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2026年天津市南开区九年级中考模拟数学学科试卷
1．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】在平面内，将一个图形绕某个点旋转，若旋转后得到的图形能和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形．本题只需依据这个定义，逐个判断选项即可得到结论.
2．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
【分析】根据有理数的乘法逐项进行判断即可求出答案.
3．福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量约为80000余吨．数据80000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据80000用科学记数法表示为．
故答案为：C.【分析】科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
4．如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是
故答案为：A．
【分析】根据几何体主视图的概念，主视图就是从正面观察几何体得到的图形，据此判断即可.
5．估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴的值在6和7之间．
故答案为：C.
【分析】根据，再由不等式的基本性质，即可得到的取值范围.
6．计算的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：．故答案为：D.
【分析】由特殊锐角的三角函数值进行求解，根据角的正弦值与余弦值，将对应数值代入算式计算，就可以得出最终结果.
7．计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式对原式的分母进行因式分解，通过通分对分式化简，即可得到最终结果．
8．，，都在反比例函数的图象上，且，则，和的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵ 反比例函数为，
∴，
∴ 反比例函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴ 点A、B在第四象限，点C在第二象限，
∴，，，
又∵ 第四象限内，
∴，
综上可得．
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数比例系数的符号，判断出函数图象所在的象限，再结合三个点纵坐标的大小，判断出每个点所在的象限，最后利用反比例函数的增减性比较横坐标的大小即可得到结论．
9．某学校九年级学生去距学校的中国人民抗日纪念馆参观．一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍；设大巴的速度为．则根据题意可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为，
大巴行驶全程的时间为，中巴行驶全程的时间为，
∵大巴先出发，两车同时到达，
∴列方程得．
故答案为：B.
【分析】通过两车的出发时间差和同时到达的条件得到时间的等量关系，按照“大巴行驶全程的时间减去大巴早出发的时间等于中巴行驶全程的时间”这一关系，即可列出对应的方程.
10．如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
由旋转可知，，
为等边三角形，
，
在正方形中，，
则，解得．
故答案为：C.
【分析】通过连接辅助线，结合旋转的性质即可推出为等边三角形，得到正方形对角线的长度，再利用勾股定理即可计算出正方形的边长．
11．如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图：
①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q；
②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题可知，设交于，
，
是的角平分线，
，又，
，
，
是的垂直平分线，
，
又，，，
，
则的周长．
故答案为：A.
【分析】根据题意可得，设BD与CE的交点为O，可证得，由此可以推出，说明BD是CE的垂直平分线，因此可得，最后结合边的数量关系就可以计算出所求周长.
12．如图，在平面直角坐标系中，原点，点A，点B均在x轴上．点C在y轴上，直线的解析式，直线的解析式．动点P从点A出发，沿着线段，线段，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点M，作于点N．若设P点运动时间为．有下列结论：
①当时，；
②四边形的面积的最大值为2；
③t有两个不同的值满足四边形的面积为，
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题可知，，
则，故为等腰直角三角形，
，，
，又，，
四边形为矩形，
①当时，，又，，
，又四边形为矩形，
，故①正确；
②当时，在上，，则，
，
，
当时，四边形的面积的最大，最大值为；
当时，在上，，
又，
，
，
当时，四边形的面积的最大，最大值为；
综上，四边形的面积的最大值为2，故②正确；
③当时，，
即，解得或（舍去），
当时，，
解得或（舍去），
综上，t有两个不同的值满足四边形的面积为，故③正确．
故答案为：D.
【分析】先计算三角形△OAC和△OBC的各相关边长，可以推出四边形CMPN是矩形。对于结论①：当运动时间时，可得AP的长度为1，求解直角三角形△AMP就能得到MP的长度，进一步就可以推导出CN的长度，以此验证结论是否成立；对于结论②：按照和两种不同情况，分别得到CM和MP的长度表达式，进而整理得到四边形CMPN的面积表达式，再结合二次函数求最值的方法，就能判断这个结论是否正确；对于结论③：需要结合②得到的面积表达式，直接解方程，根据解的情况就能判断该结论是否成立．
13．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同；搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为　 　个．
【答案】2
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球有个，则袋中总球数为个，
摸到红球的概率为，根据题意得：，解得：，
经检验是原方程的解，符合题意，
因此，红球的个数为．
故答案为：2.
【分析】先设出红球的个数为，由此得到袋中球的总个数为，根据题目给出的摸到红球的概率，根据概率公式列出方程，最后解方程即可得到结果．
14．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：原式．故答案为：.
【分析】根据同底数幂相除时，底数不变，指数相减，按照该法则计算即可得到结果.
15．计算的结果为　 　．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式故答案为：1.
【分析】本题可直接运用平方差公式对原式化简，再结合二次根式的平方运算规则计算出最终结果.
