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浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2025-2026学年九年级上学期10月数学月考试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个是正确的．
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵|-2|=-(-2)=2，
∴|2|=2
故答案为：A．
【分析】先根据一个负数的绝对值是其相反数化简|-2|得2，再根据一个正数的绝对值是其本身求出2的绝对值.
2．抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为 次。
故答案为：C。
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币只会出现正面朝上与反面朝上两种情况，根据概率的计算方法可知出现正面朝上的概率是0.5，从而即可得出答案。
3．二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
∴
解不等式：
因此，的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式，求解即可得到x的取值范围.
4．把 分解因式，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
=
= ，
故答案为：C．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【分析】
圆的大小是由半径决定的，要确定一个圆的大小，就需要得到这个圆的半径长度。结合垂径定理可以判断，只有第①块残片能够确定出这个圆的半径大小.
6．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴水的最大深度为，
故选：．
【分析】
先过圆心O作OD垂直于AB，垂足为D，OD与圆O交于点E，再连接OA。根据垂径定理，可以计算出AD的长度；已知圆O的直径为，由此可以得到半径OA的长度。之后借助勾股定理算出OD的长度，就可以进一步推导出水的最大深度的结果.
7．二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的部分图象可知，此函数图象的对称轴为x=1，
根据二次函数图象的对称性可得：，
解得：x2=－1．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值即可.
8．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）
A．115° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图.
∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，∴∠B'=∠B=90°，∠BFE=∠EFB'，
∵∠2=40°，
∴∠B'GF=∠2=40°，
∵∠B'GF+∠B'FG=90°，
∴40°+∠B'FG=90°，解得∠GFB'=50°，
∵∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，
∴∠1+∠1﹣50°=180°，
解得：∠1=115°.
故答案为：A．
【分析】先求出∠B'GF，再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠B'FG，再根据∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，求出∠1.
9．如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故③正确；
∵抛物线对称轴是直线，
∴，
∴，故②正确；
当时，，故④正确；
综上，正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【分析】
①观察图象知抛物线的对称轴在y轴右侧，则a、b异号；由抛物线交y轴于正半轴知c>0，则；
②由对称轴为直线得， 即；
③由抛物线与x轴有两个交点，则；
④由于抛物线与x负半轴的交点的横坐标介于和之间，且在对称轴的左侧y随x增大而增大，则当时．
10．二次函数的图象过，两点，其中，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若时，则
B．若时，则
C．若时，则
D．若时，则
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，抛物线与y轴交于点，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，在抛物线上，且，
①当时，则：，即
当时，则：，如图：
∴，
∴，即，
∴，故A选项错误；
当时，则：，如图：
∴，
∴，即，
∴，故B选项符合题意；
②当时，则，即，
当时，则：，如图：
∴，
∴，即，
∴，
当时， 则：，如图：
∴，
∴，即，
∴；
综上，选项A错误，选项B正确；
③当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵m可能大于c也可能小于c，则：或，故选项C错误；
④当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵m可能大于c也可能小于c，则：或，故选项D错误．
故答案为：B．
【分析】先由抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线x=3，然后令抛物线解析式中的x=0算出对应函数值为y=c，从而得出抛物线与y轴交于点(0，c)，进而求出其关于对称轴的对称点为(6，c)；然后分类讨论：①当x1＜0，则m＜c，即m-c＜0，然后又分x1(6-x2)＞0时与x1(6-x2)＜0时两种情况，②当0＜x1＜3时，则m＞c，即m-c＞0，然后又分x1(6-x2)＞0时与x1(6-x2)＜0时两种情况，③当(6-x1)(6-x2)＞0，④当(6-x1)(6-x2)＜0，分别画出示意图，然后根据二次函数的增减性逐一判断即可.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知的直径为8，若，则点与的位置关系是　 　．
【答案】点在外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的直径为8，
∴的半径为，
又∵，
，
∴点与的位置关系是点在外．
故答案为：点在外．
【分析】根据点与圆的位置关系即可求出答案.
12．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线，
向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到
即
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵甲去景区有三种情况，乙去景区 也三种情况，
∴甲乙共有3×3=9种情况，
∵二人恰好选择同一景区的情况是三种，
∴二人恰好选择同一景区的情况概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出甲乙一共去景区的情况，再求出二人去同一景区的情况，用同一景区情况除以总情况即可求出概率.
