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2026年捷克奥地利波兰斯洛伐克联合竞赛
第1题
设a1,a2,,a100为100个两两不同的实数。若某个指标∈{2,3，.，99}满足
a1+a2+…+a:-1=ai+1+ai+2+·+a100:
则称i为一个好指标。问：好指标的最大可能个数是多少？
第2题
称正整数k为可除性数，如果只有有限多个正整数四元组(x,,云，和)同时满足
x2+y2+22+w2=xyzw
以及
k1x2+y2+z2+w2.
求所有可除性正整数k。
第3题
设ABCD为一四边形，且其内切圆圆心为I。分别在线段IA与IC上取点K与L,使得
CK⊥ID,
AL⊥IB
分别在线段AD与BC上取点P与Q,使得
∠AKP=∠ICD,
∠CLQ=∠IAB.
证明：
IP IQ.
第4题
Tom和Jerry在一个16×16的棋盘上进行如下游戏。Jerry先选择若干个格子，但不能选择全部
格子，并在每个所选格子上放置一个红色石子。随后TOm在某个空格子上放置一个黑色石子，并
决定自己扮演“猎人”还是“猎物”。之后双方轮流行动，仍由Jery先手。每一回合中，轮到的玩
家从自己的一枚石子出发，将其移动到与当前格子共边相邻的一个格子中。若该移动会使石子离开
棋盘，则该石子会从棋盘的对侧重新出现：例如，若石子在左边界上，则它会出现在同一行的右边
界上，其余边界情形同理。若在游戏过程中任意时刻，猎人的一枚石子与猎物的一枚石子占据同一
格，则猎人获胜，游戏结束。若游戏无限进行，则猎物获胜。问：哪一位玩家有必胜策略？
第5题
设M为圆内接四边形ABCD的边AD的中点。分别在射线MB与MC上取点K与L,使得
∠DAK+∠ACM=∠ABM,
以及
∠LDA+∠MBD=∠MCD.
证明：点B,C,K,L共圆。
第6题
设n≥2为整数，且a1,a2,,an为非零实数，满足
1
1
a1+
a3'..,an-1+
均为整数。证明
1
a1a2·…an+
a1a2…an
也是整数。
2026年捷克奥地利波兰斯洛伐克联合竞赛
第1题
设a1,2,,a100为100个两两不同的实数。若某个指标i∈{2,3，.，99}满足
a1+a2+··+ai-1=ai+1+ai+2+·+a100:
则称i为一个好指标。问：好指标的最大可能个数是多少？
解答
设
d=(a1+·+ai-1）-(a5+1+·+a10o)
(2≤i≤99).
则i为好指标当且仅当
d=0.
又有
d+1-d=a:+a+1
(1)
若元，i+1都是好指标，则d山=d山+1=0，由(1)得
ai+a+1=0.
(2)
若i,i+1,i+2三个连续指标都是好指标，则同理有
ai+ai+1=0,
ai+1+ai+2=0,
故
0:=ai+2,
与a1,,α1o0两两不同矛盾。因此任意三个连续候选指标中，最多有两个好指标。候选指标为
2,3,,99,
共98个。分组为
(2,3,4),(5,6,7),,(95,96,97),(98,99)
前32组每组至多2个，最后一组至多2个，所以好指标数至多
32.2+2=66.
(3)
下面构造达到66个的例子。令
0=专
1
b100=3
并对m=0,1,.,32,令
b3m+1=10m,
b3m+2=-10m,b3m+3=10m.
定义
a=b:-b:-1(1≤i≤100).

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