，
小志送出的书籍数量为两人剩余总和的一半，即，
因此小志剩余书籍数量为：．
故答案为：4.
【分析】设四人最初每人拥有的书籍数量为，利用代数式表示出小文、小明送书后的剩余书籍数量，求出小志送出的书籍数量，然后计算小志剩余的书籍数量即可．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；立方根的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算乘方、立方根和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解答即可.
18．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴此不等式组的解集为.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
19．如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接DM，DN，
由题意得：，，，
，
，
平分，
（2）解：是半圆的直径
平分
即的度数为．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据作图，利用SSS得到，根据对应角相等证明结论即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用直角三角形两锐角互余得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
20．某校组织学生开展了“诵经典诗文，抒家国情怀”竞赛活动．竞赛项目有：经典背诵、诗文解读、知识抢答、即兴抒怀．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有　 　名；
（2）在扇形统计图中“项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ▲ ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的甲、乙、丙、丁这四名学生中，随机抽出名同学去做风采展示代表，请用列表或画树状图的方法求出恰好甲和乙被抽中的概率．
【答案】（1）60
（2）解：90°；
补全统计图如下：
（3）解：根据题意列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） 　 （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） 　 （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 　
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好甲和乙被抽中的情况有2种．
则恰好甲和乙被抽中的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：60；
（2）B项目的总人数为人，
∴“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：90°；
【解答】（1）根据A项目的人数除以占比求出总人数解答；
（2）让总人数减去其它组的人数求出B项目的人数，然后根据B项目人数占比乘以360°求出圆心角，补全条形统计图即可；
（3）列表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再利用概率公式解答即可．
21．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船成功发射升空．航天主题周边商品随之迎来热销．某文创商店购进飞船模型、纪念徽章两类商品进行售卖．每个飞船模型的进价是纪念徽章进价的倍．
（1）已知商店用元购进的飞船模型数量，比用元购进纪念徽章的数量少个．求纪念徽章和飞船模型每个的进价分别是多少元？
（2）商店计划再次购进这两款周边共个，进货总资金不超过元，求最多能购进多少个飞船模型？
【答案】（1）解：设每个纪念徽章进价元，则每个飞船模型进价元．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意
答：每个纪念徽章进价20元，则每个飞船模型进价30元．
（2）解：设购进飞船模型个，则购进纪念徽章（）个．
由题意得：
解得：
答：最多能购进210个飞船模型．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个纪念徽章进价元，则每个飞船模型进价元，根据“ 用元购进的飞船模型数量，比用元购进纪念徽章的数量少个 ”列分式方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进飞船模型个，则购进纪念徽章（）个．根据“ 进货总资金不超过元 ”列不等式，求出y的最大整数解即可.
22．如图所示，在中，于，于，且．
（1）求证：为菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
（），
，
是菱形.
（2）解：∵在菱形中，，
，
在中，，，
.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，然后根据AAS得到，即可得到AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）根据菱形的性质求出∠A=60°，然后根据解直角三角形求出AB和BF长，根据菱形的面积公式计算即可.
23．某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌的高度，他站在距离办公楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）若工程人员在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米，，）
【答案】（1）解：在中，，，
，
答：长为.
（2）解：过F作于G，
的坡度为，
，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，
答：宣传牌的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据正切的定义求出DE长即可；
（2）过F作于G，即可得到DEGF是矩形，然后根据坡度求出CG长，即可得到FD的长，再根据正切的定义求出AD和BE长，利用线段的和差解答即可.
24．如图，四边形内接于圆，对角线，交于点．其中，，．
（1）填空：①　 　；②　 　；③　 　；
（2）若四边形的面积为25，求点到的距离；
（3）若圆的半径为1，点为的内心，若，求的值．
【答案】（1）；0；
（2）解：如图，过A作于H，过A作于F，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，
.
