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浙江省金兰合作组织2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题
一、单项选择题（本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（　　）
A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆
【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为，，所以动点的轨迹为椭圆.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据椭圆的定义判断即可.
2．在平行六面体中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：在平行六面体中，连接，如图所示：
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】在平行六面体中，连接，根据平行六面体的性质，结合向量的线性运算化简求解即可．
3．直线与平行，则的值为（　　）
A． B．或1 C．1 D．或1
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由直线与平行，
可得，即， 解得.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，系数的关系列式求解即可.
4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图所示：
直线绕着点旋转且与线段有交点，
直线从逆时针旋转到与轴平行的过程中，斜率从逐渐增大到正无穷大；
直线从与轴平行逆时针旋转到的过程中，斜率从负无穷大增大到.
因为，，
所以直线的斜率的取值范围为或.
故答案为：C.
【分析】由题意，作出图形，分析直线从逆时针旋转到的过程中，斜率的变化情况，再利用斜率计算公式分别求出和，即可得直线的斜率的取值范围.
5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线可得渐近线方程为，
下焦点为，
由双曲线的下焦点到渐近线的距离为可得，，
又因为焦距为，所以，即，
代入上式可得：，则，解得，
即该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：C．
【分析】先求双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，根据焦点到渐近线的距离为列方程，结合求解即可得渐近线方程.
6．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，直线与交于点，，若四边形的面积为，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，N在第三象限，如图所示：
联立，解得，
由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，，
又四边形的面积为，所以，
又因为，所以，
又因为离心率，所以，
由，得，解得.
故答案为：A.
【分析】不妨设点在第一象限，N在第三象限，联立直线与椭圆方程，求得交点坐标，由题意可知四边形为平行四边形，根据四边形的面积为，结合以及离心率列关于e的方程化简求解即可.
7．已知动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，圆：，圆：，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设，
因为是线段的中点，根据中点坐标公式，
又因为在直线上，所以①，
在直线上，所以②，
①+②得，所以得到点的轨迹方程为，
圆心到直线的距离为；
圆心到直线的距离为；
圆心距为，
根据圆的性质有，
要求的最小值，则求的最小值，那么要先求关于直线的对称点，
然后连接与直线的交点即是，此时最小等于，
关于直线的对称点为，所以，
所以的最小值为5，那么的最小值为3.
故答案为：A.
【分析】设，利用中点坐标公式，结合，分别在直线上，求出点的轨迹方程为，再利用点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，利用两点间距离求出圆心距，根据圆的性质有，要求的最小值，则求的最小值即可.
8．在直三棱柱中，，，，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；空间中两点间的距离公式；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为原点，以所在直线建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，，
，，
所以，
，
因为，所以，
令，
因为，所以，即，
所以，因为函数在上是增函数，
所以，
则线段长度的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】以为原点，以所在直线，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，利用两点间距离公式求出，再根据已知条件列出的表达式，利用换元法化简可得，再根据函数的单调性，求线段长度的取值范围即可.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．以下说法正确的是（　　）
A．已知空间向量，，向量是的充要条件
B．已知空间向量，，若与共线，则
C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】B,C,D
【知识点】平面的法向量；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：若，则，但且，才有，
则向量是的必要不充分条件，故A错误；
由空间向量，，且与共线，
则，解得，所以，故B正确；
由空间向量，，
则在方向上的投影向量为，故C正确；
由三点，，，可得，，
由于向量是平面的法向量，
则，
，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量共线，结合充分、充要条件的定义即可判断A；根据空间向量共线的坐标表示求解即可判断B；利用投影向量公式，结合向量数量积的坐标表示求解即可判断C；利用法向量性质和数量积的坐标运算求解即可判断D．
10．如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（　　）
A．无论取何值，三棱锥的体积始终为
B．若，则
C．点到平面的距离为
D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则
【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为正方体的棱长为，
