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浙江省温州市鹿城区2025-2026学年下学期5月九年级中考模拟数学试卷
1．元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、，0不是负数，故此选项不符合要求；
B、，结果为正数，故此选项不符合要求；
C、，同号相乘得正，结果为正数，故此选项不符合要求；
D、 ，异号相乘得负，结果为负数，故此选项符合要求．
故答案为：D．
【分析】由0与任何数相乘都等于0，而0既不是正数也不是负数可判断A选项；由两数相乘同号得正，可判断B、C选项；由异号两数相乘得负可判断D选项.
2．智算中心将电力转化为算力并产出，实现更高价值跃升．基于模型实测：度电可生成约个．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答.
3．如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形的一个外角，
故答案为：B．
【分析】由于正多边形的每一个外角都相等，故用多边形的外角和除以外角的个数即可求出每一个外角的度数，从而得到∠1的度数.
4．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【分析】
在同一时刻同一地点，阳光下物体影子的方向是一致的，且不同物体的高度和对应影子长度的比值相等，依据这个原理对各个选项进行判断.
5．将方程两边同乘后，可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
将方程两边同乘，得
，
约去分母得得，即变形后为．
故答案为：B.
【分析】由于1-x=-（x-1），故方程两边同时乘以(x-1)，注意左边的整式3要乘以(x-1)不能漏乘，约去分母即可得到答案.
6．汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据正切函数的定义，由∠AOB的正切函数即可求出.
7．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴．
∵是的外角，，
∴．
故答案为：C.
【分析】连接CE，由等边对等角得出∠CEB=∠B=59°，由三角形的内角和定理求出∠ECB=62°，进而由邻补角求出∠DCE=118°，再由等边对等角及三角形内角和定理求出∠D=31°，最后利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出∠AFD的度数.
8．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设跑步的时间为x分钟，则步行时间为(18-x)分钟，跑步路程为210x米，步行路程为90(18-x)米，
根据题意列不等式为．
故答案为：D．
【分析】根据路程=速度×时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可．
9．某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表(单位：次)：
最小值 平均数 中位数 众数 最大值
3 a 6 6 b
根据以上信息，下列分析正确的是(　　)
A．若a=6，则b的最小值为7 B．若a=6，则b的最大值为8
C．若b=9，则a的最大值为6.5 D．若b=9，则a的最小值为6
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：设这6个数排列为3，x1，x2，x3，x4，b，
∵中位数和众数都是6，
∴x2=x3=6，
∴3≤x1≤6，6≤x4≤b，
当a=6时，3+x1+6+6+x4+b=6×6=36，
∴x1+x4+b=21，
若x1=6，则x4+b=15，即x4最大为7，b最小为8，故A错误；
若x1=3最小，则x4+b=18，则x4最小为8，b最大为10，但众数是3或6，不符合题意；
若x1=4最小，则x4+b=17，则x4 最小为7，b最大为10，故B选项错误；
当b=9时，3+x1+6+6+x4+9=24+x1+x4=6a，
当x1=6，x4=9时，a最大为6.5，故C正确；
当x1=3，x4=6时，a最小为5.5，故D错误，
故答案为：C.
【分析】设这6个数排列为3，x1，x2，x3，x4，b，则根据题得到x2=x3=6，3≤x1≤6，6≤x4≤b，然后分为a=6或b=9，确定x1，x4 的值逐项判断解答即可.
10．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）．
下列选项中正确的是（ ）
A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒
C． D． 米
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意可知，AC段小汽车做匀速直线运动，由图象可得，小汽车2秒行驶了60米，
因此米/秒，所以A选项错误；
由图象可得，小汽车从A点行驶到D点一共用时8秒，因此B选项错误；
将和代入位移公式
可得：，
解得，因此C选项错误；
整理可得S与t的函数关系式为：，
当时，汽车停止运动，代入得米
因此，D选项正确.
故答案选：D.
【分析】先通过图象得到AC段的匀速运动速度，可判断A选项；由最高点的横坐标可判断B选项；再将对应坐标及v0=30代入公式求出a的值可判断C选项；最后将t=8代入解析式计算得到n的值，即可判断D选项.