16．若一次函数（k为常数，且）经过点，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】因为一次函数的图象经过点，
所以，
移项合并同类项得，
系数化为得．
故答案为：
【分析】根据一次函数图象上点的坐标一定满足该一次函数的解析式，将题目给出的点坐标代入解析式，就能解出未知参数的值．
17．如图，已知，，E为边上一点，，垂足为点D，D恰为中点，点F为线段上一点，且．
（1）若，则的大小为　 　（度）；
（2）若，，则线段的长为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），D恰为中点，
，
，
，又，
，
；
故答案为：69.
（2）过作，
由（1）可知，
为等腰三角形，
平分，则，
设，则，
又，
，
，，
又，D恰为中点，
，
为的中位线，
，则，
又，
，
在中，，即，
解得（负值已舍去），
，，
．
故答案为：.
【分析】（1）先证明，根据全等三角形的性质可以得到，进一步推导即可得到，之后即可计算求出的度数；
（2）过点分别作，设，接下来证明，根据全等性质得到与关于的表达式，再在中利用勾股定理建立方程解出的值，最后即可求出线段的长度.
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C，D均为格点．
（1）线段的长为　 　；
（2）圆过格点A，B，且所对的圆心角是．点P为此圆上一点，使得为等边三角形，点Q为线段上一点，满足为此圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
【答案】；解：如图，P、Q即为所求，根据网格取AB中点为E，再取如图格点R，连接ER与圆的交点即为点P；
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；尺规作图-垂直平分线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
（2）如图所示：
根据网格取中点为，再取如图格点，连接与圆的交点即为点；
理由：，
，又是中点，
在的垂直平分线上，则，
又所对的圆心角是，
，则为等边三角形；
通过连线得到中点，同理可作点，使得，
连接，与的交点即为圆心，连接分别交于点，
连接，并延长相交于点，再连接，延长与的交点即为点，
理由：垂直平分，
圆心在上，又，
为直径，
为圆心，
分别垂直平分，则分别为中点，
，又，
，，
垂直平分，
，
为等边三角形，
，
又，
，
，
，
又为半径，
为的切线，
即为此圆的切线．
【分析】（1）根据勾股定理，计算出指定线段的边长即可完成求解；
（2）借助网格作出线段的垂直平分线，该垂直平分线上满足要求的点即为点；先构造出等边三角形，连接后延长，与线段的交点就是所求的点.
19．解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①得__________________；
（2）解不等式②，得______________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______________________．
【答案】（1）
（2）
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式①得；
故答案为：；
（2）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式②得；
故答案为：；
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤进行计算，就能得到对应不等式的结果；
（2）同样遵循解一元一次不等式的步骤计算，即可得到该不等式的结果；
（3）把求得的两个解集对应标注在数轴上即可；
（4）结合数轴上两个解集的重叠部分，即可写出这个不等式组的最终解集.
（1）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式①得；
（2）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式②得；
（3）略
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为．
20．某校开展“中国诗词”竞赛，为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩（单位：分）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为______________，图①中的值为______________，统计的这组学生成绩数据的众数和中位数分别是______________和______________；
（2）求统计的这组学生成绩数据的平均数；
（3）该校共有名学生参加竞赛，估计成绩为分的学生人数．
【答案】（1）；；；；
（2）解：这组数据的平均数为：；
（3）解：∵样本中分占比为，∴全校人中分的人数估计有：（人）．
答：成绩为分的学生人数估计有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图②可知得分人数为人，结合图①中分占比，
∴可得总样本数为：（人），
∵得分人数为人，
∴其占比为：，
∴，
∵出现频次最高的是分（人），
∴众数为，
∵总人数，中位数为第与第名成绩的平均值，
累计至分共人，第名为分，
∴中位数为：；
故答案为：；；；；
【分析】（1）从统计图中获取样本总人数，以及不同得分对应的人数占比，再结合众数和中位数的定义，就能计算得到对应结果.
（2）根据平均数的计算方法，先求出所有样本的总得分，再将总得分除以样本总人数，就可以得到平均分的结果.
（3）先算出样本里得4分的人数占整体的比例，再用全校参加活动的总人数乘这个占比，就能估计出全校得4分的人数.
（1）解：由图②可知得分人数为人，结合图①中分占比，
∴可得总样本数为：（人），
∵得分人数为人，
∴其占比为：，
∴，
∵出现频次最高的是分（人），
∴众数为，
∵总人数，中位数为第与第名成绩的平均值，
累计至分共人，第名为分，
∴中位数为：；
故答案为：；；；；
（2）解：这组数据的平均数为：；
（3）解：∵样本中分占比为，
∴全校人中分的人数估计有：（人）．
答：成绩为分的学生人数估计有人．
21．内接于，过点C作的切线，连接，与相交于点E．若，．
（1）如图1，若，求和的大小；
（2）如图2，的延长线与相交于点F，若， ，求的半径和线段的长．
【答案】（1）解：，
，
又，
，则，
，，
，
是的切线，
，，
；
（2）解：由（1）知，，又，，
则四边形为矩形，且垂直平分，
，，，
连接，设的半径为，
在中，，
在中，，，
即，解得（负值已舍去），
∴，
则的半径为，线段的长为．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可以推出，由此计算出的度数；再结合切线的性质可知，进而即可推出的度数.
