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广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷
1．已知一个圆锥的底面半径为3，母线长，则该圆锥的表面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，计算公式为， 已知圆锥底面半径，母线长：
计算底面积：由圆的面积公式得；
计算侧面积：由圆锥侧面积公式得；
计算表面积：将两部分面积相加得
故答案为：A
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式和底面积公式.利用圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，利用圆锥的底面积公式可求出底面积，将圆锥的侧面积和底面积相加可求出表面积.
2．在中，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查平面向量基本定理.先根据，得：，利用平面向量的加法可得，再根据向量的减法可得：，代入进行计算可求出答案.
3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，
由斜二测画法可知，
所以，
故选：C．
【分析】根据斜二测法，还原直方图，然后利用勾股定理计算边长即可.
4．已知复数为纯虚数，则的值为（　　）
A．或3 B． C．3 D．6
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】对于复数，若为纯虚数，需满足. 本题中复数的实部为，虚部为，
因此：令实部为0：，因式分解得，解得或；
令虚部不为0：，即。 综上舍去，得；
综上所述，
故答案为：B
【分析】本题考查纯虚数的定义.根据纯虚数的定义可得：纯虚数，实部为0、虚部不为0，据此可列出方程：和不等式，解方程和不等式可求出m的值.
5．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】上底面周长为，边长为，面积为.
下底面周长为，边长为，面积为.
所以方亭的体积为.
故答案为：D
【分析】本题考查台体的体积公式，先利用正棱台的定义，结合上下底面的周长可求出上下底面的边长，再利用台体体积公式进行计算可求出答案.
6．已知，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，设向量与的夹角为
所以，
又因为，所以
故答案为：B.
【分析】根据向量夹角公式进行求解.
7．如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】连接交于点，连接．
平面，平面，平面平面，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查线面平行的性质定理和平行线分线段成比例定理.连接交于点，利用直线与平面平行的性质定理可推出：，再利用平行线分线段成比例定理可得：，代入数据可求出答案．
8．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为等边的边长为，所以，
又点为边的中点，所以，
设，则，
所以，
设，
由二次函数开口向上，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查平面向量的数量积和平面向量的坐标法. 取的中点，连接，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出，利用平面向量的数量积公式得：，设，利用二次函数的性质可求出最大值，进而可求出答案.
9．已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．的共轭复数的虚部是 B．是方程的一个根
C． D．表示的点在第一象限
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】首先化简复数：，
对于A：，复数的虚部为的系数，故的虚部是，A正确；
对于B：将代入方程，左边，因此不是该方程的根，B错误；
对于C：复数模长公式为，故，C正确；
对于D：对应复平面的点坐标为，横、纵坐标均为正，位于第一象限，D正确。
故答案为：ACD
【分析】先利用复数的除法运算可得：，，进而可求出的虚部，判断A选项；根据复数方程的定义将代入方程左边，计算可得，据此可判断B选项；利用复数的模长计算公式可求出，据此可判断C选项；先根据复数的几何意义可得：对应复平面的点坐标为，进而可判断点所在的象限，判断D选项.
10．已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．，或
B．若，，则
C．，
D．，
【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，由，，若，则；若，也满足条件，故或，A正确.
对于B，由，，可得，B正确.
对于C，由，，结合面面平行的传递性，且互不相同，故，C正确.
对于D，由，，可知为两平面的公共点，故是过的直线，而非点，D错误.
故答案为：ABC
【分析】利用直线与平面平行的性质可得：或，据此可判断A选项；利用直线与平面垂直的性质可判断B选项；利用平面与平面平行的性质可得，判断C选项；利用平面与平面相交的定义可判断D选项.
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．当时， D．的取值可能是
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】对于A：由，三角形面积，两式相除得，即，
解得，又，故，A错误；
对于B：由，代入，得，B正确；
对于C：当时，由得，由余弦定理，故，C正确；
对于D：由余弦定理得，根据基本不等式，故，
即，，且当时，，结合，可解得正实数存在，故可以为2，D正确.