14．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为　 　．
【答案】14或2
【知识点】平行线之间的距离；垂径定理
【解析】【解答】分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，
过O作OE⊥CD于E，延长EO将AB于F，连接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED= CD，BF= AB，
∵AB=12，CD=16，
∴ED= ×16=8，BF= ×12=6，
由勾股定理得：OE= = =6，
OF= = =8，
∴EF=OE+OF=6+8=14；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，
同理得：EF=OF﹣OE=8﹣6=2，
综上所述，AB和CD的距离为14或2．
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，作辅助线，构建两个直角三角形，先由垂径定理得出BF和DE的长，再利用勾股定理计算出OE和OF的长，相加即可求出距离EF的长；②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，同理求得距离EF的长.
15．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：
根据正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，
∴AO=BO，
，
，
是等腰三角形，
过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得
∴
∵反比例函数的图形位于二、四象限
故答案为：．
【分析】首先根据反比例函数的对称性，得出OA=OB，进而得出，过点作于点，根基等腰三角形的性质，可得出。进而根据k的几何意义，以及双曲线所在的象限，即可得出k的值。
16．如图，在边长为3的菱形中，，M是上一点，，将沿翻折至，延长，交于点N，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连结，，过点N作交于点G，
在菱形中，，，
是等边三角形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，，
，
，
，
在中，，
∴，
∴可设，则，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故答案为：
【分析】连接和，过点作，交于点.证明是等边三角形，再结合图形折叠的性质能够得到，，进一步推导出，由此可得.接下来在中，依据含30°角的直角三角形的性质，设，那么就有，在中，利用勾股定理就可以计算出的值.
三、解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（1）解一元一次方程：．
（2）解不等式：
【答案】解：（1）
移项，得，
合并同类项得，
系数化为1，得；
（2）
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类型得，
系数化为1得．
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项系数化为1，求解即可；
（2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可.
18．已知：如图，，交于点，过点，分别交，于点，，且，求证：是的中点．
【答案】证明：，
，，
在和中，
，
，
，
即是的中点
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，从而由“ASA”证△AEO≌△DFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，从而根据中点定义可得结论.
19．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
，
故盒子中黑球的个数为：；
（2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为：；
（3）解：能；
任意摸出一个球是红球的概率为，
可以将盒子中的白球拿出个方法不唯一．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】 （1）利用概率公式计算得出总球数，再求出盒子中黑球的个数；
（2）利用概率公式得出答案；
（3）利用概率公式计算得出总球数为12个，拿出3个白球即可．
20．如图，在直角坐标系中，已知直线y=-x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
【答案】解：（1）当x=0时，y=- x+4=4，则A（0，4），
当y=0时，- x+4=0，解得x=8，则B（8，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a 2 （﹣8）=4，解得x=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8），
即y=﹣x2+x+4；
（2）∵y=﹣（x﹣3）2+，
∴M（3，），
作MD⊥x轴于D，如图，
四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM
=×（4+）×3+×5×
=31．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先分别令y=- x+4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可确定A（0，4），B（8，0），由于给出了抛物线与x轴两交点的坐标，故可设抛物线交点式y=a(x+2)(x-8)，然后把A点坐标代入求出a，即可得到抛物线解析式；（2）先利用配方法将（1）所求抛物线解析式配成顶点式得到顶点M（3，），作MD⊥x轴于D，如图，然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用S四边形AOBM=S梯形AODM+S△BDM进行计算即可．
21．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴，
如图：连接，设的半径为r，则，
∵，
∴，解得：，
∴的半径为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，即是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AC，从而根据等腰三角形的定义即可得出结论；
（2）由垂径定理可得，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出AD=8；连接OB，设的半径为r，则OB=r，则OD=8-r，在Rt△BDO中，利用勾股定理建立方程求解即可得出r的值.