（3）解：如图，过作，以为圆心，为半径作的内切圆，并与、分别切于、，连接，
设，，
由切线长定理，，
∵圆的半径为，
，
在中：，
，
，
①，
由切线长定理，，
，
在中：②，
由①②得：，
， ，
，
，
.
【知识点】正方形的判定与性质；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解∶ ①，
，
，
，
②，即，，
，
，
，
；
③如图，过A作于H，过A作于F，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
【分析】(1) ①根据弦、弧、圆心角的关系可，然后根据等弧所对圆周角相等得到解答即可；
②根据两角对应相等得到，根据对应边成比例可，代入计算即可；
③过A作于H，过A作于F，即可得哦大，进而可得，然后推理得到是正方形，得出，即可得到，在中，由勾股定理得，然后代入解答即可．
(2) 过A作于H，过A作于F，先根据AAS得到△AFB≌△AHD，即可得到四边形是正方形，然后利用，解答即可．
(3) 过作，以为圆心，为半径作的内切圆，并与、分别切于、，连接，设，，根据切线长定理可得，，在中根据勾股定理得①，在中由勾股定理得：②，联立两方程求出r的值，然后根据角平分线的性质定理得到解答即可．
25．平面直角坐标系中，若函数图象上存在点，其坐标满足（为常数且），则称此函数为“定周函数”，点为“定周点”．
（1）在下列关于的函数中，是“定周函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，否则请打“×”．
①　 　；②　 　；③　 　；
（2）已知二次函数是“定周函数”，求的取值范围；
（3）已知点，是直线上的两个“定周点”．问：在第一象限内是否存在“定周点”，使得度数最大？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）√；×；×
（2）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∴顶点在直线上运动，
由题意知，函数图象上存在点，其坐标满足，即，可化为，
同（1）可得其在坐标系中的图像是下图中的正方形，即二次函数的图象与该正方形要有交点才符合题意；
①如图1，
当抛物线与直线相切时，联立解析式得：
，
，
解得：，
②如图2，
当，且抛物线经过时，
可得：解得：，
，
，
综上所述，的取值范围为．
（3）解：∵点，均是直线上的两个“定周点”，
∴点，的坐标满足，即，可化为，
同（1）可得的图象为下图中的正方形，
由图可知该正方形和直线的两个交点分别为点和点；
由得：，
∴点坐标为，
由得：
∴点坐标为，
令直线与直线的交点为点，
联立得：，
∴点坐标为，
∴，；
由题意知点在该正方形第一象限的边上，
如图，当的外接圆与直线相切于点时，度数最大，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵，
∴，
又∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，即，
设点的坐标为，则，
，
化简得：，
解得：，
又，
，
∴．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）由题意知，若函数图象上存在点，其坐标满足，即，则称此函数为“定周函数”，点为“定周点”，那么对于，可化为，
当，时，化简得；
当，时，化简得；
当，时，化简得；
当，时，化简得；
其图象如下：
①如图，直线与正方形有两个交点、，
∴此函数是“定周函数”；
②如图，反比例函数与正方形没有交点，
∴不存在这样的点，即此函数不是“定周函数”；
③如图，二次函数与正方形没有交点，
∴不存在这样的点，即此函数不是“定周函数”；
故答案为：①√；②×；③×；
【分析】（1）根据“定周函数 ”的定义逐一判断解答即可；
（2）先配方为顶点式，求出二次函数的顶点坐标，得到顶点在直线上运动，联立二次函数与直线解析式，根据相切得到，求出a的值；当a<-4时，把(-4，0)代入抛物线解析式求出a的值，进而得到a的取值范围即可；
（3）作出满足条件的“定周点”的图象，求出点A、B、M的坐标，得到的外接圆与直线相切于点时，度数最大，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
1 / 1湖南省长沙市中雅培粹学校2026年中考二模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．2026年国内新能源风电项目稳步落地，某海上风电场全年累计清洁发电量达到千瓦时，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某中学书法兴趣小组12名成员的年龄情况如下表：
年龄/岁 12 13 14 15 16
人数 1 4 3 2 2
则这个小组成员年龄数据的中位数是（　　）
A．13 B．14 C．2 D．3
6．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是的内接三角形，于点，若，，则（　　）
A．2 B． C． D．4
9．《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
10．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（　　）
A．3 B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：　 　．