故答案为：BCD
【分析】利用平面向量的数量积和三角形的面积计算公式可求出的值，据此可求出角B，判断A选项；将角B的值代入进行计算可求出ac的值，据此可判断B选项；将a的值代入，可求出c的值，利用余弦定理得：b的值，据此可判断C选项；利用余弦定理可得，利用基本不等式可求出，进而可求出b的值，判断D选项.
12．某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学　 　人.
【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由男女生人数比为5：4，得男生占全班人数的比例为.
根据等比例分层抽样的性质，样本中男生的占比与总体一致，
因此应抽取的男同学人数为.
故答案为：10
【分析】先根据男女生人数比为5：4，求出男生占全班人数的比例，再利用等比例分层抽样中样本与总体各层比例一致的性质，用18乘以比例可求出抽取的男同学人数.
13．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于　 　.
【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高，
球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ，
根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为
故答案为：
【分析】本题考查圆锥外接几何体问题.先确定圆心，圆心为圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，利用几何关系：，代入数据可求出半径R的值，结合球的表面积公式，可求出球的表面积.
14．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】取线段的中点，易知平面，
则直线与平面所成角，
则，
在等腰直角三角形中，当时，最短，
此时，
故的最大值为.
故答案为：
【分析】 取线段的中点，利用直线与平面所成角的定义可得：直线与平面所成角，则，利用等腰三角形的性质可得 在等腰直角三角形中，当时，最短，进而可求出HG的长度，代入进行计算可求出答案.
15．已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求.
【答案】（1）当时，，则，所以.
（2）因为，所以，又，所以，解得：.
（3）因为，所以，
又，所以，解得：.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先利用平面向量的坐标运算可求出，再利用平面向量坐标的模长计算公式进行计算可求出答案；
（2）利用两向量垂直的充要条件：，可列出式子，解方程可求出m的值；
（3）利用平面向量的坐标运算进行计算可得：，利用平面向量平行的坐标运算公式：，可列出方程，解方程可求出m的值.
（1）当时，，则，所以.
（2）因为，所以，又，所以，解得：.
（3）因为，所以，
又，所以，解得：.
16．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）取的中点，连接，
由，得四边形为平行四边形，所以.
由， ，
得四边形为平行四边形，所以 .
因为平面，平面，
所以平面.
同理可得， 平面.
因为平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面；
（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，
，
，
，
所以，所以.
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为
.
三棱锥的体积.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用平行四边形的性质可得：， ，利用平面平面平行的判定定理可证平面平面，利用平面与平面平行的判定定理可得：平面；
（2）结合（1）利用异面直线夹角的定义可得：异面直线与所成角为，利用正弦函数的定义和勾股定理可求出各边长，利用余弦的定义可求出，进而可求出异面直线与所成角的余弦值；
（3）利用三棱柱的性质可求出正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比据此可得：三棱锥的体积，代入数据可求出体积.
（1）略
（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，
，
，
，
所以，所以.
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为
.
三棱锥的体积.
17．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得.
（1）求的长度；
（2）求，之间的距离.
【答案】（1）在中，由题意可知，，
所以．
由正弦定理得，
即．
故的长度为．
（2）在中， 因为点测得的俯角为，所以，
则．
由正弦定理得， 即．
在中，，
由余弦定理得 ，
所以．
故之间的距离为．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1） 在中，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理可得：，代入数据进行计算可求出的长度；
（2） 在中，利用正弦定理可得，代入数据进行计算可求出的长度，进而可求出的大小，在中利用余弦定理可求出的长度，进而求出距离.
（1）在中，由题意可知，，
所以．
由正弦定理得，
即．
故的长度为．
（2）在中， 因为点测得的俯角为，所以，
则．
由正弦定理得， 即．
在中，，
由余弦定理得 ，
所以．
故之间的距离为．
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面.