（1）证明：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴，
如图：连接，设的半径为r，则，
∵，
∴，解得：，
∴的半径为．
22．如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题：
（1）运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？
（2）设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围．
（3）求出当时的取值范围．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
设运动的时间为t秒，则，那么．
∵△PBQ的面积为8平方厘米，
∴，
解得：或4．
∴运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；
（2）解：
（3）解：由题意可得：，即，
∵，
∴或，
∴对于不等式，对应的方程的根为或，
∴的解集为或，
∵，
∴或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（2）解：根据题意，得，
∵AB=6厘米，BC=12厘米， 点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边BC向C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，
∴0≤t≤6，
∴．
【分析】（1）由矩形性质得∠B=90°，设运动的时间为t秒，由路程、速度、时间三者的关系得AP=t，BQ=2t，由线段和差的BP=6-t，再根据三角形的面积公式列方程求解即可；
（2）根据S五边形APQCD=S矩形ABCD-S△BPQ结合矩形及三角形面积公式列出S、t的函数式，根据点P、Q的运动方向、速度及路程即可求出t的取值范围；
（3）根据（2）的函数解析式列不等式，然后根据二次函数与一元二次方程以及不等式的关系求解即可．
（1）解：设运动的时间为t秒，则，那么．
由题意可得：，解得：或4．
所以运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）解：根据题意，得，
所以．
（3）解：由题意可得：，即，
∵，
∴或，
∴对于不等式，对应的方程的根为或，
∴的解集为或，
∵，
∴或．
23．已知二次函数．
（1）证明这个二次函数的图象经过点；
（2）点，在这个二次函数图象上，当，时，都有，求的取值范围．
（3）关于不等式有且只有一个整数解时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）证明：把代入二次函数得：，
∴这个二次函数的图象经过点．
（2）解：∵二次函数，点，在这个二次函数图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵要使恒成立，
∴，即，
∴，
解得：；
（3）解：a的取值范围为：或.
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴函数与x轴交点横坐标为1或a，
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为2，
∴；
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为0，
∴．
综上，a的取值范围为或．
【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，把x=1代入二次函数y=x2-(a+1)x+a，算出对应函数值，若函数值等于0，则该二次函数图象一定经过点(1，0)，否则就不会；
（2） 根据二次函数图象上点的坐标特点，分别把(x1，y1)与(x2，y2)代入二次函数y=x2-(a+1)x+a， 表示出y1与y2，利用等式性质求出y2-y1，进而利用分组分解法将y2-y1的差分解因式，再结合x1＞x2、及y2＞y1可列出不等式，求解即可；
（3）将不等式左边分解因式可得，进而说明函数与x轴交点横坐标为1或a，再分、两种情况解答即可．
（1）解：把代入二次函数得：，
∴这个二次函数的图象经过点．
（2）解：∵二次函数，点，在这个二次函数图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵要使恒成立，
∴，即，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴函数与x轴交点横坐标为1或a，
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为2，
∴；
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为0，
∴．
综上，a的取值范围为或．
24．如图1，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若是的中点，连接、、，请判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，作的角平分线交于点，已知，，求的长．（用含的代数式表示）
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接，
由（1）可知△ADF为等腰直角三角形，
∴，
∵G为等腰直角△BEF中EF的中点，
∴， ∠F=∠EBG=45°， ∠ BGF=90°，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由矩形的四个内角都是直角，结合角平分线的定义可证得，可证明△ADF为等腰直角三角形，推出BE=BF；
（2）△AGC为等腰直角三角形，理由如下：连接BG，由等腰直角三角形性质及矩形性质可得AF=AD=BC，由等腰直角三角形的三线合一得BG=FG，∠F=∠EBG=45°， ∠ BGF=90°，从而由“SAS”证△AGF≌△CGB，由全等三角形的性质得AG=CG，∠AGF=∠BGC，然后根据角的构成及等式性质可推出∠AGC=∠BGF=90°，从而即可得出结论；
（3）在BH上截取BN=BE，连接NE，由已知易得，由邻补角、角平分线的定义及直角三角形两锐角互余可求出∠BHE=22.5°，由等腰直角三角形性质得，，由三角形外角性质可推出，由等角对等边得出，然后根据BH=BN+NH=k可用含k的式子表示出BN，进而得出BF，最后根据BC=AD=AF=AB+BF即可求出答案.