（2）根据已知条件可判定四边形是矩形，根据矩形的性质可得；设的半径为，分别在和中，结合勾股定理建立方程求解出半径，即可进一步计算得到的长度.
（1）解：，
，
又，
，则，
，，
，
是的切线，
，，
；
（2）解：由（1）知，，又，
，
则四边形为矩形，且垂直平分，
，，，
连接，设的半径为，
在中，，
在中，，，
即，解得（负值已舍去），
∴，
则的半径为，线段的长为．
22．如图，某水产养殖户开发一个三角形的养殖区域，，，三点的位置如图所示．已知，，．
（1）求和的长(结果取整数)；
（2）养殖户计划在的边上选取一点，修建垂钓栈道，测得，求栈道的长(结果取整数)．参考数据：，，，．
【答案】（1）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴
答：栈道的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，可以结合含°角、含°角的直角三角形的性质，计算得出需要的边长结果.
（2）结合第(1)问的推导，可以得到，已知，由此可以推出，最后求解直角三角形可以得到最终答案.
（1）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
答：栈道的长约为．
23．已知宿舍、公园、补给站在同一条直线上，公园距离宿舍，补给站距离宿舍．骑行队的小军从宿舍出发，匀速骑行到达公园；他在公园休息后，他匀速骑行到补给站；小军在补给站用就餐，然后他返回宿舍；在回宿舍的途中，他匀速骑行后减速，以新的速度继续匀速骑行回到宿舍．下图中x（单位：h）表示小军离开宿舍的时间，y（单位：）表示小军离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小军离宿舍的距离与他离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题
（1）填表：
小军离开宿舍的时间（单位：h） 1 1.5 2 4.5 6.5
小军离宿舍的距离y（单位：） 　 30 　 60 　
（2）填空：
①小军从补给站返回宿舍的途中，减速前匀速骑行的速度为______________，减速后匀速骑行的速度为______________；
②当时，请直接写出y关于x的函数解析式；
（3）若小军刚刚到达补给站时，骑行队的小红恰好从补给站出发以的速度匀速骑行直接返回宿舍．那么小红从补给站回到宿舍的途中，直接写出小红与小军之间距离的最大值．
【答案】（1），，
（2）①，；②
（3）
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：当时，过，则，
时，；
由图可知时，，时，；
故答案为：，，；
（2）解：①减速前匀速骑行的速度为，
减速后匀速骑行的速度为；
②由（1）知当时，，
当时，，
当时，设此时解析式为，过，
，解得，则，
综上，；
①故答案为：22.5；10；.
（3）解：设小红返回宿舍中解析式为，又过，
，解得，则
当时，小红与小军之间距离最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间距离为，
当时，小红与小军之间距离最大，最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间的距离为，
综上，小红与小军之间距离的最大值为．
故答案为：7.5.
【分析】（1）从给定图像中获取对应的函数解析式，代入即可求出对应的值；当和时，可以直接从图像中读出对应的值；
（2）①平均速度可以通过总路程除以总时间计算得到；②利用待定系数法就可以求出对应函数的解析式；
（3）将问题分为三种情况分别讨论：、和，分别计算甲、乙两车相距的路程即可.
（1）解：当时，过，则，
时，；
由图可知时，，时，；
（2）解：①减速前匀速骑行的速度为，
减速后匀速骑行的速度为；
②由（1）知当时，，
当时，，
当时，设此时解析式为，过，
，解得，则，
综上，；
（3）解：设小红返回宿舍中解析式为，又过，
，解得，则
当时，小红与小军之间距离最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间距离为，
当时，小红与小军之间距离最大，最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间的距离为，
综上，小红与小军之间距离的最大值为．
24．将四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，，，．
（1）填空：如图1，点C的坐标为______________，点B的坐标为______________；
（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为．设．
①如图2，若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与四边形重叠部分为五边形时，与相交于点D，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；
②若设折叠后图形与四边形重叠部分的面积为S，当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），
（2）解：①当点与点重合时，如图
由（1）可得，，
由折叠得，
，
，
即，
当点与点重合时，如图，
由折叠得，，
直线过点，此时，，
当时，重叠部分为五边形，
当时，如图，
过点作于点，
由折叠得，，，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
；
②或时
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图
，，
，，
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
∴；
故答案为：；.