11．因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．如图，是半圆O的直径，，是圆上一点，连接．若，则的长为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵与是所对的圆周角和圆心角，，
∴，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=60°，再利用弧长公式“”计算即可．
13．如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数解析式，
得：，
解得：，
则反比例函数的解析式为：，
∵轴，轴，
∴矩形的面积为|-3|=3.
故答案为：3.
【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数k的几何意义可得S矩形BDOC=|k|可求出答案.
14．甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：如表所示，
甲 乙
一共有种等可能的结果，符合天平平衡的结果有种，
故天平平衡的概率为．
故答案为：.
【分析】利用列表法列举出所有等可能情况数，由表可知一共有4种等可能的结果，符合天平平衡的结果有1种，从而根据概率公式计算即可.
15．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解， ．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：-16.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理得出AB=5a，由线段和差得出AD=2a，结合x1=AD=4可求出a=2，进而再根据线段和差，由x2=-AE=-(AB+BE)=-8a=-16.
16．如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，过点作交于点，设，
∵与是的对角线，
∴点是的中点，
∵恰好经过中点，
∴点与点重合，且点在上，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，且为斜边，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
即的长为．
故答案为：.
【分析】如图，连接交于点O'，过点作交AB于点G，设AG=a，根据平行四边形的对角线互相平分推出点O与点O'重合，且点F在AC上，，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC，根据等腰直角三角形的性质得，由角的构成推出，由二直线平行，内错角相等得出∠AEG=∠EAF=∠BAE=45°，由等角对等边得出，由二直线平行，同旁内角互补得出 ∠ AGE=90°，由等腰直角三角形性质得；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例间两方程可求出a的值，从而得到AF的长，最后由线段和差，可求出OF的长.
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式及单项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化简，最后将a的值代入化简结果计算即可.
18．解方程组：．
【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中两个方程未知数系数的特点，用方程①×2+②可消去y求出x的值，再将x的值代入①方程可求出y的值，从而即可得到方程组的解.
19．如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，，其表面展开图如图2所示．
（1）根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱_______，底面斜边_______．
（2）求直三棱柱的全面积．
【答案】（1）5；5
（2）解：三角形的面积为：，
矩形的长为：，
则矩形的面积为：，
则直三棱柱的全面积为：．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】（1）解：由题可得：，
∵，，
∴，
故答案为：5；5；
【分析】（1）观察图形得出直三棱柱的侧棱BE等于表面展开图中矩形的竖直边长，由图2即可得出BE的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理可算出BC的长；
（2）该直三棱柱的全面积等于两个底面的面积+三个侧面的面积，据此结合图2标注的数据及几何图形面积计算公式列式计算即可.
（1）解：由题可得：，
∵，，
∴，
（2）解：三角形的面积为：，
矩形的长为：，
则矩形的面积为：，
则直三棱柱的全面积为：．
20．小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5 天的跳绳成绩绘制如下折线统计图．
（1）小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗？_______（填“合理”或“不合理”）
（2）根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表：
最高成绩（个） 平均成绩（个） 第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿
小橙 a b
①求a和b的值．
②教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”．
【答案】（1）不合理
（2）解：①由图可知，．
．
②最高成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小橙得1分；
平均成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小鹿得1分；
增长率∶小鹿，小橙，
，
小鹿得2分．
小鹿总得分∶分∶小橙总得分∶1分
，
小鹿会获得“跳绳新星”
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】（1）解：计算两人五天的成绩增长量：
小鹿第1日跳115个，第5日跳161个，总增长量为161-115=46个，
小橙第1日跳120个，第5日跳162个，总增长量为162-120=42个，
因为46＞42，说明小鹿的练习进步幅度更大，因此小橙“自己进步幅度更大”的说法不合理；
故答案为：不合理；
（2）①可从折线统计图中直接读出a的值，再用小橙5日成绩的增长量除以第一日跳的数量可计算小橙第5日成绩相对第1日的增长率b的值；
②结合题干要求，比较计算结果即可得到对应结论.