（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：为等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∴，
∵G为中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2025-2026学年九年级上学期10月数学月考试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个是正确的．
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为（　　）
A． B． C． D．
3．二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．把 分解因式，结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
6．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（　　）
A． B． C． D．
7．二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　）
A．1 B． C． D．0
8．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）
A．115° B．120° C．130° D．140°
9．如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．二次函数的图象过，两点，其中，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若时，则
B．若时，则
C．若时，则
D．若时，则
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知的直径为8，若，则点与的位置关系是　 　．
12．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　．
13．甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 　 　．
14．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则　 　．
16．如图，在边长为3的菱形中，，M是上一点，，将沿翻折至，延长，交于点N，则　 　．
三、解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（1）解一元一次方程：．
（2）解不等式：
18．已知：如图，，交于点，过点，分别交，于点，，且，求证：是的中点．
19．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
20．如图，在直角坐标系中，已知直线y=-x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
21．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的半径．
22．如图，在矩形中，厘米，厘米，点从点出发，沿边向点以1厘米/秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向以2厘米/秒的速度移动，如果、两点分别到达、两点后就停止移动．据此解答下列问题：
（1）运动开始第几秒时，的面积等于8平方厘米？
（2）设运动开始后第秒时，五边形的面积为平方厘米，写出关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围．
（3）求出当时的取值范围．
23．已知二次函数．
（1）证明这个二次函数的图象经过点；
（2）点，在这个二次函数图象上，当，时，都有，求的取值范围．
（3）关于不等式有且只有一个整数解时，直接写出的取值范围．
24．如图1，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若是的中点，连接、、，请判断的形状，并说明理由；
（3）如图3，作的角平分线交于点，已知，，求的长．（用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵|-2|=-(-2)=2，
∴|2|=2
故答案为：A．
【分析】先根据一个负数的绝对值是其相反数化简|-2|得2，再根据一个正数的绝对值是其本身求出2的绝对值.
2．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为 次。
故答案为：C。
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币只会出现正面朝上与反面朝上两种情况，根据概率的计算方法可知出现正面朝上的概率是0.5，从而即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
∴
解不等式：
因此，的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式，求解即可得到x的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
=
= ，
故答案为：C．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
5．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【分析】
圆的大小是由半径决定的，要确定一个圆的大小，就需要得到这个圆的半径长度。结合垂径定理可以判断，只有第①块残片能够确定出这个圆的半径大小.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴水的最大深度为，
故选：．
【分析】
先过圆心O作OD垂直于AB，垂足为D，OD与圆O交于点E，再连接OA。根据垂径定理，可以计算出AD的长度；已知圆O的直径为，由此可以得到半径OA的长度。之后借助勾股定理算出OD的长度，就可以进一步推导出水的最大深度的结果.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的部分图象可知，此函数图象的对称轴为x=1，
根据二次函数图象的对称性可得：，
解得：x2=－1．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值即可.
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图.
∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，∴∠B'=∠B=90°，∠BFE=∠EFB'，
∵∠2=40°，
∴∠B'GF=∠2=40°，
∵∠B'GF+∠B'FG=90°，
∴40°+∠B'FG=90°，解得∠GFB'=50°，
∵∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，
∴∠1+∠1﹣50°=180°，
解得：∠1=115°.
故答案为：A．
【分析】先求出∠B'GF，再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠B'FG，再根据∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，求出∠1.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故③正确；
∵抛物线对称轴是直线，
∴，
∴，故②正确；
当时，，故④正确；
综上，正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【分析】
①观察图象知抛物线的对称轴在y轴右侧，则a、b异号；由抛物线交y轴于正半轴知c>0，则；
②由对称轴为直线得， 即；
③由抛物线与x轴有两个交点，则；
④由于抛物线与x负半轴的交点的横坐标介于和之间，且在对称轴的左侧y随x增大而增大，则当时．
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，抛物线与y轴交于点，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，在抛物线上，且，
①当时，则：，即
当时，则：，如图：
∴，
∴，即，
∴，故A选项错误；
当时，则：，如图：
∴，
∴，即，
∴，故B选项符合题意；
②当时，则，即，
当时，则：，如图：
∴，
∴，即，
∴，
当时， 则：，如图：
∴，
∴，即，
∴；
综上，选项A错误，选项B正确；
③当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵m可能大于c也可能小于c，则：或，故选项C错误；
④当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵m可能大于c也可能小于c，则：或，故选项D错误．
故答案为：B．
【分析】先由抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线x=3，然后令抛物线解析式中的x=0算出对应函数值为y=c，从而得出抛物线与y轴交于点(0，c)，进而求出其关于对称轴的对称点为(6，c)；然后分类讨论：①当x1＜0，则m＜c，即m-c＜0，然后又分x1(6-x2)＞0时与x1(6-x2)＜0时两种情况，②当0＜x1＜3时，则m＞c，即m-c＞0，然后又分x1(6-x2)＞0时与x1(6-x2)＜0时两种情况，③当(6-x1)(6-x2)＞0，④当(6-x1)(6-x2)＜0，分别画出示意图，然后根据二次函数的增减性逐一判断即可.