（2）②第1种情况：当时，如图，
重叠部分为直角三角形，且S随着t的增大而增大，
由①可知，，
当时，，不符合题意；
第2种情况：当时，如图，
重叠部分为直角梯形，有，，，
，
由，得
当时，随的增大而增大，
当时，，
解得，
当时，，
即当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第3种情况：当时，如图，
重叠部分为五边形，有
，，，，，
，
，该抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
解得，，
当时，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第4种情况：当时，如图，
重叠部分为三角形，有，，，
，
，
，该抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取得最小值为，
当时，，
当时，，
解得，（舍去），
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
第5种情况：当时，四边形与四边形没有重叠，，不符合题意．
综上所述，当或时，．
【分析】
（1）过点作轴，垂足为点，再过点作轴，垂足为点。由此可以推出四边形是矩形，计算可得，，根据矩形对边相等的性质，得到，。接下来可算出，进而得到，因此点B的坐标为，根据得到的B、C坐标即可解答.
（2）①先求出当平移后的点与点重合时，可得；当平移后的圆心与点重合时，可得.因此当时，半圆和原图形的重叠部分为五边形。过平移后的点作，垂足为点，结合图形性质可以推导出，并且得到线段关系，进而计算可得。再结合角度关系可得，计算得，因此；
②接下来我们按照平移的不同阶段分类讨论：一共分为5种情况：第一种：当时；第二种：当时；第三种：当时；第四种：当时；第五种：当时，对每种情况逐一分析计算就能得到最终结果.
（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图
，，
，，
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
∴；
（2）解：①当点与点重合时，如图
由（1）可得，，
由折叠得，
，
，
即，
当点与点重合时，如图，
由折叠得，，
直线过点，此时，，
当时，重叠部分为五边形，
当时，如图，
过点作于点，
由折叠得，，，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
；
②第1种情况：当时，如图，
重叠部分为直角三角形，且S随着t的增大而增大，
由①可知，，
当时，，不符合题意；
第2种情况：当时，如图，
重叠部分为直角梯形，有，，，
，
由，得
当时，随的增大而增大，
当时，，
解得，
当时，，
即当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第3种情况：当时，如图，
重叠部分为五边形，有
，，，，，
，
，该抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
解得，，
当时，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第4种情况：当时，如图，
重叠部分为三角形，有，，，
，
，
，该抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取得最小值为，
当时，，
当时，，
解得，（舍去），
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
第5种情况：当时，四边形与四边形没有重叠，，不符合题意．
综上所述，当或时，．
25．已知抛物线（a，b，c为常数，，）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），点C为抛物线与y轴的交点．
（1）当，，时，直接写出点A，点B，点C的坐标；
（2）若点，点，其中，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点E为中点，点F为抛物线上一点，且轴．点．
①若，且，求a的值和线段的长；
②点M在y轴上，点P在抛物线对称轴上，若以为边的四边形是平行四边形，当取得最大值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点P的坐标．
【答案】（1）
（2）解：①过作轴，交轴于，
又旋转可知，又，
，又，
，
，
，则，
①，，则，
，，解得，
，
时，，则，
；
②，
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：，，，则，
令，即，解得或，
令，则，
；
解：（2）②四边形是平行四边形，
且，
，即，，
，又过，
，解得，
，
，点P的横坐标为
又，
，则，
又在对称轴上，
，，
则当共线时，取得最大值为，
，解得，
∴，，
令，则，，
∵，
∴直线的解析式为，
∵点P在直线上，且横坐标为，
当时，，
∴．
故答案为：，.