（2）证明：因为，所以，
又，所以在中，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）由（2）平面，平面，所以，
又，所以为二面角所成角，
因为平面，平面，所以，
在中，由，则，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先利用直线与直线垂直的性质可得：，又知平面，利用直线与平面垂直的性质可得：，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面.
（2）先利用勾股定理可求出AC的长度，通过计算可得，又知平面，得：，利用直线与平面垂直的判定定理可得：平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（3）结合（2），利用二面角的定义可得：以为二面角所成角，解三角形可得.
（1）略
（2）略
（3）由（2）平面，平面，所以，
又，所以为二面角所成角，
因为平面，平面，所以，
在中，由，则，
所以.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】（1）由正弦定理得，展开并整理得.
结合余弦定理，可得，又，故.
（2）由三角形面积公式，代入、，得，解得.
由，得.
结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）.
（3）由正弦定理，，故，.
由，得.
因为锐角三角形，故，解得.
则，展开并化简得.
由，得，故，因此.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先对式子化简可得：，再利用余弦定理求出cosB的值，进而可推出B的大小；
（2）利用三角形的面积计算公式求出ac的值，又，结合余弦定理可得： ，进而可求出的长度.
（3）利用正弦定理表示出a和c.根据为锐角三角形可得：，进而可求出角A的范围，利用辅助角公式化简可得：，利用三角形函数的定义可求出，进而可求出的取值范围.
（1）由正弦定理得，展开并整理得.
结合余弦定理，可得，又，故.
（2）由三角形面积公式，代入、，得，解得.
由，得.
结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）.
（3）由正弦定理，，故，.
由，得.
因为锐角三角形，故，解得.
则，展开并化简得.
由，得，故，因此.
1 / 1广西百色高级中学2025-2026学年高一下学期期中自主检测练习数学试卷
1．已知一个圆锥的底面半径为3，母线长，则该圆锥的表面积是（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（　　）
A． B． C． D．5
4．已知复数为纯虚数，则的值为（　　）
A．或3 B． C．3 D．6
5．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．已知，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，（ ）
A． B． C． D．
8．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（　　）
A． B． C． D．
9．已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．的共轭复数的虚部是 B．是方程的一个根
C． D．表示的点在第一象限
10．已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．，或
B．若，，则
C．，
D．，
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．当时， D．的取值可能是
12．某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学　 　人.
13．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于　 　.
14．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为　 　.
15．已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求.
16．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积.
17．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得.
（1）求的长度；
（2）求，之间的距离.
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求二面角所成角的余弦值.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，的面积为，求；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，计算公式为， 已知圆锥底面半径，母线长：
计算底面积：由圆的面积公式得；
计算侧面积：由圆锥侧面积公式得；
计算表面积：将两部分面积相加得
故答案为：A
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式和底面积公式.利用圆锥的侧面积公式求出圆锥的侧面积，利用圆锥的底面积公式可求出底面积，将圆锥的侧面积和底面积相加可求出表面积.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】本题考查平面向量基本定理.先根据，得：，利用平面向量的加法可得，再根据向量的减法可得：，代入进行计算可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由直观图知原几何图形是直角梯形，如图，
由斜二测画法可知，
所以，
故选：C．
【分析】根据斜二测法，还原直方图，然后利用勾股定理计算边长即可.
4．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】对于复数，若为纯虚数，需满足. 本题中复数的实部为，虚部为，
因此：令实部为0：，因式分解得，解得或；
令虚部不为0：，即。 综上舍去，得；
综上所述，
故答案为：B
【分析】本题考查纯虚数的定义.根据纯虚数的定义可得：纯虚数，实部为0、虚部不为0，据此可列出方程：和不等式，解方程和不等式可求出m的值.
5．【答案】D
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】上底面周长为，边长为，面积为.
下底面周长为，边长为，面积为.
所以方亭的体积为.
