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广东省河源市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如果，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
5．不等式的解集在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
7．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
8．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
9．某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（　　）
A． B． C． D．
11．“x的2倍减去y的3倍的差是负数”，用不等式表示：　 　．
12．已知点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标为　 　．
13． 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是　 　.
14．如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则　 　．
15．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；其中正确的有　 　（填正确的序号）
16．解不等式（组）
（1）．
（2），并把解集在数轴上表示出来．
17．某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______．
19．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．
（1）如图，的周长为18，求的长．
（2）若，，求的度数．
20．某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示：
类型 进价（元/台） 售价（元/台）
甲 2300 2800
乙 3300 4000
（1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台；
（2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润．
21．如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
（1）根据图像，直接写出当时，x的取值范围是______．
（2）求a和b的值；
（3）若点P在直线上，且，求点P的坐标．
22．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
23．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴A，B，C不符合题意；
∵，
∴，D符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题关键．
不等式的基本性质1：两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质判断即可得出答案．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，
又∵，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
又∵，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
判断直角三角形的方法：若三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形就是直角三角形，用这个结论判断选项A、C、D，再结合三角形内角和定理判断选项B即可.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据其性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴表示不等式的解集如下：
，
故选：D；
【分析】解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A．有一个角是60度的等腰三角形才是等边三角形，故A是假命题；
B．取，满足，但，故B是假命题；
C．该选项是角平分线的判定定理，表述正确，故C是真命题；
D．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于该钝角，故D是假命题．
故答案为：C
【分析】根据等边三角形判定、不等式性质、角平分线判定定理、三角形外角性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F点作于H点，如图，
∵，，
∴，
由作图痕迹得平分，
∵，，
∴，即点F到的距离为4．
故选：B．
【分析】过F点作于H点，根据边之间的关系可得FC，再根据角平分线性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故答案为：D．
【分析】设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转至处，，
∴，，
∴，
∴，
故选D．
【分析】根据旋转性质可得，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得，的倍为，的倍为，二者的差是负数，负数小于，因此列出不等式为．
故答案为：
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向上平移个单位长度， 再向右平移个单位长度得到点，
点的坐标为，
即．
故答案为：
【分析】根据点的平移即可求出答案.
13．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
14．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
解得，
，
解得，
∵关于x的不等式的解集与的解集相同，
∴，
解得，
故答案为：2．
【分析】先分别解一元一次不等式得到，，再根据不等式的解集相同可得，解方程计算即可求解．
15．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
在和中，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
∵，
，
，
，故正确；
过点作于点，于点，如图，
，
，，
，
，
∴点到和的距离相等，故正确；
，，，
点在的平分线上，
平分，故正确．
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，
故答案为：4．
【分析】利用SAS证明，可判断①；
根据可得，利用三角形内角和及三角形外角的性质可求得的度数，从而可判断②；
根据，可得，，再根据面积相等可得，即点到和的距离相等，故可判断；
根据④可得，点在的平分线上，则可判断③．
16．【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为．
解集作数轴上表示为：

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出答案.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为．
解集作数轴上表示为：
17．【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质分析（ 作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点 ，点 即为所求）即可.
18．【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）解：如图3，
根据图形可知：
旋转中心的坐标为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据平移性质做做图即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵边的垂直平分线交边于点，
，，
，
，
∴，
的周长为18，
，
；
（2）解：，
，
∵边的垂直平分线交边于点，
，
，
又，
∴，
∵，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式进行计算；
（2）由对顶角相等的性质得，根据垂直的定义得到，由（1）知，从而根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，进而得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可.
（1）解：垂直平分，
，．
又，
，
∴，
又的周长为18，
，
．
（2）解：，
．
又垂直平分，
，
．
又，
∴，
∵，
，
．
20．【答案】（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．
根据题意，得，
解得．
答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．
（2）解：设购进甲空调m台，则购进乙空调台．
根据题意，得，
解得．
设获得的总利润为W元，则
，
∵，
∴W随m的减小而增大，
∵，
∴当时，W的值最大，，
（台）．
答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲空调x台，购进乙空调y台，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台，根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，设获得的总利润为W元，列出一次函数解析式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．
根据题意，得，
解得．
答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．
（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台．
根据题意，得，
解得．
设获得的总利润为W元，则，
∵，
∴W随m的减小而增大，
∵，
∴当时，W的值最大，，
（台）．
答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．
21．【答案】（1）
（2）解：将点代入可得：，解得：，
∴，
∵点M的横坐标为，
∴点M的纵坐标为，即，
将点的坐标代入得 ，解得：．
（3）解：设，
由（2）可得
把代入得，，
∴，
∴，
∴ ，解得或．
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：由图像可知，当时，在的下方，
∴当时，x的取值范围是．
故答案为：
【分析】（1）当直线的图象在直线下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点A坐标代入直线可得，再将x=-3代入解析式可得，再根据待定系数法将点M坐标代入即可求出答案.