（1）解：小鹿∶第1日个，第5日个，增长了（个），
小橙∶第1日个，第5日个，增长了（个），
，
小鹿的进步幅度更大，则小橙的说法不合理．
（2）解：①由图可知，．
．
②最高成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小橙得1分；
平均成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小鹿得1分；
增长率∶小鹿，小橙，
，
小鹿得2分．
小鹿总得分∶分∶小橙总得分∶1分
，
小鹿会获得“跳绳新星”．
21．【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）．
【观察发现】
（1）如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）．
【探索应用】
（2）若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长．
【答案】（1） 乙
（2）解：根据题意得：，
解得：，（舍去），
由于新图形是一个中心对称图形，
则．
【知识点】图形的平移；一元二次方程的应用-几何问题；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线，
因此，拼成的新图形是乙；
故答案为：乙；
【分析】（1）根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线，据此判断即可；
（2）易得新图形的长为(12-x)cm，宽为(6-x)cm的矩形，根据新图形的面积列出方程，求出x的值，再利用新图形是一个中心对称图形可得DH的长为CD的长减去横向阴影部分的宽度x后再除以2，据此解答即可.
22．如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E．
（1）求证：．
（2）作于点F，于点G．若，求的值．
【答案】（1）证明：∵为直径，
∴．
∵为直径，与相切于点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，过圆心，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角可知，再根据圆的切线垂直经过切点的半径可得由二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠BED，从而利用“AAS”判断出△ABC∽△BED；
（2）设OB=3x，由全等三角形的对应角相等，对应边相等得∠C=∠D，AB=BE，由等角的同名三角形函数值相等得出，根据正弦函数定义可得AB=BE=4x，由线段和差得出OE=x，再根据勾股定理表示出AC；由垂径定理得出AF=CF，然后根据三角形中位线定理得出OF=AB=2x，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EGO∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例建立方程可求出OG，从而即可求出两线段的比值.
（1）证明：∵为直径，
∴．
∵为直径，与相切于点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，过圆心，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．已知抛物线（a为常数）经过点．
（1）求a的值．
（2）若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值．
（3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围．
【答案】（1）解：将代入抛物线得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，，
抛物线表达式为，
平移后抛物线的解析式为，
将点代入得：
，
解得：或，
，
；
（3）解：如图：∵，
的坐标为，的坐标为，
，，
、，
的长随的长增大而增大，
的长随的增大而增大，
抛物线中，
该抛物线的图象开口向下，
该抛物线的对称轴为，
，
解得：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将代入抛物线y=x2-ax+3即可求出的值；
（2）由（1）得到抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式，然后根据抛物线平移规律“左加右减”求出平移后抛物线的表达式，最后将代入平移后的抛物线表达式求出的值；
（3）根据点的坐标与图形性质得的坐标为，的坐标为，根据两点间的距离公式表示出MN、AP的表达式，进而得到MN的长随m的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出k的值．
（1）解：将代入抛物线得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，，
抛物线表达式为，
平移后抛物线的解析式为，
将点代入得：
，
解得：或，
，
；
（3）解：如图：∵，
的坐标为，的坐标为，
，，
、，
的长随的长增大而增大，
的长随的增大而增大，
抛物线中，
该抛物线的图象开口向下，
该抛物线的对称轴为，
，
解得：．
24．探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，．
【图形认识】
（1）求证：．
【引元关联】
（2）设，求关于的函数表达式．
【特例计算】
（3）如图2，当时，分别求出和的值．
【规律研究】
（4）已知，求的取值范围．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，．
∵，
∴
∴．
（3）解：∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得．
在和中，，
∴，
解得（负值已舍去）．
（4）
解：作于点，
则，，
在和中，
，
∴，
∴．
记，
∵，
∴，
∴或（舍）．
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴．
【知识点】反比例函数图象的对称性；二次函数y=ax²+bx+c的性质；已知余弦值求边长；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出，根据相似三角形的对应边成比例，并结合已知条件即可得证；
（2）由线段和差得AD=1-t，则CF=3t，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADG∽△FCG，根据相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可求解；
（3）根据余弦的定义得出，则，则，得出；在Rt△ABG与Rt△ADG中，利用勾股定理分别表示出AG2，可得方程，解方程即可；
（4）作AH⊥BC于点H，由等腰三角形的三线合一得BH=x，DH=，在Rt△ABH与Rt△ADH中，分别利用勾股定理表示出AH2，从而可得方程，解方程得出，记，根据得出，进而得出，最后根据函数的增减性求得函数值的范围．
1 / 1浙江省温州市鹿城区2025-2026学年下学期5月九年级中考模拟数学试卷
1．元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．智算中心将电力转化为算力并产出，实现更高价值跃升．基于模型实测：度电可生成约个．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（　　）
A． B．
C． D．
5．将方程两边同乘后，可变形为（ ）
A． B．
C． D．
6．汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表(单位：次)：
最小值 平均数 中位数 众数 最大值
3 a 6 6 b
根据以上信息，下列分析正确的是(　　)
A．若a=6，则b的最小值为7 B．若a=6，则b的最大值为8
C．若b=9，则a的最大值为6.5 D．若b=9，则a的最小值为6
10．如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象．
①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C．
②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）．
下列选项中正确的是（ ）
A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒
C． D． 米
11．因式分解： 　 　.