【分析】（1） 分别令纵坐标、横坐标，代入对应的解析式求解方程，就能得到所求点的坐标；
（2）过点作轴，垂线与轴交于点，可以证明，进而推导出点坐标，。①将，代入相关表达式，得到抛物线的解析式，再求出点的坐标，进而计算线段的长度；②因为四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，结合抛物线的对称性可以得到，由，可得，解等式得到的值，即可得到抛物线解析式和点的坐标．
（1）解：，，，则，
令，即，解得或，
令，则，
；
（2）过作轴，交轴于，
又旋转可知，又，
，又，
，
，
，则，
①，，则，
，，解得，
，
时，，则，
；
②四边形是平行四边形，
且，
，即，，
，又过，
，解得，
，
，点P的横坐标为
又，
，则，
又在对称轴上，
，，
则当共线时，取得最大值为，
，解得，
∴，，
令，则，，
∵，
∴直线的解析式为，
∵点P在直线上，且横坐标为，
当时，，
∴．
1 / 12026年天津市南开区九年级中考模拟数学学科试卷
1．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
3．福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量约为80000余吨．数据80000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．计算的值为（　　）
A． B．1 C． D．
7．计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
8．，，都在反比例函数的图象上，且，则，和的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．某学校九年级学生去距学校的中国人民抗日纪念馆参观．一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍；设大巴的速度为．则根据题意可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（　　）
A． B．2 C． D．
11．如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图：
①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q；
②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．如图，在平面直角坐标系中，原点，点A，点B均在x轴上．点C在y轴上，直线的解析式，直线的解析式．动点P从点A出发，沿着线段，线段，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点P作于点M，作于点N．若设P点运动时间为．有下列结论：
①当时，；
②四边形的面积的最大值为2；
③t有两个不同的值满足四边形的面积为，
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同；搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为　 　个．
14．计算的结果为　 　．
15．计算的结果为　 　．
16．若一次函数（k为常数，且）经过点，则k的值为　 　．
17．如图，已知，，E为边上一点，，垂足为点D，D恰为中点，点F为线段上一点，且．
（1）若，则的大小为　 　（度）；
（2）若，，则线段的长为　 　．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C，D均为格点．
（1）线段的长为　 　；
（2）圆过格点A，B，且所对的圆心角是．点P为此圆上一点，使得为等边三角形，点Q为线段上一点，满足为此圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
19．解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①得__________________；
（2）解不等式②，得______________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为______________________．
20．某校开展“中国诗词”竞赛，为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩（单位：分）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为______________，图①中的值为______________，统计的这组学生成绩数据的众数和中位数分别是______________和______________；
（2）求统计的这组学生成绩数据的平均数；
（3）该校共有名学生参加竞赛，估计成绩为分的学生人数．
21．内接于，过点C作的切线，连接，与相交于点E．若，．
（1）如图1，若，求和的大小；
（2）如图2，的延长线与相交于点F，若， ，求的半径和线段的长．
22．如图，某水产养殖户开发一个三角形的养殖区域，，，三点的位置如图所示．已知，，．
（1）求和的长(结果取整数)；
（2）养殖户计划在的边上选取一点，修建垂钓栈道，测得，求栈道的长(结果取整数)．参考数据：，，，．
23．已知宿舍、公园、补给站在同一条直线上，公园距离宿舍，补给站距离宿舍．骑行队的小军从宿舍出发，匀速骑行到达公园；他在公园休息后，他匀速骑行到补给站；小军在补给站用就餐，然后他返回宿舍；在回宿舍的途中，他匀速骑行后减速，以新的速度继续匀速骑行回到宿舍．下图中x（单位：h）表示小军离开宿舍的时间，y（单位：）表示小军离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小军离宿舍的距离与他离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题
（1）填表：
小军离开宿舍的时间（单位：h） 1 1.5 2 4.5 6.5
小军离宿舍的距离y（单位：） 　 30 　 60 　
（2）填空：
①小军从补给站返回宿舍的途中，减速前匀速骑行的速度为______________，减速后匀速骑行的速度为______________；
②当时，请直接写出y关于x的函数解析式；
（3）若小军刚刚到达补给站时，骑行队的小红恰好从补给站出发以的速度匀速骑行直接返回宿舍．那么小红从补给站回到宿舍的途中，直接写出小红与小军之间距离的最大值．
24．将四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，，，．
（1）填空：如图1，点C的坐标为______________，点B的坐标为______________；
（2）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为．设．
①如图2，若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与四边形重叠部分为五边形时，与相交于点D，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；
②若设折叠后图形与四边形重叠部分的面积为S，当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（a，b，c为常数，，）与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），点C为抛物线与y轴的交点．
（1）当，，时，直接写出点A，点B，点C的坐标；
（2）若点，点，其中，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，点E为中点，点F为抛物线上一点，且轴．点．
①若，且，求a的值和线段的长；
②点M在y轴上，点P在抛物线对称轴上，若以为边的四边形是平行四边形，当取得最大值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】在平面内，将一个图形绕某个点旋转，若旋转后得到的图形能和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形．本题只需依据这个定义，逐个判断选项即可得到结论.
2．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
【分析】根据有理数的乘法逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据80000用科学记数法表示为．
故答案为：C.【分析】科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1，据此解答即可.
4．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是
故答案为：A．
【分析】根据几何体主视图的概念，主视图就是从正面观察几何体得到的图形，据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴的值在6和7之间．
故答案为：C.
【分析】根据，再由不等式的基本性质，即可得到的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：．故答案为：D.
【分析】由特殊锐角的三角函数值进行求解，根据角的正弦值与余弦值，将对应数值代入算式计算，就可以得出最终结果.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式对原式的分母进行因式分解，通过通分对分式化简，即可得到最终结果．
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】∵ 反比例函数为，
∴，
∴ 反比例函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴ 点A、B在第四象限，点C在第二象限，
∴，，，
又∵ 第四象限内，
∴，
综上可得．
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数比例系数的符号，判断出函数图象所在的象限，再结合三个点纵坐标的大小，判断出每个点所在的象限，最后利用反比例函数的增减性比较横坐标的大小即可得到结论．
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为，
大巴行驶全程的时间为，中巴行驶全程的时间为，
∵大巴先出发，两车同时到达，
∴列方程得．
故答案为：B.