又因为点分别为棱的中点，
所以，
在正方体中，平面，
由等体积法知，三棱锥=三棱锥=，
所以无论取何值，三棱锥的体积始终为，故A正确；
对于B，由题意可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正方体的棱长为，
所以，，，，，
由，得，
设，则，
所以，
所以，解得，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，由选项B建立的空间直角坐标系知，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令则，所以，
所以，点到平面的距离为，
由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；
对于D，由选项B建立的空间直角坐标系知，
，，，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
因为异面直线与所成的角的余弦值为，
则，即，
解得或（舍），故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用等体积法和棱锥的体积公式，则可判断出选项A；建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，则判断出选项B；求出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离，则判断出选项C；求出直线与的方向向量，则由数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出异面直线所成的角的余弦值，则得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．已知曲线的方程为，分别为曲线与轴的上、下交点，为上任意一点，则（　　）
A．若，则为双曲线，且渐近线方程为
B．若时，曲线表示椭圆
C．若不与重合，直线的斜率分别为，，则
D．当时，若曲线上的任意点都满足，则的离心率的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】斜率的计算公式；平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、若，则的方程为，即为双曲线，
且渐近线方程为，故A正确；
B、当时，若取，曲线的方程为表示圆，
则曲线表示的不一定是椭圆，故B错误；
C、当，可得，即，
设上任意一点（不与重合）的坐标为，则，
又因为，所以，故C正确；
D、当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，
此时仍设的坐标为，则，
由于，
所以有，
设，经计算可得，
根据题意，对任意，须有，
因此，的最大值必为，且在处取得，
对于开口向下的二次函数，这意味着其对称轴必须小于或等于，
所以，
即椭圆的，，所以，
又因为，所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将代入，可得C的方程，求渐近线方程即可判断A；当时，若取，举反例即可判断B；当，可得，即，利用斜率公式求解即可判断C；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，利用两点间距离公式结合二次函数最大值分析可求参数范围，再求离心率范围即可判断D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知空间向量，则　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，
则．
故答案为：.
【分析】利用空间向量减法和乘法的坐标计算法则即可求解.
13．已知双曲线，的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由双曲线定义可得：
两式相加得：①，
又由的周长为得②，上两式相减得：，
再根据双曲线的通径长是，且通径长是过右焦点的最短弦长，
则，
又因为双曲线离心率，所以该双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用双曲线定义可得①，由的周长为得②，①②两式相减可得，结合双曲线性质，即双曲线的通径长是，且通径长是过右焦点的最短弦长，列不等式求离心率范围即可.
14．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，1为半径的圆上取任意一点，若的取值与，无关，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的参数方程
【解析】【解答】解：易知圆的方程为，
令，则原式变为，
将圆的参数方程代入，则，
利用三角函数有界性，的最大值为，最小值为，
所以，
因为，而，所以对任意都有，
故，
所以，因该式与无关，
则时，，与有关，矛盾；
则时，，与无关，
此时对恒成立，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】易知圆的标准方程为，令，则原式变为，再利用圆的参数方程求出的范围，最后分析绝对值表达式，根据已知条件列出不等式，求解即可.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以
；
（2）解：，，
，，
则
=.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意，以，， 为基向量，结合向量的线性运算化简表示向量即可；
（2）利为基向量表示、，再根据向量的数量积运算律结合已知条件即可求出结果.
（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以，
.
（2）已知，，
因为，，
所以
=.
16．已知双曲线：的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为1的直线且与双曲线交于，两点，求的面积．
【答案】（1）解：由于双曲线：的渐近线方程为，
且一条渐近线的倾斜角的正切值为，所以，
又因为一个焦点坐标为，所以，联立上两式解得：，
故双曲线的方程为；
（2）解：
设过点作斜率为1的直线的方程为：，，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得
，
焦点到直线的距离为，
则的面积为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标求得基本量的值，即可得双曲线方程；
（2）设过点作斜率为1的直线的方程为：，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式求解即可.
（1）由于双曲线：的渐近线方程为，
且一条渐近线的倾斜角的正切值为，所以，
又因为一个焦点坐标为，所以，
联立上两式解得：，
故双曲线的方程为；
（2）设过点作斜率为1的直线的方程为：，
与双曲线联立，消元得：，
设，则
所以，
焦点到直线的距离为，
所以的面积为.