12．如图，是半圆O的直径，，是圆上一点，连接．若，则的长为　 　（结果保留）．
13．如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为　 　．
14．甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为　 　．
15．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解， ．若，则的值为　 　．
16．如图，在中，，，点在边上，连接，以为直角边构造等腰，斜边恰好经过中点，若，则的长为　 　．
17．先化简，再求值：，其中．
18．解方程组：．
19．如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，，其表面展开图如图2所示．
（1）根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱_______，底面斜边_______．
（2）求直三棱柱的全面积．
20．小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5 天的跳绳成绩绘制如下折线统计图．
（1）小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗？_______（填“合理”或“不合理”）
（2）根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表：
最高成绩（个） 平均成绩（个） 第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿
小橙 a b
①求a和b的值．
②教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”．
21．【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）．
【观察发现】
（1）如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）．
【探索应用】
（2）若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长．
22．如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E．
（1）求证：．
（2）作于点F，于点G．若，求的值．
23．已知抛物线（a为常数）经过点．
（1）求a的值．
（2）若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值．
（3）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围．
24．探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，．
【图形认识】
（1）求证：．
【引元关联】
（2）设，求关于的函数表达式．
【特例计算】
（3）如图2，当时，分别求出和的值．
【规律研究】
（4）已知，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、，0不是负数，故此选项不符合要求；
B、，结果为正数，故此选项不符合要求；
C、，同号相乘得正，结果为正数，故此选项不符合要求；
D、 ，异号相乘得负，结果为负数，故此选项符合要求．
故答案为：D．
【分析】由0与任何数相乘都等于0，而0既不是正数也不是负数可判断A选项；由两数相乘同号得正，可判断B、C选项；由异号两数相乘得负可判断D选项.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正五边形的一个外角，
故答案为：B．
【分析】由于正多边形的每一个外角都相等，故用多边形的外角和除以外角的个数即可求出每一个外角的度数，从而得到∠1的度数.
4．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【分析】
在同一时刻同一地点，阳光下物体影子的方向是一致的，且不同物体的高度和对应影子长度的比值相等，依据这个原理对各个选项进行判断.
5．【答案】B
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
将方程两边同乘，得
，
约去分母得得，即变形后为．
故答案为：B.
【分析】由于1-x=-（x-1），故方程两边同时乘以(x-1)，注意左边的整式3要乘以(x-1)不能漏乘，约去分母即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据正切函数的定义，由∠AOB的正切函数即可求出.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴．
∵是的外角，，
∴．
故答案为：C.
【分析】连接CE，由等边对等角得出∠CEB=∠B=59°，由三角形的内角和定理求出∠ECB=62°，进而由邻补角求出∠DCE=118°，再由等边对等角及三角形内角和定理求出∠D=31°，最后利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出∠AFD的度数.
8．【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设跑步的时间为x分钟，则步行时间为(18-x)分钟，跑步路程为210x米，步行路程为90(18-x)米，
根据题意列不等式为．
故答案为：D．
【分析】根据路程=速度×时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可．
9．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：设这6个数排列为3，x1，x2，x3，x4，b，
∵中位数和众数都是6，
∴x2=x3=6，
∴3≤x1≤6，6≤x4≤b，
当a=6时，3+x1+6+6+x4+b=6×6=36，
∴x1+x4+b=21，
若x1=6，则x4+b=15，即x4最大为7，b最小为8，故A错误；
若x1=3最小，则x4+b=18，则x4最小为8，b最大为10，但众数是3或6，不符合题意；
若x1=4最小，则x4+b=17，则x4 最小为7，b最大为10，故B选项错误；
当b=9时，3+x1+6+6+x4+9=24+x1+x4=6a，
当x1=6，x4=9时，a最大为6.5，故C正确；
当x1=3，x4=6时，a最小为5.5，故D错误，
故答案为：C.