【分析】通过两车的出发时间差和同时到达的条件得到时间的等量关系，按照“大巴行驶全程的时间减去大巴早出发的时间等于中巴行驶全程的时间”这一关系，即可列出对应的方程.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，
由旋转可知，，
为等边三角形，
，
在正方形中，，
则，解得．
故答案为：C.
【分析】通过连接辅助线，结合旋转的性质即可推出为等边三角形，得到正方形对角线的长度，再利用勾股定理即可计算出正方形的边长．
11．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题可知，设交于，
，
是的角平分线，
，又，
，
，
是的垂直平分线，
，
又，，，
，
则的周长．
故答案为：A.
【分析】根据题意可得，设BD与CE的交点为O，可证得，由此可以推出，说明BD是CE的垂直平分线，因此可得，最后结合边的数量关系就可以计算出所求周长.
12．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题可知，，
则，故为等腰直角三角形，
，，
，又，，
四边形为矩形，
①当时，，又，，
，又四边形为矩形，
，故①正确；
②当时，在上，，则，
，
，
当时，四边形的面积的最大，最大值为；
当时，在上，，
又，
，
，
当时，四边形的面积的最大，最大值为；
综上，四边形的面积的最大值为2，故②正确；
③当时，，
即，解得或（舍去），
当时，，
解得或（舍去），
综上，t有两个不同的值满足四边形的面积为，故③正确．
故答案为：D.
【分析】先计算三角形△OAC和△OBC的各相关边长，可以推出四边形CMPN是矩形。对于结论①：当运动时间时，可得AP的长度为1，求解直角三角形△AMP就能得到MP的长度，进一步就可以推导出CN的长度，以此验证结论是否成立；对于结论②：按照和两种不同情况，分别得到CM和MP的长度表达式，进而整理得到四边形CMPN的面积表达式，再结合二次函数求最值的方法，就能判断这个结论是否正确；对于结论③：需要结合②得到的面积表达式，直接解方程，根据解的情况就能判断该结论是否成立．
13．【答案】2
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球有个，则袋中总球数为个，
摸到红球的概率为，根据题意得：，解得：，
经检验是原方程的解，符合题意，
因此，红球的个数为．
故答案为：2.
【分析】先设出红球的个数为，由此得到袋中球的总个数为，根据题目给出的摸到红球的概率，根据概率公式列出方程，最后解方程即可得到结果．
14．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：原式．故答案为：.
【分析】根据同底数幂相除时，底数不变，指数相减，按照该法则计算即可得到结果.
15．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式故答案为：1.
【分析】本题可直接运用平方差公式对原式化简，再结合二次根式的平方运算规则计算出最终结果.
16．【答案】
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】因为一次函数的图象经过点，
所以，
移项合并同类项得，
系数化为得．
故答案为：
【分析】根据一次函数图象上点的坐标一定满足该一次函数的解析式，将题目给出的点坐标代入解析式，就能解出未知参数的值．
17．【答案】；
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），D恰为中点，
，
，
，又，
，
；
故答案为：69.
（2）过作，
由（1）可知，
为等腰三角形，
平分，则，
设，则，
又，
，
，，
又，D恰为中点，
，
为的中位线，
，则，
又，
，
在中，，即，
解得（负值已舍去），
，，
．
故答案为：.
【分析】（1）先证明，根据全等三角形的性质可以得到，进一步推导即可得到，之后即可计算求出的度数；
（2）过点分别作，设，接下来证明，根据全等性质得到与关于的表达式，再在中利用勾股定理建立方程解出的值，最后即可求出线段的长度.
18．【答案】；解：如图，P、Q即为所求，根据网格取AB中点为E，再取如图格点R，连接ER与圆的交点即为点P；
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；尺规作图-垂直平分线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
（2）如图所示：
根据网格取中点为，再取如图格点，连接与圆的交点即为点；
理由：，
，又是中点，
在的垂直平分线上，则，
又所对的圆心角是，
，则为等边三角形；
通过连线得到中点，同理可作点，使得，
连接，与的交点即为圆心，连接分别交于点，
连接，并延长相交于点，再连接，延长与的交点即为点，
理由：垂直平分，
圆心在上，又，
为直径，
为圆心，
分别垂直平分，则分别为中点，
，又，
，，
垂直平分，
，
为等边三角形，
，
又，
，
，
，
又为半径，
为的切线，
即为此圆的切线．
【分析】（1）根据勾股定理，计算出指定线段的边长即可完成求解；
（2）借助网格作出线段的垂直平分线，该垂直平分线上满足要求的点即为点；先构造出等边三角形，连接后延长，与线段的交点就是所求的点.