17．已知圆：，圆的圆心在直线上，两圆的公共弦所在的直线方程为．
（1）求公共弦的长度；
（2）求圆的方程；
（3）过点分别作直线，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．
【答案】（1）解：易知圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，则公共弦的长度为4；
（2）解：由题意可知，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB，
因为公共弦所在的直线方程为，
所以可设直线的方程为，
将圆心代入上式，可得，所以直线的方程为，
又由圆的圆心在直线上，
联立方程组，解得，所以圆心，
则圆心到直线的距离，
说明直线过圆心，公共弦就是圆的直径，
所以圆的半径，
所以圆的方程为；
（3）解：设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，
因为，，所以，
因为，所以，
所以由垂径定理可得，，
所以四边形面积，
将代入上式可得，
因为，且.令，则，
所以，
所以当时，取到最大值；
当或时，取到最小值，
所以四边形面积的最大值为6，最小值为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）易知圆心的圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由半径，，和组成的直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（2）根据两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB，设直线的方程为，将圆心代入上式，求得直线的方程，再联立两直线的方程，求出圆心的坐标以及半径，即可求出圆的方程；
（3）设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，由，可得，用表示，求出四边形面积的解析式，利用，将转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可.
（1）已知圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以，
所以公共弦的长度为4；
（2）由题意可知，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB，
因为公共弦所在的直线方程为，
所以可设直线的方程为，
将圆心代入上式，可得，所以直线的方程为.
又由圆的圆心在直线上，
联立方程组，解得，所以圆心.
则圆心到直线的距离，
说明直线过圆心，公共弦就是圆的直径，
所以圆的半径，
所以圆的方程为；
（3）设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，
因为，，所以.
因为，所以，
所以由垂径定理可得，.
所以四边形面积
，
将代入上式可得
，
因为，且.令，则，
所以.
所以当时，取到最大值；
当或时，取到最小值，
所以四边形面积的最大值为6，最小值为.
18．在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点．
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度．
【答案】（1）解：以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，
所以，，
设平面和平面的法向量分别为，
则有，，
所以有，两式相减，令，则，
，令，则，可得，
则平面和平面的夹角的余弦值为；
（2）解：设，，因为，，，
所以，所以，
因为，，所以，
所以，所以，
所以点到直线的距离为，
其中，所以当时，点到直线的距离最短，
此时，又，所以.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，利用空间向量法求解二面角的余弦值即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出到直线的距离最短的点的坐标，根据空间两点距离公式求出线段的长度即可.
（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
设平面和平面的法向量分别为.
则有，，
所以有，两式相减，令，则.
，令，则.
所以.
所以平面和平面的夹角的余弦值为
.
（2）设，，因为，，，
所以，所以.
因为，，所以.
所以，所以，
所以点到直线的距离为，
其中，所以当时，点到直线的距离最短，
此时，又，所以.
19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比（，），是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．当时，动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆：（）的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为（）的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）解：设，由题意（常数），
整理得：，
故，又，解得，，则，
故椭圆的方程为；
（2）解：①、由，又，∴，
令，则，设，则有，
又直线的斜率，则，
将代入，得，
即，
因为，所以；
②、由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，
，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，解得，
又，故，∴，
又
则，
解得，，，
则直线的方程为．
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，由题意，整理得，再根据条件列式求椭圆方程即可；
（2）①、由题意，根据三角形的面积比值求得，令，则，利用向量的坐标运算，求得，再求范围；
②、由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点的阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得的值，再根据，求得，即可计算直线方程.
