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第二讲　函数的最值
主讲人：高云
一、选择题
1．如果在区间[1,2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是
A．4++ B．4－+ C．1－+ D．以上答案都不对
解析：B
2．已知x、y都在区间(－2,2)内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是
A． B． C． D．
解析：D
3．已知a、b、cR*，则f(x)=+的最小值是
A．+ B．+
C．c++ D．
解析：D
二、填空题
4．f(x)=|x2－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值为　　　　　。
解析：
5．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[－3,3]上的最小值是　　　　　。
解析：4
6．若不等式|x－4|+|x－2|+|x－1|+|x|≥a对一切实数x成立，则a的最大可能值是　　　　。
解析：5
三、解答题
7．在区间[,2]上，函数f(x)=－x2+px+q与g(x)=在同一点取得相同的最大值，求f(x)在区间[,2]上的最小值。
解析：∵g(x)==≤
∴当x=1时，gmax(x)=
∴f(x)=－(x－1)2+
∴当x=2时，fmin(x)=－。
8．已知定义在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=－。
①求证：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R上是减函数；③求f(x)在[－3,6]上的最值。
解析：①令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x得f(x)+f(－x)=f(0)=0f(－x)=－f(x)f(x)为奇函数
②设x1、x2R且x1>x2，则x1－x2>0f(x1－x2)<0
∴f(x1)－f(x2)=f[(x1－x2)+x2]－f(x2)= f(x1－x2)+f(x2)－f(x2)= f(x1－x2)<0
∴f(x)为减函数
③由②知fmin(x)=f(－3)=－f(3)=－[f(2)+f(1)]=－3f(1)=2；fmax(x)=f(6)=6f(1)=－4。
9．已知a为正常数，x>0，求函数y=x++的最小值。
解析：∵y=x++= x++
∴令t= x+
∵a为正常数，x>0 t= x+≥2
∴y=t+ (t≥2)
∴①当0②当a>时，t≥2≥1, y=t+是增函数当t=2时，ymin=2+；
10．已知f(x)=ax2+bx+c，其中aN*,bN,cZ。
①若b>2a，且f(sinx) (xR)的最大值为2，最小值为－4，试求f(x)的最小值；
②若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立，且存在x0，使得f(x0)<2(x02+1)成立，试求c的值。
解析：①∵b>2a－<－1f(x)在[-1,1]上的增函数
∵|sinx|≤1
∴fmin(sinx)=f(－1)=－4, fmax(sinx)=f(1)=2
a－b+c=－4, a+b+c=2
b=3
∴a=1, c=－2
∴f(x)=x2+3x－2=(x+)2－
∴当x=－时，fmin(x)=－。
②令x=1代入4x≤f(x)≤2(x2+1)得f(1)=4a+b+c=4
∵4x≤f(x)ax2+(b－4)x+c≥0恒成立
∴ ≤0(b-4)2-4ac≤0(-a-c)2-4ac≤0(a-c)2≤0a=c
∵bNa+c≤42c≤4c≤2c=1或c=2
经检验c=2不合题意，应舍去
∴c=1
11．求函数y=的最值，其中|x|≤1。
解析：∵y==(x2+2x+7)+－1
设u= x2+2x+7=(x+1)2+6[6,10]
∵y=u+－1在[6,8]上是减函数；在[8,10]上的增函数
∴ymin=15；ymax=
12．已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (tR是参数)，如果x[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t的取值范围。
解析：∵f(x)≤g(x)