19．【答案】（1）
（2）
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式①得；
故答案为：；
（2）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式②得；
故答案为：；
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤进行计算，就能得到对应不等式的结果；
（2）同样遵循解一元一次不等式的步骤计算，即可得到该不等式的结果；
（3）把求得的两个解集对应标注在数轴上即可；
（4）结合数轴上两个解集的重叠部分，即可写出这个不等式组的最终解集.
（1）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式①得；
（2）解：去括号可得：，
移项并合并同类项可得：，
解得：，
即解不等式②得；
（3）略
（4）解：由数轴可得原不等式组的解集为．
20．【答案】（1）；；；；
（2）解：这组数据的平均数为：；
（3）解：∵样本中分占比为，∴全校人中分的人数估计有：（人）．
答：成绩为分的学生人数估计有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图②可知得分人数为人，结合图①中分占比，
∴可得总样本数为：（人），
∵得分人数为人，
∴其占比为：，
∴，
∵出现频次最高的是分（人），
∴众数为，
∵总人数，中位数为第与第名成绩的平均值，
累计至分共人，第名为分，
∴中位数为：；
故答案为：；；；；
【分析】（1）从统计图中获取样本总人数，以及不同得分对应的人数占比，再结合众数和中位数的定义，就能计算得到对应结果.
（2）根据平均数的计算方法，先求出所有样本的总得分，再将总得分除以样本总人数，就可以得到平均分的结果.
（3）先算出样本里得4分的人数占整体的比例，再用全校参加活动的总人数乘这个占比，就能估计出全校得4分的人数.
（1）解：由图②可知得分人数为人，结合图①中分占比，
∴可得总样本数为：（人），
∵得分人数为人，
∴其占比为：，
∴，
∵出现频次最高的是分（人），
∴众数为，
∵总人数，中位数为第与第名成绩的平均值，
累计至分共人，第名为分，
∴中位数为：；
故答案为：；；；；
（2）解：这组数据的平均数为：；
（3）解：∵样本中分占比为，
∴全校人中分的人数估计有：（人）．
答：成绩为分的学生人数估计有人．
21．【答案】（1）解：，
，
又，
，则，
，，
，
是的切线，
，，
；
（2）解：由（1）知，，又，，
则四边形为矩形，且垂直平分，
，，，
连接，设的半径为，
在中，，
在中，，，
即，解得（负值已舍去），
∴，
则的半径为，线段的长为．
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可以推出，由此计算出的度数；再结合切线的性质可知，进而即可推出的度数.
（2）根据已知条件可判定四边形是矩形，根据矩形的性质可得；设的半径为，分别在和中，结合勾股定理建立方程求解出半径，即可进一步计算得到的长度.
（1）解：，
，
又，
，则，
，，
，
是的切线，
，，
；
（2）解：由（1）知，，又，
，
则四边形为矩形，且垂直平分，
，，，
连接，设的半径为，
在中，，
在中，，，
即，解得（负值已舍去），
∴，
则的半径为，线段的长为．
22．【答案】（1）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴
答：栈道的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，可以结合含°角、含°角的直角三角形的性质，计算得出需要的边长结果.
（2）结合第(1)问的推导，可以得到，已知，由此可以推出，最后求解直角三角形可以得到最终答案.
（1）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
答：栈道的长约为．
23．【答案】（1），，
（2）①，；②
（3）
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：当时，过，则，
时，；
由图可知时，，时，；
故答案为：，，；
（2）解：①减速前匀速骑行的速度为，
减速后匀速骑行的速度为；
②由（1）知当时，，
当时，，
当时，设此时解析式为，过，
，解得，则，
综上，；
①故答案为：22.5；10；.
（3）解：设小红返回宿舍中解析式为，又过，
，解得，则
当时，小红与小军之间距离最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间距离为，
当时，小红与小军之间距离最大，最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间的距离为，
综上，小红与小军之间距离的最大值为．
故答案为：7.5.
【分析】（1）从给定图像中获取对应的函数解析式，代入即可求出对应的值；当和时，可以直接从图像中读出对应的值；
（2）①平均速度可以通过总路程除以总时间计算得到；②利用待定系数法就可以求出对应函数的解析式；
（3）将问题分为三种情况分别讨论：、和，分别计算甲、乙两车相距的路程即可.