【分析】设这6个数排列为3，x1，x2，x3，x4，b，则根据题得到x2=x3=6，3≤x1≤6，6≤x4≤b，然后分为a=6或b=9，确定x1，x4 的值逐项判断解答即可.
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意可知，AC段小汽车做匀速直线运动，由图象可得，小汽车2秒行驶了60米，
因此米/秒，所以A选项错误；
由图象可得，小汽车从A点行驶到D点一共用时8秒，因此B选项错误；
将和代入位移公式
可得：，
解得，因此C选项错误；
整理可得S与t的函数关系式为：，
当时，汽车停止运动，代入得米
因此，D选项正确.
故答案选：D.
【分析】先通过图象得到AC段的匀速运动速度，可判断A选项；由最高点的横坐标可判断B选项；再将对应坐标及v0=30代入公式求出a的值可判断C选项；最后将t=8代入解析式计算得到n的值，即可判断D选项.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵与是所对的圆周角和圆心角，，
∴，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=60°，再利用弧长公式“”计算即可．
13．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数解析式，
得：，
解得：，
则反比例函数的解析式为：，
∵轴，轴，
∴矩形的面积为|-3|=3.
故答案为：3.
【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数k的几何意义可得S矩形BDOC=|k|可求出答案.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：如表所示，
甲 乙
一共有种等可能的结果，符合天平平衡的结果有种，
故天平平衡的概率为．
故答案为：.
【分析】利用列表法列举出所有等可能情况数，由表可知一共有4种等可能的结果，符合天平平衡的结果有1种，从而根据概率公式计算即可.
15．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：-16.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理得出AB=5a，由线段和差得出AD=2a，结合x1=AD=4可求出a=2，进而再根据线段和差，由x2=-AE=-(AB+BE)=-8a=-16.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，过点作交于点，设，
∵与是的对角线，
∴点是的中点，
∵恰好经过中点，
∴点与点重合，且点在上，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，且为斜边，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
即的长为．
故答案为：.
【分析】如图，连接交于点O'，过点作交AB于点G，设AG=a，根据平行四边形的对角线互相平分推出点O与点O'重合，且点F在AC上，，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC，根据等腰直角三角形的性质得，由角的构成推出，由二直线平行，内错角相等得出∠AEG=∠EAF=∠BAE=45°，由等角对等边得出，由二直线平行，同旁内角互补得出 ∠ AGE=90°，由等腰直角三角形性质得；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例间两方程可求出a的值，从而得到AF的长，最后由线段和差，可求出OF的长.
17．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据平方差公式及单项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项化简，最后将a的值代入化简结果计算即可.
18．【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中两个方程未知数系数的特点，用方程①×2+②可消去y求出x的值，再将x的值代入①方程可求出y的值，从而即可得到方程组的解.
19．【答案】（1）5；5
（2）解：三角形的面积为：，
矩形的长为：，
则矩形的面积为：，
则直三棱柱的全面积为：．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】（1）解：由题可得：，
∵，，
∴，
故答案为：5；5；
【分析】（1）观察图形得出直三棱柱的侧棱BE等于表面展开图中矩形的竖直边长，由图2即可得出BE的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理可算出BC的长；
（2）该直三棱柱的全面积等于两个底面的面积+三个侧面的面积，据此结合图2标注的数据及几何图形面积计算公式列式计算即可.
（1）解：由题可得：，
∵，，
∴，
（2）解：三角形的面积为：，
矩形的长为：，
则矩形的面积为：，
则直三棱柱的全面积为：．
20．【答案】（1）不合理
（2）解：①由图可知，．
．
②最高成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小橙得1分；
平均成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小鹿得1分；
增长率∶小鹿，小橙，
，
小鹿得2分．
小鹿总得分∶分∶小橙总得分∶1分
，
小鹿会获得“跳绳新星”
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】（1）解：计算两人五天的成绩增长量：
小鹿第1日跳115个，第5日跳161个，总增长量为161-115=46个，
小橙第1日跳120个，第5日跳162个，总增长量为162-120=42个，
因为46＞42，说明小鹿的练习进步幅度更大，因此小橙“自己进步幅度更大”的说法不合理；
故答案为：不合理；
（2）①可从折线统计图中直接读出a的值，再用小橙5日成绩的增长量除以第一日跳的数量可计算小橙第5日成绩相对第1日的增长率b的值；
②结合题干要求，比较计算结果即可得到对应结论.