（3）设，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由图像可知，当时，在的下方，
∴当时，x的取值范围是．
（2）解：将点代入可得：，解得：，
∴，
∵点M的横坐标为，
∴点M的纵坐标为，即，
将点的坐标代入得 ，解得：．
（3）解：设，
由（2）可得
把代入得，，
∴，
∴，
∴ ，解得或．
∴或．
22．【答案】（1）①③
（2）
（3）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解方程，得，
解方程，得，
∵方程和方程都是原不等式组的关联方程，
∴和都在的范围内，
∴，解得，
∴，
∴的取值范围是．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：解方程 ①得 ：；
解方程②得：；
解方程③得：；
解不等式组 得：，
∵上述3个方程的解中和都在的范围内，
∴不等式组 的关联方程是方程①③；
故答案为①③．
（2）解：解不等式组得：，
∵原不等式组的关联方程的解为整数，
∴解为的一元一次方程都是原不等式组的关联方程，如，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】（1）解出三个方程的解，再求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可求出答案.
（2）解不等式组，再根据关联方程的定义建立方程即可求出答案.
（3）解不等式组，解两个方程的解，再根据关联方程的定义建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（1）解：解方程 ①得 ：；
解方程②得：；
解方程③得：；
解不等式组 得：，
∵上述3个方程的解中和都在的范围内，
∴不等式组 的关联方程是方程①③；
故答案为①③．
（2）解：解不等式组得：，
∵原不等式组的关联方程的解为整数，
∴解为的一元一次方程都是原不等式组的关联方程，如，
故答案为：（答案不唯一）．
（3）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解方程，得，
解方程，得，
∵方程和方程都是原不等式组的关联方程，
∴和都在的范围内，
∴，解得，
∴，
∴的取值范围是．
23．【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
1 / 1广东省河源市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题
1．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可．
2．如果，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴A，B，C不符合题意；
∵，
∴，D符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题关键．
不等式的基本性质1：两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的基本性质判断即可得出答案．
3．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，
又∵，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵，，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
又∵，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【分析】
判断直角三角形的方法：若三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，该三角形就是直角三角形，用这个结论判断选项A、C、D，再结合三角形内角和定理判断选项B即可.
4．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据其性质即可求出答案.
5．不等式的解集在数轴上可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
数轴表示不等式的解集如下：
，
故选：D；
【分析】解不等式，再将解集在数轴上表示出来即可.
6．下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A．有一个角是60度的等腰三角形才是等边三角形，故A是假命题；
B．取，满足，但，故B是假命题；
C．该选项是角平分线的判定定理，表述正确，故C是真命题；
D．三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，钝角三角形中钝角的外角是锐角，小于该钝角，故D是假命题．
故答案为：C
【分析】根据等边三角形判定、不等式性质、角平分线判定定理、三角形外角性质逐项进行判断即可求出答案.
7．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点．
故选：C．
【分析】根据角平分线的性质即可求出答案.
8．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F点作于H点，如图，
∵，，
∴，
由作图痕迹得平分，
∵，，
∴，即点F到的距离为4．
故选：B．
【分析】过F点作于H点，根据边之间的关系可得FC，再根据角平分线性质即可求出答案.
9．某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，
由题意可得：．
故答案为：D．
【分析】设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.
10．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转至处，，
∴，，
∴，
∴，
故选D．
【分析】根据旋转性质可得，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．“x的2倍减去y的3倍的差是负数”，用不等式表示：　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得，的倍为，的倍为，二者的差是负数，负数小于，因此列出不等式为．
故答案为：
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
12．已知点先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向上平移个单位长度， 再向右平移个单位长度得到点，
点的坐标为，
即．
故答案为：
【分析】根据点的平移即可求出答案.
13． 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是　 　.