11．【答案】点在外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的直径为8，
∴的半径为，
又∵，
，
∴点与的位置关系是点在外．
故答案为：点在外．
【分析】根据点与圆的位置关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线，
向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到
即
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵甲去景区有三种情况，乙去景区 也三种情况，
∴甲乙共有3×3=9种情况，
∵二人恰好选择同一景区的情况是三种，
∴二人恰好选择同一景区的情况概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出甲乙一共去景区的情况，再求出二人去同一景区的情况，用同一景区情况除以总情况即可求出概率.
14．【答案】14或2
【知识点】平行线之间的距离；垂径定理
【解析】【解答】分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，
过O作OE⊥CD于E，延长EO将AB于F，连接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED= CD，BF= AB，
∵AB=12，CD=16，
∴ED= ×16=8，BF= ×12=6，
由勾股定理得：OE= = =6，
OF= = =8，
∴EF=OE+OF=6+8=14；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，
同理得：EF=OF﹣OE=8﹣6=2，
综上所述，AB和CD的距离为14或2．
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，作辅助线，构建两个直角三角形，先由垂径定理得出BF和DE的长，再利用勾股定理计算出OE和OF的长，相加即可求出距离EF的长；②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，同理求得距离EF的长.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：
根据正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，
∴AO=BO，
，
，
是等腰三角形，
过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得
∴
∵反比例函数的图形位于二、四象限
故答案为：．
【分析】首先根据反比例函数的对称性，得出OA=OB，进而得出，过点作于点，根基等腰三角形的性质，可得出。进而根据k的几何意义，以及双曲线所在的象限，即可得出k的值。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连结，，过点N作交于点G，
在菱形中，，，
是等边三角形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，，
，
，
，
在中，，
∴，
∴可设，则，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故答案为：
【分析】连接和，过点作，交于点.证明是等边三角形，再结合图形折叠的性质能够得到，，进一步推导出，由此可得.接下来在中，依据含30°角的直角三角形的性质，设，那么就有，在中，利用勾股定理就可以计算出的值.
17．【答案】解：（1）
移项，得，
合并同类项得，
系数化为1，得；
（2）
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类型得，
系数化为1得．
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项系数化为1，求解即可；
（2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可.
18．【答案】证明：，
，，
在和中，
，
，
，
即是的中点
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，从而由“ASA”证△AEO≌△DFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，从而根据中点定义可得结论.
19．【答案】（1）解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
，
故盒子中黑球的个数为：；
（2）解：任意摸出一个球是黑球的概率为：；
（3）解：能；
任意摸出一个球是红球的概率为，
可以将盒子中的白球拿出个方法不唯一．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】 （1）利用概率公式计算得出总球数，再求出盒子中黑球的个数；
（2）利用概率公式得出答案；
（3）利用概率公式计算得出总球数为12个，拿出3个白球即可．
20．【答案】解：（1）当x=0时，y=- x+4=4，则A（0，4），
当y=0时，- x+4=0，解得x=8，则B（8，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a 2 （﹣8）=4，解得x=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8），
即y=﹣x2+x+4；
（2）∵y=﹣（x﹣3）2+，
∴M（3，），
作MD⊥x轴于D，如图，
四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM
=×（4+）×3+×5×
=31．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先分别令y=- x+4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可确定A（0，4），B（8，0），由于给出了抛物线与x轴两交点的坐标，故可设抛物线交点式y=a(x+2)(x-8)，然后把A点坐标代入求出a，即可得到抛物线解析式；（2）先利用配方法将（1）所求抛物线解析式配成顶点式得到顶点M（3，），作MD⊥x轴于D，如图，然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用S四边形AOBM=S梯形AODM+S△BDM进行计算即可．
21．【答案】（1）证明：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴，
如图：连接，设的半径为r，则，
∵，
∴，解得：，
∴的半径为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，即是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AC，从而根据等腰三角形的定义即可得出结论；
（2）由垂径定理可得，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出AD=8；连接OB，设的半径为r，则OB=r，则OD=8-r，在Rt△BDO中，利用勾股定理建立方程求解即可得出r的值.