（1）解：小鹿∶第1日个，第5日个，增长了（个），
小橙∶第1日个，第5日个，增长了（个），
，
小鹿的进步幅度更大，则小橙的说法不合理．
（2）解：①由图可知，．
．
②最高成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小橙得1分；
平均成绩∶小鹿个，小橙个，
，
小鹿得1分；
增长率∶小鹿，小橙，
，
小鹿得2分．
小鹿总得分∶分∶小橙总得分∶1分
，
小鹿会获得“跳绳新星”．
21．【答案】（1） 乙
（2）解：根据题意得：，
解得：，（舍去），
由于新图形是一个中心对称图形，
则．
【知识点】图形的平移；一元二次方程的应用-几何问题；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线，
因此，拼成的新图形是乙；
故答案为：乙；
【分析】（1）根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线，据此判断即可；
（2）易得新图形的长为(12-x)cm，宽为(6-x)cm的矩形，根据新图形的面积列出方程，求出x的值，再利用新图形是一个中心对称图形可得DH的长为CD的长减去横向阴影部分的宽度x后再除以2，据此解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵为直径，
∴．
∵为直径，与相切于点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，过圆心，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角可知，再根据圆的切线垂直经过切点的半径可得由二直线平行，内错角相等得∠ABC=∠BED，从而利用“AAS”判断出△ABC∽△BED；
（2）设OB=3x，由全等三角形的对应角相等，对应边相等得∠C=∠D，AB=BE，由等角的同名三角形函数值相等得出，根据正弦函数定义可得AB=BE=4x，由线段和差得出OE=x，再根据勾股定理表示出AC；由垂径定理得出AF=CF，然后根据三角形中位线定理得出OF=AB=2x，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EGO∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例建立方程可求出OG，从而即可求出两线段的比值.
（1）证明：∵为直径，
∴．
∵为直径，与相切于点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，过圆心，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：将代入抛物线得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，，
抛物线表达式为，
平移后抛物线的解析式为，
将点代入得：
，
解得：或，
，
；
（3）解：如图：∵，
的坐标为，的坐标为，
，，
、，
的长随的长增大而增大，
的长随的增大而增大，
抛物线中，
该抛物线的图象开口向下，
该抛物线的对称轴为，
，
解得：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将代入抛物线y=x2-ax+3即可求出的值；
（2）由（1）得到抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式，然后根据抛物线平移规律“左加右减”求出平移后抛物线的表达式，最后将代入平移后的抛物线表达式求出的值；
（3）根据点的坐标与图形性质得的坐标为，的坐标为，根据两点间的距离公式表示出MN、AP的表达式，进而得到MN的长随m的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出k的值．
（1）解：将代入抛物线得：，
解得：；
（2）解：由（1）知，，
抛物线表达式为，
平移后抛物线的解析式为，
将点代入得：
，
解得：或，
，
；
（3）解：如图：∵，
的坐标为，的坐标为，
，，
、，
的长随的长增大而增大，
的长随的增大而增大，
抛物线中，
该抛物线的图象开口向下，
该抛物线的对称轴为，
，
解得：．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，．
∵，
∴
∴．
（3）解：∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得．
在和中，，
∴，
解得（负值已舍去）．
（4）
解：作于点，
则，，
在和中，
，
∴，
∴．
记，
∵，
∴，
∴或（舍）．
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴．
【知识点】反比例函数图象的对称性；二次函数y=ax²+bx+c的性质；已知余弦值求边长；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出，根据相似三角形的对应边成比例，并结合已知条件即可得证；
（2）由线段和差得AD=1-t，则CF=3t，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△ADG∽△FCG，根据相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可求解；
（3）根据余弦的定义得出，则，则，得出；在Rt△ABG与Rt△ADG中，利用勾股定理分别表示出AG2，可得方程，解方程即可；
（4）作AH⊥BC于点H，由等腰三角形的三线合一得BH=x，DH=，在Rt△ABH与Rt△ADH中，分别利用勾股定理表示出AH2，从而可得方程，解方程得出，记，根据得出，进而得出，最后根据函数的增减性求得函数值的范围．
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