（1）设，由题意（常数），
整理得：，
故，又，解得：，，
∴，椭圆的方程为．
（2）由，
又，∴，
令，则，设，则有，
又直线的斜率，则，
将代入得：
，
即，
∵，∴．
②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，
，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，解得：．
又，故，∴，
又，
∴，
解得：，，
∴，
∴直线的方程为．
1 / 1浙江省金兰合作组织2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题
一、单项选择题（本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知动点到，两点的距离和为8，则点的轨迹为（　　）
A．线段 B．圆 C．双曲线 D．椭圆
2．在平行六面体中，则（　　）
A． B． C． D．
3．直线与平行，则的值为（　　）
A． B．或1 C．1 D．或1
4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或 D．
5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，直线与交于点，，若四边形的面积为，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知动点在直线：上，动点在直线：上，记线段的中点为，圆：，圆：，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
8．在直三棱柱中，，，，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（　　）．
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．以下说法正确的是（　　）
A．已知空间向量，，向量是的充要条件
B．已知空间向量，，若与共线，则
C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10．如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（　　）
A．无论取何值，三棱锥的体积始终为
B．若，则
C．点到平面的距离为
D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则
11．已知曲线的方程为，分别为曲线与轴的上、下交点，为上任意一点，则（　　）
A．若，则为双曲线，且渐近线方程为
B．若时，曲线表示椭圆
C．若不与重合，直线的斜率分别为，，则
D．当时，若曲线上的任意点都满足，则的离心率的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知空间向量，则　 　.
13．已知双曲线，的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是　 　．
14．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，1为半径的圆上取任意一点，若的取值与，无关，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
16．已知双曲线：的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为1的直线且与双曲线交于，两点，求的面积．
17．已知圆：，圆的圆心在直线上，两圆的公共弦所在的直线方程为．
（1）求公共弦的长度；
（2）求圆的方程；
（3）过点分别作直线，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．
18．在直四棱柱中，底面为菱形，，，，点为棱的中点．
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）连接，若点为线段上的一动点，当点到直线距离最短时，求线段的长度．
19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比（，），是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．当时，动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆：（）的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为（）的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．
①求的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为，，所以动点的轨迹为椭圆.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据椭圆的定义判断即可.
2．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：在平行六面体中，连接，如图所示：
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
则.
故答案为：D.
【分析】在平行六面体中，连接，根据平行六面体的性质，结合向量的线性运算化简求解即可．
3．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由直线与平行，
可得，即， 解得.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行，系数的关系列式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：如图所示：
直线绕着点旋转且与线段有交点，
直线从逆时针旋转到与轴平行的过程中，斜率从逐渐增大到正无穷大；
直线从与轴平行逆时针旋转到的过程中，斜率从负无穷大增大到.
因为，，
所以直线的斜率的取值范围为或.
故答案为：C.
【分析】由题意，作出图形，分析直线从逆时针旋转到的过程中，斜率的变化情况，再利用斜率计算公式分别求出和，即可得直线的斜率的取值范围.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线可得渐近线方程为，
下焦点为，
由双曲线的下焦点到渐近线的距离为可得，，
又因为焦距为，所以，即，
代入上式可得：，则，解得，
即该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：C．
【分析】先求双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，根据焦点到渐近线的距离为列方程，结合求解即可得渐近线方程.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点在第一象限，N在第三象限，如图所示：
联立，解得，
由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，，
又四边形的面积为，所以，
又因为，所以，
又因为离心率，所以，
由，得，解得.
故答案为：A.
【分析】不妨设点在第一象限，N在第三象限，联立直线与椭圆方程，求得交点坐标，由题意可知四边形为平行四边形，根据四边形的面积为，结合以及离心率列关于e的方程化简求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设，
因为是线段的中点，根据中点坐标公式，
又因为在直线上，所以①，
在直线上，所以②，
①+②得，所以得到点的轨迹方程为，
圆心到直线的距离为；
圆心到直线的距离为；
圆心距为，
根据圆的性质有，
要求的最小值，则求的最小值，那么要先求关于直线的对称点，
然后连接与直线的交点即是，此时最小等于，
关于直线的对称点为，所以，
所以的最小值为5，那么的最小值为3.
故答案为：A.