故答案为：D
【分析】本题考查台体的体积公式，先利用正棱台的定义，结合上下底面的周长可求出上下底面的边长，再利用台体体积公式进行计算可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，设向量与的夹角为
所以，
又因为，所以
故答案为：B.
【分析】根据向量夹角公式进行求解.
7．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】连接交于点，连接．
平面，平面，平面平面，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查线面平行的性质定理和平行线分线段成比例定理.连接交于点，利用直线与平面平行的性质定理可推出：，再利用平行线分线段成比例定理可得：，代入数据可求出答案．
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为等边的边长为，所以，
又点为边的中点，所以，
设，则，
所以，
设，
由二次函数开口向上，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查平面向量的数量积和平面向量的坐标法. 取的中点，连接，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出，利用平面向量的数量积公式得：，设，利用二次函数的性质可求出最大值，进而可求出答案.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】首先化简复数：，
对于A：，复数的虚部为的系数，故的虚部是，A正确；
对于B：将代入方程，左边，因此不是该方程的根，B错误；
对于C：复数模长公式为，故，C正确；
对于D：对应复平面的点坐标为，横、纵坐标均为正，位于第一象限，D正确。
故答案为：ACD
【分析】先利用复数的除法运算可得：，，进而可求出的虚部，判断A选项；根据复数方程的定义将代入方程左边，计算可得，据此可判断B选项；利用复数的模长计算公式可求出，据此可判断C选项；先根据复数的几何意义可得：对应复平面的点坐标为，进而可判断点所在的象限，判断D选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，由，，若，则；若，也满足条件，故或，A正确.
对于B，由，，可得，B正确.
对于C，由，，结合面面平行的传递性，且互不相同，故，C正确.
对于D，由，，可知为两平面的公共点，故是过的直线，而非点，D错误.
故答案为：ABC
【分析】利用直线与平面平行的性质可得：或，据此可判断A选项；利用直线与平面垂直的性质可判断B选项；利用平面与平面平行的性质可得，判断C选项；利用平面与平面相交的定义可判断D选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】对于A：由，三角形面积，两式相除得，即，
解得，又，故，A错误；
对于B：由，代入，得，B正确；
对于C：当时，由得，由余弦定理，故，C正确；
对于D：由余弦定理得，根据基本不等式，故，
即，，且当时，，结合，可解得正实数存在，故可以为2，D正确.
故答案为：BCD
【分析】利用平面向量的数量积和三角形的面积计算公式可求出的值，据此可求出角B，判断A选项；将角B的值代入进行计算可求出ac的值，据此可判断B选项；将a的值代入，可求出c的值，利用余弦定理得：b的值，据此可判断C选项；利用余弦定理可得，利用基本不等式可求出，进而可求出b的值，判断D选项.
12．【答案】
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由男女生人数比为5：4，得男生占全班人数的比例为.
根据等比例分层抽样的性质，样本中男生的占比与总体一致，
因此应抽取的男同学人数为.
故答案为：10
【分析】先根据男女生人数比为5：4，求出男生占全班人数的比例，再利用等比例分层抽样中样本与总体各层比例一致的性质，用18乘以比例可求出抽取的男同学人数.
13．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高，
球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ，
根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为
故答案为：
【分析】本题考查圆锥外接几何体问题.先确定圆心，圆心为圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，利用几何关系：，代入数据可求出半径R的值，结合球的表面积公式，可求出球的表面积.
14．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】取线段的中点，易知平面，
则直线与平面所成角，
则，
在等腰直角三角形中，当时，最短，
此时，
故的最大值为.
故答案为：
【分析】 取线段的中点，利用直线与平面所成角的定义可得：直线与平面所成角，则，利用等腰三角形的性质可得 在等腰直角三角形中，当时，最短，进而可求出HG的长度，代入进行计算可求出答案.
15．【答案】（1）当时，，则，所以.
（2）因为，所以，又，所以，解得：.