12．已知是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
13．圆锥的底面直径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是　 　．
14．为了解某校学生参与课后服务的情况，从该校全体2400名学生中，随机调查了80名学生，统计结果显示有12名学生未参与课后服务．由此，估计该校全体学生中，未参与课后服务的学生有　 　名．
15．已知一定质量的氧气的体积（）是密度（）的反比例函数，其图象如图所示，则当时的氧气的体积　 　．
16．2026年4月23日是第31个世界读书日．为响应“共促全民阅读，共建书香社会”的号召，小文、小明、小志、小远四人组成读书小组，各自准备相等数量的书籍（假定每人书籍数量足够多），相互分享阅读．某一天，他们有以下对话：
小文：我要送3本书给小远；
小明：我要送5本书给小远；
小志：我要送给小远书籍的数量是你们俩剩余书籍数量总和的一半；
小远：谢谢三位好朋友！
请问，此时小志手中还有　 　本书籍．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
18．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
19．如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数．
20．某校组织学生开展了“诵经典诗文，抒家国情怀”竞赛活动．竞赛项目有：经典背诵、诗文解读、知识抢答、即兴抒怀．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有　 　名；
（2）在扇形统计图中“项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ▲ ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的甲、乙、丙、丁这四名学生中，随机抽出名同学去做风采展示代表，请用列表或画树状图的方法求出恰好甲和乙被抽中的概率．
21．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船成功发射升空．航天主题周边商品随之迎来热销．某文创商店购进飞船模型、纪念徽章两类商品进行售卖．每个飞船模型的进价是纪念徽章进价的倍．
（1）已知商店用元购进的飞船模型数量，比用元购进纪念徽章的数量少个．求纪念徽章和飞船模型每个的进价分别是多少元？
（2）商店计划再次购进这两款周边共个，进货总资金不超过元，求最多能购进多少个飞船模型？
22．如图所示，在中，于，于，且．
（1）求证：为菱形；
（2）若，，求的面积．
23．某公司在办公楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图，工程人员为测量宣传牌的高度，他站在距离办公楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为，同时测得办公楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，工程人员沿坡度的斜坡从走到处，此时正好与地面平行．
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）若工程人员在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到0.1米，，）
24．如图，四边形内接于圆，对角线，交于点．其中，，．
（1）填空：①　 　；②　 　；③　 　；
（2）若四边形的面积为25，求点到的距离；
（3）若圆的半径为1，点为的内心，若，求的值．
25．平面直角坐标系中，若函数图象上存在点，其坐标满足（为常数且），则称此函数为“定周函数”，点为“定周点”．
（1）在下列关于的函数中，是“定周函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，否则请打“×”．
①　 　；②　 　；③　 　；
（2）已知二次函数是“定周函数”，求的取值范围；
（3）已知点，是直线上的两个“定周点”．问：在第一象限内是否存在“定周点”，使得度数最大？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”判断解答即可.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得组合体的俯视图是：
，
故答案为：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；幂的乘方运算；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，因此，A错误．
选项B：根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可得，B错误．
选项C：根据二次根式乘法法则，可得，C正确．
选项D：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，D错误．
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加法、除法、乘法和幂的乘方运算法则逐项判断解答即可.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵数据按从小到大的顺序排列是：12，13，13，13，13，14，14，14，15，15，16，16，即第6个和第7个数据均为14，
∴中位数．
故答案为：B.