【分析】设，利用中点坐标公式，结合，分别在直线上，求出点的轨迹方程为，再利用点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，利用两点间距离求出圆心距，根据圆的性质有，要求的最小值，则求的最小值即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；空间中两点间的距离公式；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为原点，以所在直线建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，，
，，
所以，
，
因为，所以，
令，
因为，所以，即，
所以，因为函数在上是增函数，
所以，
则线段长度的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】以为原点，以所在直线，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，利用两点间距离公式求出，再根据已知条件列出的表达式，利用换元法化简可得，再根据函数的单调性，求线段长度的取值范围即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面的法向量；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：若，则，但且，才有，
则向量是的必要不充分条件，故A错误；
由空间向量，，且与共线，
则，解得，所以，故B正确；
由空间向量，，
则在方向上的投影向量为，故C正确；
由三点，，，可得，，
由于向量是平面的法向量，
则，
，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量共线，结合充分、充要条件的定义即可判断A；根据空间向量共线的坐标表示求解即可判断B；利用投影向量公式，结合向量数量积的坐标表示求解即可判断C；利用法向量性质和数量积的坐标运算求解即可判断D．
10．【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，因为正方体的棱长为，
又因为点分别为棱的中点，
所以，
在正方体中，平面，
由等体积法知，三棱锥=三棱锥=，
所以无论取何值，三棱锥的体积始终为，故A正确；
对于B，由题意可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正方体的棱长为，
所以，，，，，
由，得，
设，则，
所以，
所以，解得，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，由选项B建立的空间直角坐标系知，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令则，所以，
所以，点到平面的距离为，
由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；
对于D，由选项B建立的空间直角坐标系知，
，，，，，，
设，则，，
所以，所以，
解得，所以，
所以，
因为异面直线与所成的角的余弦值为，
则，即，
解得或（舍），故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用等体积法和棱锥的体积公式，则可判断出选项A；建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积的坐标表示，则判断出选项B；求出平面的法向量，再利用数量积求出点到平面的距离，则判断出选项C；求出直线与的方向向量，则由数量积求向量夹角公式和已知条件，从而得出异面直线所成的角的余弦值，则得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】斜率的计算公式；平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、若，则的方程为，即为双曲线，
且渐近线方程为，故A正确；
B、当时，若取，曲线的方程为表示圆，
则曲线表示的不一定是椭圆，故B错误；
C、当，可得，即，
设上任意一点（不与重合）的坐标为，则，
又因为，所以，故C正确；
D、当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，
此时仍设的坐标为，则，
由于，
所以有，
设，经计算可得，
根据题意，对任意，须有，
因此，的最大值必为，且在处取得，
对于开口向下的二次函数，这意味着其对称轴必须小于或等于，
所以，
即椭圆的，，所以，
又因为，所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将代入，可得C的方程，求渐近线方程即可判断A；当时，若取，举反例即可判断B；当，可得，即，利用斜率公式求解即可判断C；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，利用两点间距离公式结合二次函数最大值分析可求参数范围，再求离心率范围即可判断D.
12．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，
则．
故答案为：.
【分析】利用空间向量减法和乘法的坐标计算法则即可求解.
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由双曲线定义可得：
两式相加得：①，
又由的周长为得②，上两式相减得：，
再根据双曲线的通径长是，且通径长是过右焦点的最短弦长，
则，
又因为双曲线离心率，所以该双曲线离心率的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用双曲线定义可得①，由的周长为得②，①②两式相减可得，结合双曲线性质，即双曲线的通径长是，且通径长是过右焦点的最短弦长，列不等式求离心率范围即可.
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的参数方程
【解析】【解答】解：易知圆的方程为，
令，则原式变为，
将圆的参数方程代入，则，
利用三角函数有界性，的最大值为，最小值为，
所以，
因为，而，所以对任意都有，
故，
所以，因该式与无关，
则时，，与有关，矛盾；
则时，，与无关，
此时对恒成立，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】易知圆的标准方程为，令，则原式变为，再利用圆的参数方程求出的范围，最后分析绝对值表达式，根据已知条件列出不等式，求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以
；
（2）解：，，
，，
则
=.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意，以，， 为基向量，结合向量的线性运算化简表示向量即可；
（2）利为基向量表示、，再根据向量的数量积运算律结合已知条件即可求出结果.
（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以，
.
（2）已知，，
因为，，
所以
=.
16．【答案】（1）解：由于双曲线：的渐近线方程为，
且一条渐近线的倾斜角的正切值为，所以，
又因为一个焦点坐标为，所以，联立上两式解得：，
故双曲线的方程为；
（2）解：
设过点作斜率为1的直线的方程为：，，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得
，
焦点到直线的距离为，
则的面积为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标求得基本量的值，即可得双曲线方程；
（2）设过点作斜率为1的直线的方程为：，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式求解即可.