（1）证明：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴，
如图：连接，设的半径为r，则，
∵，
∴，解得：，
∴的半径为．
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
设运动的时间为t秒，则，那么．
∵△PBQ的面积为8平方厘米，
∴，
解得：或4．
∴运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；
（2）解：
（3）解：由题意可得：，即，
∵，
∴或，
∴对于不等式，对应的方程的根为或，
∴的解集为或，
∵，
∴或．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；矩形的性质；二次函数-动态几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（2）解：根据题意，得，
∵AB=6厘米，BC=12厘米， 点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边BC向C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，
∴0≤t≤6，
∴．
【分析】（1）由矩形性质得∠B=90°，设运动的时间为t秒，由路程、速度、时间三者的关系得AP=t，BQ=2t，由线段和差的BP=6-t，再根据三角形的面积公式列方程求解即可；
（2）根据S五边形APQCD=S矩形ABCD-S△BPQ结合矩形及三角形面积公式列出S、t的函数式，根据点P、Q的运动方向、速度及路程即可求出t的取值范围；
（3）根据（2）的函数解析式列不等式，然后根据二次函数与一元二次方程以及不等式的关系求解即可．
（1）解：设运动的时间为t秒，则，那么．
由题意可得：，解得：或4．
所以运动开始第2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）解：根据题意，得，
所以．
（3）解：由题意可得：，即，
∵，
∴或，
∴对于不等式，对应的方程的根为或，
∴的解集为或，
∵，
∴或．
23．【答案】（1）证明：把代入二次函数得：，
∴这个二次函数的图象经过点．
（2）解：∵二次函数，点，在这个二次函数图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵要使恒成立，
∴，即，
∴，
解得：；
（3）解：a的取值范围为：或.
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴函数与x轴交点横坐标为1或a，
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为2，
∴；
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为0，
∴．
综上，a的取值范围为或．
【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，把x=1代入二次函数y=x2-(a+1)x+a，算出对应函数值，若函数值等于0，则该二次函数图象一定经过点(1，0)，否则就不会；
（2） 根据二次函数图象上点的坐标特点，分别把(x1，y1)与(x2，y2)代入二次函数y=x2-(a+1)x+a， 表示出y1与y2，利用等式性质求出y2-y1，进而利用分组分解法将y2-y1的差分解因式，再结合x1＞x2、及y2＞y1可列出不等式，求解即可；
（3）将不等式左边分解因式可得，进而说明函数与x轴交点横坐标为1或a，再分、两种情况解答即可．
（1）解：把代入二次函数得：，
∴这个二次函数的图象经过点．
（2）解：∵二次函数，点，在这个二次函数图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵要使恒成立，
∴，即，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴函数与x轴交点横坐标为1或a，
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为2，
∴；
当时，该不等式的解集为，
∵关于不等式有且只有一个整数解，
∴这个整数解为0，
∴．
综上，a的取值范围为或．
24．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接，
由（1）可知△ADF为等腰直角三角形，
∴，
∵G为等腰直角△BEF中EF的中点，
∴， ∠F=∠EBG=45°， ∠ BGF=90°，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由矩形的四个内角都是直角，结合角平分线的定义可证得，可证明△ADF为等腰直角三角形，推出BE=BF；
（2）△AGC为等腰直角三角形，理由如下：连接BG，由等腰直角三角形性质及矩形性质可得AF=AD=BC，由等腰直角三角形的三线合一得BG=FG，∠F=∠EBG=45°， ∠ BGF=90°，从而由“SAS”证△AGF≌△CGB，由全等三角形的性质得AG=CG，∠AGF=∠BGC，然后根据角的构成及等式性质可推出∠AGC=∠BGF=90°，从而即可得出结论；
（3）在BH上截取BN=BE，连接NE，由已知易得，由邻补角、角平分线的定义及直角三角形两锐角互余可求出∠BHE=22.5°，由等腰直角三角形性质得，，由三角形外角性质可推出，由等角对等边得出，然后根据BH=BN+NH=k可用含k的式子表示出BN，进而得出BF，最后根据BC=AD=AF=AB+BF即可求出答案.
（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）解：为等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∴，
∵G为中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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