【分析】将数据从小到大排列后，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数，据此解答即可．
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵中，
∴，，
∴该函数图象过第一、二、四象限，
∴该函数图象不过第三象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，当，时，一次函数的图象在一、二、四象限，则该函数不经过第三象限．
7．【答案】A
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
在含角的直角三角板中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】先求出∠5的度数，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠3的度数，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
，
，
∵，
∴是边的中线，
．
故答案为：4.
【分析】连接，根据垂径定理可得AE=BE，然后根据直角三角形斜边中线性质解答即可．
9．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设一共有名农户，粮食总量固定不变.
∵每人分斗，剩余斗，
∴粮食总量为 ；
∵每人分斗，还差斗，说明现有粮食总量比少斗，
∴粮食总量为 ；
∵粮食总量相等，
∴得方程 ，
故答案为：B.
【分析】设一共有名农户，根据“ 每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗 ”列方程解答即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接、，作于，如图：
六边形是正六边形，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
的估计值为，
故选：B．
【分析】连接、，作于，求出中心角，即可得到得，，根据勾股定理得到，然后求出正六边形的面积，进而求出π的值解答即可．
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的一个根，
，即，
．
【分析】
已知n是方程的一个根，将n代入方程，再将其代入代数式中计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵.
故答案为：24π.
【分析】利用扇形面积公式πrl计算侧面积．
14．【答案】
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：未参与课后服务学生的频率：，
根据用样本估计总体的方法，估计该校全体学生中未参与课后服务的学生人数为： ．
故答案为：360.
【分析】根据样本中未参与课后服务学生的频率乘以总体人数解答即可．
15．【答案】6
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
故答案为：6．
【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，求出V的值即可解答即可．
16．【答案】4
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：设四人最初每人有本书籍，根据题意，小文送出3本书后剩余书籍数量为，小明送出5本书后剩余书籍数量为．
小文与小明剩余书籍的总和为：，
小志送出的书籍数量为两人剩余总和的一半，即，
因此小志剩余书籍数量为：．
故答案为：4.
【分析】设四人最初每人拥有的书籍数量为，利用代数式表示出小文、小明送书后的剩余书籍数量，求出小志送出的书籍数量，然后计算小志剩余的书籍数量即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算；立方根的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算乘方、立方根和绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解答即可.
18．【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴此不等式组的解集为.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，在数轴上表示不等式组的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
19．【答案】（1）证明：如图，连接DM，DN，
由题意得：，，，
，
，
平分，
（2）解：是半圆的直径
平分
即的度数为．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据作图，利用SSS得到，根据对应角相等证明结论即可；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用直角三角形两锐角互余得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
20．【答案】（1）60
（2）解：90°；
补全统计图如下：
（3）解：根据题意列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 　 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） 　 （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） 　 （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 　
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好甲和乙被抽中的情况有2种．
则恰好甲和乙被抽中的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：60；
（2）B项目的总人数为人，
∴“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：90°；
【解答】（1）根据A项目的人数除以占比求出总人数解答；
（2）让总人数减去其它组的人数求出B项目的人数，然后根据B项目人数占比乘以360°求出圆心角，补全条形统计图即可；
（3）列表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再利用概率公式解答即可．
21．【答案】（1）解：设每个纪念徽章进价元，则每个飞船模型进价元．
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意
答：每个纪念徽章进价20元，则每个飞船模型进价30元．
（2）解：设购进飞船模型个，则购进纪念徽章（）个．
由题意得：
解得：
答：最多能购进210个飞船模型．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每个纪念徽章进价元，则每个飞船模型进价元，根据“ 用元购进的飞船模型数量，比用元购进纪念徽章的数量少个 ”列分式方程，求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进飞船模型个，则购进纪念徽章（）个．根据“ 进货总资金不超过元 ”列不等式，求出y的最大整数解即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
（），
，
是菱形.
（2）解：∵在菱形中，，
，
在中，，，
.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，然后根据AAS得到，即可得到AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）根据菱形的性质求出∠A=60°，然后根据解直角三角形求出AB和BF长，根据菱形的面积公式计算即可.