（1）解：当时，过，则，
时，；
由图可知时，，时，；
（2）解：①减速前匀速骑行的速度为，
减速后匀速骑行的速度为；
②由（1）知当时，，
当时，，
当时，设此时解析式为，过，
，解得，则，
综上，；
（3）解：设小红返回宿舍中解析式为，又过，
，解得，则
当时，小红与小军之间距离最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间距离为，
当时，小红与小军之间距离最大，最大值为，
当时，小军行驶的解析式为，
则小红与小军之间的距离为，
综上，小红与小军之间距离的最大值为．
24．【答案】（1），
（2）解：①当点与点重合时，如图
由（1）可得，，
由折叠得，
，
，
即，
当点与点重合时，如图，
由折叠得，，
直线过点，此时，，
当时，重叠部分为五边形，
当时，如图，
过点作于点，
由折叠得，，，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
；
②或时
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图
，，
，，
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
∴；
故答案为：；.
（2）②第1种情况：当时，如图，
重叠部分为直角三角形，且S随着t的增大而增大，
由①可知，，
当时，，不符合题意；
第2种情况：当时，如图，
重叠部分为直角梯形，有，，，
，
由，得
当时，随的增大而增大，
当时，，
解得，
当时，，
即当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第3种情况：当时，如图，
重叠部分为五边形，有
，，，，，
，
，该抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
解得，，
当时，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第4种情况：当时，如图，
重叠部分为三角形，有，，，
，
，
，该抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取得最小值为，
当时，，
当时，，
解得，（舍去），
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
第5种情况：当时，四边形与四边形没有重叠，，不符合题意．
综上所述，当或时，．
【分析】
（1）过点作轴，垂足为点，再过点作轴，垂足为点。由此可以推出四边形是矩形，计算可得，，根据矩形对边相等的性质，得到，。接下来可算出，进而得到，因此点B的坐标为，根据得到的B、C坐标即可解答.
（2）①先求出当平移后的点与点重合时，可得；当平移后的圆心与点重合时，可得.因此当时，半圆和原图形的重叠部分为五边形。过平移后的点作，垂足为点，结合图形性质可以推导出，并且得到线段关系，进而计算可得。再结合角度关系可得，计算得，因此；
②接下来我们按照平移的不同阶段分类讨论：一共分为5种情况：第一种：当时；第二种：当时；第三种：当时；第四种：当时；第五种：当时，对每种情况逐一分析计算就能得到最终结果.
（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图
，，
，，
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
∴；
（2）解：①当点与点重合时，如图
由（1）可得，，
由折叠得，
，
，
即，
当点与点重合时，如图，
由折叠得，，
直线过点，此时，，
当时，重叠部分为五边形，
当时，如图，
过点作于点，
由折叠得，，，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
；
②第1种情况：当时，如图，
重叠部分为直角三角形，且S随着t的增大而增大，
由①可知，，
当时，，不符合题意；
第2种情况：当时，如图，
重叠部分为直角梯形，有，，，
，
由，得
当时，随的增大而增大，
当时，，
解得，
当时，，
即当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第3种情况：当时，如图，
重叠部分为五边形，有
，，，，，
，
，该抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
解得，，
当时，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
第4种情况：当时，如图，
重叠部分为三角形，有，，，
，
，
，该抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，取得最小值为，
当时，，
当时，，
解得，（舍去），
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意；
第5种情况：当时，四边形与四边形没有重叠，，不符合题意．
综上所述，当或时，．
25．【答案】（1）
（2）解：①过作轴，交轴于，
又旋转可知，又，
，又，
，
，
，则，
①，，则，
，，解得，
，
时，，则，
；
②，
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：，，，则，
令，即，解得或，
令，则，
；
解：（2）②四边形是平行四边形，
且，
，即，，
，又过，
，解得，
，
，点P的横坐标为
又，
，则，
又在对称轴上，
，，
则当共线时，取得最大值为，
，解得，
∴，，
令，则，，
∵，
∴直线的解析式为，
∵点P在直线上，且横坐标为，
当时，，
∴．
故答案为：，.
【分析】（1） 分别令纵坐标、横坐标，代入对应的解析式求解方程，就能得到所求点的坐标；
（2）过点作轴，垂线与轴交于点，可以证明，进而推导出点坐标，。①将，代入相关表达式，得到抛物线的解析式，再求出点的坐标，进而计算线段的长度；②因为四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，结合抛物线的对称性可以得到，由，可得，解等式得到的值，即可得到抛物线解析式和点的坐标．
（1）解：，，，则，
令，即，解得或，
令，则，
；
（2）过作轴，交轴于，
又旋转可知，又，
，又，
，
，
，则，
①，，则，
，，解得，
，
时，，则，
；
②四边形是平行四边形，
且，
，即，，
，又过，
，解得，
，
，点P的横坐标为
又，
，则，
又在对称轴上，
，，
则当共线时，取得最大值为，
，解得，
∴，，
令，则，，
∵，
∴直线的解析式为，
∵点P在直线上，且横坐标为，
当时，，
∴．
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