∴x[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立 x[0,1]时，t≥－2x+恒成立
设h(x)= －2x+，令u=x=u2－1 (1≤u≤)
∴h(x)=－2(u－)2+
∴当u=1x=0时，hmax(x)=1
∴t的取值范围为[1,+∞)。
13．已知函数f(x)=log2 (m,nR)。
①若mN*,xR且f(x)的最大值为2，最小值为1，求m,n的值；
②若n=－1，且f(x)的值域为R，求m的取值范围。
解析：①令t=(3-mt)x2+2x+n-t=0
∵ ≥04－4(3-mt)( n-t)≥0mt2－(3+mn)t+3n-1≤0
∵2≤t≤4
∴或(不符合题意，舍去)
②∵t=(3-mt)x2+2x-1-t=0
∴ ≥04-4(3-mt)( -1-t)≥0mt2-(3-m)t-4≤0
(1)当m=0时，t≥-，符合题意
(2)当m≠0时，要使函数的值域包含(0,+∞)，只须m<0时，方程mt2-(3-m)t-4=0有两个负根
∴m≤-9或-1≤m<0
∴所求m的联欢会范围为(-∞,9]∪[-1,0]。
14．求函数f(x)=－的最大值。
解析：∵f(x)=－=－
∴函数y=f(x)的几何意义是抛物线y=x2上的点P(x,x2)到两定点A(3,2), B(0,1)的距离之差
∴|PA|－|PB|≤|AB|=（用几何画板演示）
15．设f(x)=－x2+2tx－t, x[－1,1]，求[f(x)max]min。
解析：∵f(x)=－x2+2tx－t=－(x－t)2+t2－t, x[－1,1]
①当t≤－1时，f(x)max=f(－1)
②当－1③当t≥1时，f(x)max=f(1)
∴f(x)max=
∴[f(x)max]min=－。
16．设f(x)=x2+px+q (p,qR)。若|f(x)|在[－1,1]上的最大值为M，求M的最小值。
解析：
17．设关于x的一元二次方程2x2―tx―2=0的两个根为 。
①若x1、x2为区间 ]上的两个不同的点，求证：4x1x2－t(x1+x2)－4<0；
②设f(x)=，f(x)在区间 ]上的最大值和最小值分别为fmin(x)和fmax(x)，g(t)=fmax(x)－fmin(x)，求g(t)的最小值。
解析：
18．设实数x、y满足4x2－5xy+4y2=5，设S=x2+y2，求+。（1993年全国联赛）
解析：∵x=y=0不满足4x2－5xy+4y2=5
∴S≠0
∵S=x2+y21=
∴4x2－5xy+4y2=54x2－5xy+4y2=5
不妨设y≠0
∴(4S－5)()2－5S +(4S－5)=0
∵R
∴ ≥0(5S)2－4(4S－5)2≥0≤S≤≤≤
∴+=+=
19．若函数f(x)=－x2+在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]。（2000年全国联赛）
解析：分三种情况讨论
①若0≤a∴
②若a<0∴或
③若a∴无解
∴所求的区间为[1,3]或[―2―,]。
20．实数a,b,c和正数 使得f(x)=x3+ax2+bx+c, f(x)=0有三个实数根x1、x2、x3，且满足：①x2-x1= ；②x3>(x1+x2)；求的最大值。
解析：∵f(x3)=0
∴f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b]
∴x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b=0的两根x1+x2=-(a+x3), x1x2=x32+ax3+b
∵x2-x1= (a+x3)-4(x32+ax3+b)= 3x32+2ax3+ 2+4b-a2=0
x3=(-a+) (*)且4a2-12b-3 ≥0 (**)
注意：由条件①②可得x3>-
∵f(x)=x3+ax2+bx+c=(x+)3-(-b)(x+)+a3+c-ab
∵f(x3)=0ab-a3-c=(x3+)3-(-b)(x3+) (***)
由(*)得x3+a==
令p=-b
由(**)(***)得p≥且ab-a3-c=(p- 2)
令y=
∴y≥0且ab-a3-c=y(y2- 2)
∵y(y2- 2)+ 2=y3-x3y+ 2=(y- )2(y+ )≥0
∴ab-a3-c≥- 32a3+27c-9ab≤ 3≤
取a=2, b=2, c=0, =2，则f(x)=x3+2x2+2x有艰--1, -+1, 0显然假设条件成立且
=(48-36)=
∴()max=

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