23．【答案】（1）解：在中，，，
，
答：长为.
（2）解：过F作于G，
的坡度为，
，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，
答：宣传牌的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据正切的定义求出DE长即可；
（2）过F作于G，即可得到DEGF是矩形，然后根据坡度求出CG长，即可得到FD的长，再根据正切的定义求出AD和BE长，利用线段的和差解答即可.
24．【答案】（1）；0；
（2）解：如图，过A作于H，过A作于F，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，
.
（3）解：如图，过作，以为圆心，为半径作的内切圆，并与、分别切于、，连接，
设，，
由切线长定理，，
∵圆的半径为，
，
在中：，
，
，
①，
由切线长定理，，
，
在中：②，
由①②得：，
， ，
，
，
.
【知识点】正方形的判定与性质；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解∶ ①，
，
，
，
②，即，，
，
，
，
；
③如图，过A作于H，过A作于F，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
【分析】(1) ①根据弦、弧、圆心角的关系可，然后根据等弧所对圆周角相等得到解答即可；
②根据两角对应相等得到，根据对应边成比例可，代入计算即可；
③过A作于H，过A作于F，即可得哦大，进而可得，然后推理得到是正方形，得出，即可得到，在中，由勾股定理得，然后代入解答即可．
(2) 过A作于H，过A作于F，先根据AAS得到△AFB≌△AHD，即可得到四边形是正方形，然后利用，解答即可．
(3) 过作，以为圆心，为半径作的内切圆，并与、分别切于、，连接，设，，根据切线长定理可得，，在中根据勾股定理得①，在中由勾股定理得：②，联立两方程求出r的值，然后根据角平分线的性质定理得到解答即可．
25．【答案】（1）√；×；×
（2）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∴顶点在直线上运动，
由题意知，函数图象上存在点，其坐标满足，即，可化为，
同（1）可得其在坐标系中的图像是下图中的正方形，即二次函数的图象与该正方形要有交点才符合题意；
①如图1，
当抛物线与直线相切时，联立解析式得：
，
，
解得：，
②如图2，
当，且抛物线经过时，
可得：解得：，
，
，
综上所述，的取值范围为．
（3）解：∵点，均是直线上的两个“定周点”，
∴点，的坐标满足，即，可化为，
同（1）可得的图象为下图中的正方形，
由图可知该正方形和直线的两个交点分别为点和点；
由得：，
∴点坐标为，
由得：
∴点坐标为，
令直线与直线的交点为点，
联立得：，
∴点坐标为，
∴，；
由题意知点在该正方形第一象限的边上，
如图，当的外接圆与直线相切于点时，度数最大，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵，
∴，
又∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，即，
设点的坐标为，则，
，
化简得：，
解得：，
又，
，
∴．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）由题意知，若函数图象上存在点，其坐标满足，即，则称此函数为“定周函数”，点为“定周点”，那么对于，可化为，
当，时，化简得；
当，时，化简得；
当，时，化简得；
当，时，化简得；
其图象如下：
①如图，直线与正方形有两个交点、，
∴此函数是“定周函数”；
②如图，反比例函数与正方形没有交点，
∴不存在这样的点，即此函数不是“定周函数”；
③如图，二次函数与正方形没有交点，
∴不存在这样的点，即此函数不是“定周函数”；
故答案为：①√；②×；③×；
【分析】（1）根据“定周函数 ”的定义逐一判断解答即可；
（2）先配方为顶点式，求出二次函数的顶点坐标，得到顶点在直线上运动，联立二次函数与直线解析式，根据相切得到，求出a的值；当a<-4时，把(-4，0)代入抛物线解析式求出a的值，进而得到a的取值范围即可；
（3）作出满足条件的“定周点”的图象，求出点A、B、M的坐标，得到的外接圆与直线相切于点时，度数最大，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
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