（3）因为，所以，
又，所以，解得：.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）先利用平面向量的坐标运算可求出，再利用平面向量坐标的模长计算公式进行计算可求出答案；
（2）利用两向量垂直的充要条件：，可列出式子，解方程可求出m的值；
（3）利用平面向量的坐标运算进行计算可得：，利用平面向量平行的坐标运算公式：，可列出方程，解方程可求出m的值.
（1）当时，，则，所以.
（2）因为，所以，又，所以，解得：.
（3）因为，所以，
又，所以，解得：.
16．【答案】（1）取的中点，连接，
由，得四边形为平行四边形，所以.
由， ，
得四边形为平行四边形，所以 .
因为平面，平面，
所以平面.
同理可得， 平面.
因为平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面；
（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，
，
，
，
所以，所以.
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为
.
三棱锥的体积.
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用平行四边形的性质可得：， ，利用平面平面平行的判定定理可证平面平面，利用平面与平面平行的判定定理可得：平面；
（2）结合（1）利用异面直线夹角的定义可得：异面直线与所成角为，利用正弦函数的定义和勾股定理可求出各边长，利用余弦的定义可求出，进而可求出异面直线与所成角的余弦值；
（3）利用三棱柱的性质可求出正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比据此可得：三棱锥的体积，代入数据可求出体积.
（1）略
（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，
，
，
，
所以，所以.
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为
.
三棱锥的体积.
17．【答案】（1）在中，由题意可知，，
所以．
由正弦定理得，
即．
故的长度为．
（2）在中， 因为点测得的俯角为，所以，
则．
由正弦定理得， 即．
在中，，
由余弦定理得 ，
所以．
故之间的距离为．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1） 在中，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理可得：，代入数据进行计算可求出的长度；
（2） 在中，利用正弦定理可得，代入数据进行计算可求出的长度，进而可求出的大小，在中利用余弦定理可求出的长度，进而求出距离.
（1）在中，由题意可知，，
所以．
由正弦定理得，
即．
故的长度为．
（2）在中， 因为点测得的俯角为，所以，
则．
由正弦定理得， 即．
在中，，
由余弦定理得 ，
所以．
故之间的距离为．
18．【答案】（1）证明：因为，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面.
（2）证明：因为，所以，
又，所以在中，，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）由（2）平面，平面，所以，
又，所以为二面角所成角，
因为平面，平面，所以，
在中，由，则，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）先利用直线与直线垂直的性质可得：，又知平面，利用直线与平面垂直的性质可得：，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面.
（2）先利用勾股定理可求出AC的长度，通过计算可得，又知平面，得：，利用直线与平面垂直的判定定理可得：平面，利用平面与平面垂直的判定定理可证明结论；
（3）结合（2），利用二面角的定义可得：以为二面角所成角，解三角形可得.
（1）略
（2）略
（3）由（2）平面，平面，所以，
又，所以为二面角所成角，
因为平面，平面，所以，
在中，由，则，
所以.
19．【答案】（1）由正弦定理得，展开并整理得.
结合余弦定理，可得，又，故.
（2）由三角形面积公式，代入、，得，解得.
由，得.
结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）.
（3）由正弦定理，，故，.
由，得.
因为锐角三角形，故，解得.
则，展开并化简得.
由，得，故，因此.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先对式子化简可得：，再利用余弦定理求出cosB的值，进而可推出B的大小；
（2）利用三角形的面积计算公式求出ac的值，又，结合余弦定理可得： ，进而可求出的长度.
（3）利用正弦定理表示出a和c.根据为锐角三角形可得：，进而可求出角A的范围，利用辅助角公式化简可得：，利用三角形函数的定义可求出，进而可求出的取值范围.
（1）由正弦定理得，展开并整理得.
结合余弦定理，可得，又，故.
（2）由三角形面积公式，代入、，得，解得.
由，得.
结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）.
（3）由正弦定理，，故，.
由，得.
因为锐角三角形，故，解得.
则，展开并化简得.
由，得，故，因此.
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