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
14．如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则　 　．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
解得，
，
解得，
∵关于x的不等式的解集与的解集相同，
∴，
解得，
故答案为：2．
【分析】先分别解一元一次不等式得到，，再根据不等式的解集相同可得，解方程计算即可求解．
15．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；其中正确的有　 　（填正确的序号）
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
在和中，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
∵，
，
，
，故正确；
过点作于点，于点，如图，
，
，，
，
，
∴点到和的距离相等，故正确；
，，，
点在的平分线上，
平分，故正确．
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个，
故答案为：4．
【分析】利用SAS证明，可判断①；
根据可得，利用三角形内角和及三角形外角的性质可求得的度数，从而可判断②；
根据，可得，，再根据面积相等可得，即点到和的距离相等，故可判断；
根据④可得，点在的平分线上，则可判断③．
16．解不等式（组）
（1）．
（2），并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为．
解集作数轴上表示为：

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出答案.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为．
解集作数轴上表示为：
17．某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质分析（ 作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点 ，点 即为所求）即可.
18．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______．
【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）解：如图3，
根据图形可知：
旋转中心的坐标为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据平移性质做做图即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
19．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．
（1）如图，的周长为18，求的长．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵边的垂直平分线交边于点，
，，
，
，
∴，
的周长为18，
，
；
（2）解：，
，
∵边的垂直平分线交边于点，
，
，
又，
∴，
∵，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式进行计算；
（2）由对顶角相等的性质得，根据垂直的定义得到，由（1）知，从而根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，进而得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可.
（1）解：垂直平分，
，．
又，
，
∴，
又的周长为18，
，
．
（2）解：，
．
又垂直平分，
，
．
又，
∴，
∵，
，
．
20．某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示：
类型 进价（元/台） 售价（元/台）
甲 2300 2800
乙 3300 4000
（1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台；
（2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．
根据题意，得，
解得．
答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．
（2）解：设购进甲空调m台，则购进乙空调台．
根据题意，得，
解得．
设获得的总利润为W元，则
，
∵，
∴W随m的减小而增大，
∵，
∴当时，W的值最大，，
（台）．
答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲空调x台，购进乙空调y台，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台，根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，设获得的总利润为W元，列出一次函数解析式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台．
根据题意，得，
解得．
答：购进甲空调35台，购进乙空调15台．
（2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台．
根据题意，得，
解得．
设获得的总利润为W元，则，
∵，
∴W随m的减小而增大，
∵，
∴当时，W的值最大，，
（台）．
答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元．
21．如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为．
（1）根据图像，直接写出当时，x的取值范围是______．
（2）求a和b的值；
（3）若点P在直线上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）解：将点代入可得：，解得：，
∴，
∵点M的横坐标为，
∴点M的纵坐标为，即，
将点的坐标代入得 ，解得：．
（3）解：设，
由（2）可得
把代入得，，
∴，
∴，
∴ ，解得或．
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：由图像可知，当时，在的下方，
∴当时，x的取值范围是．
故答案为：
【分析】（1）当直线的图象在直线下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点A坐标代入直线可得，再将x=-3代入解析式可得，再根据待定系数法将点M坐标代入即可求出答案.
（3）设，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由图像可知，当时，在的下方，
∴当时，x的取值范围是．
（2）解：将点代入可得：，解得：，
∴，
∵点M的横坐标为，
∴点M的纵坐标为，即，
将点的坐标代入得 ，解得：．
（3）解：设，
由（2）可得
把代入得，，
∴，
∴，
∴ ，解得或．
∴或．
22．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）
（3）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解方程，得，
解方程，得，
∵方程和方程都是原不等式组的关联方程，
∴和都在的范围内，
∴，解得，
∴，
∴的取值范围是．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：解方程 ①得 ：；
解方程②得：；
解方程③得：；
解不等式组 得：，
∵上述3个方程的解中和都在的范围内，
∴不等式组 的关联方程是方程①③；
故答案为①③．
（2）解：解不等式组得：，
∵原不等式组的关联方程的解为整数，
∴解为的一元一次方程都是原不等式组的关联方程，如，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】（1）解出三个方程的解，再求出不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可求出答案.
（2）解不等式组，再根据关联方程的定义建立方程即可求出答案.
（3）解不等式组，解两个方程的解，再根据关联方程的定义建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（1）解：解方程 ①得 ：；
解方程②得：；
解方程③得：；
解不等式组 得：，
∵上述3个方程的解中和都在的范围内，
∴不等式组 的关联方程是方程①③；
故答案为①③．
（2）解：解不等式组得：，
∵原不等式组的关联方程的解为整数，
∴解为的一元一次方程都是原不等式组的关联方程，如，
故答案为：（答案不唯一）．
（3）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解方程，得，
解方程，得，
∵方程和方程都是原不等式组的关联方程，
∴和都在的范围内，
∴，解得，
∴，
∴的取值范围是．
23．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
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