（1）由于双曲线：的渐近线方程为，
且一条渐近线的倾斜角的正切值为，所以，
又因为一个焦点坐标为，所以，
联立上两式解得：，
故双曲线的方程为；
（2）设过点作斜率为1的直线的方程为：，
与双曲线联立，消元得：，
设，则
所以，
焦点到直线的距离为，
所以的面积为.
17．【答案】（1）解：易知圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
，则公共弦的长度为4；
（2）解：由题意可知，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB，
因为公共弦所在的直线方程为，
所以可设直线的方程为，
将圆心代入上式，可得，所以直线的方程为，
又由圆的圆心在直线上，
联立方程组，解得，所以圆心，
则圆心到直线的距离，
说明直线过圆心，公共弦就是圆的直径，
所以圆的半径，
所以圆的方程为；
（3）解：设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，
因为，，所以，
因为，所以，
所以由垂径定理可得，，
所以四边形面积，
将代入上式可得，
因为，且.令，则，
所以，
所以当时，取到最大值；
当或时，取到最小值，
所以四边形面积的最大值为6，最小值为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）易知圆心的圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由半径，，和组成的直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（2）根据两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB，设直线的方程为，将圆心代入上式，求得直线的方程，再联立两直线的方程，求出圆心的坐标以及半径，即可求出圆的方程；
（3）设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，由，可得，用表示，求出四边形面积的解析式，利用，将转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可.
（1）已知圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以，
所以公共弦的长度为4；
（2）由题意可知，两圆圆心所在的直线垂直平分公共弦AB，
因为公共弦所在的直线方程为，
所以可设直线的方程为，
将圆心代入上式，可得，所以直线的方程为.
又由圆的圆心在直线上，
联立方程组，解得，所以圆心.
则圆心到直线的距离，
说明直线过圆心，公共弦就是圆的直径，
所以圆的半径，
所以圆的方程为；
（3）设圆心到直线的距离为，到直线的距离为，
因为，，所以.
因为，所以，
所以由垂径定理可得，.
所以四边形面积
，
将代入上式可得
，
因为，且.令，则，
所以.
所以当时，取到最大值；
当或时，取到最小值，
所以四边形面积的最大值为6，最小值为.
18．【答案】（1）解：以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，
所以，，
设平面和平面的法向量分别为，
则有，，
所以有，两式相减，令，则，
，令，则，可得，
则平面和平面的夹角的余弦值为；
（2）解：设，，因为，，，
所以，所以，
因为，，所以，
所以，所以，
所以点到直线的距离为，
其中，所以当时，点到直线的距离最短，
此时，又，所以.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量坐标，利用空间向量法求解二面角的余弦值即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出到直线的距离最短的点的坐标，根据空间两点距离公式求出线段的长度即可.
（1）以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
设平面和平面的法向量分别为.
则有，，
所以有，两式相减，令，则.
，令，则.
所以.
所以平面和平面的夹角的余弦值为
.
（2）设，，因为，，，
所以，所以.
因为，，所以.
所以，所以，
所以点到直线的距离为，
其中，所以当时，点到直线的距离最短，
此时，又，所以.
19．【答案】（1）解：设，由题意（常数），
整理得：，
故，又，解得，，则，
故椭圆的方程为；
（2）解：①、由，又，∴，
令，则，设，则有，
又直线的斜率，则，
将代入，得，
即，
因为，所以；
②、由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，
，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，解得，
又，故，∴，
又
则，
解得，，，
则直线的方程为．
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，由题意，整理得，再根据条件列式求椭圆方程即可；
（2）①、由题意，根据三角形的面积比值求得，令，则，利用向量的坐标运算，求得，再求范围；
②、由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点的阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得的值，再根据，求得，即可计算直线方程.
（1）设，由题意（常数），
整理得：，
故，又，解得：，，
∴，椭圆的方程为．
（2）由，
又，∴，
令，则，设，则有，
又直线的斜率，则，
将代入得：
，
即，
∵，∴．
②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知，
，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，解得：．
又，故，∴，
又，
∴，
解得：，，
∴，
∴直线的方程为．
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