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广东省深圳市翠园中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知点，直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．若D为椭圆上任意一点，，为椭圆Q的左右焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
8．已知圆，圆，动圆与圆，圆都相切，若动圆圆心的轨迹是两个椭圆，且两个椭圆的离心率分别为，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距是
C．过点且在轴截距相等的直线方程为
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．
C．平面
D．直线与所成角的余弦值为
11．已知在中，内角的对边分别为，，，外接圆半径为5，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．是锐角三角形
C． D．的面积为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，三点共线，则　 　.
13．已知直线与直线垂直，则实数的值为　 　．
14．规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”.若函数与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为，，，且，若存在，，使得不等式成立，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
16．在平面直角坐标系中，已知.
（1）证明：四点共圆；
（2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程；
（3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
17．某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.
人数（万）
频数（天） 8 8 16 24 24 a 32
（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的分位数；
（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
18．如图，在四棱锥中，底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，且；
（i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径；
（ii）求二面角的正弦值.
19．（1）已知：如图，两同心圆：和.为大圆上一动点，连接（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为.当点在大圆上运动时，求证：垂足的轨迹是椭圆，并求出椭圆的轨迹方程.
（2）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，是以椭圆为底面的“椭圆柱”，，为下底面椭圆的左右焦点，，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与重合）.求三棱锥的体积的取值范围.
（3）已知集合，，求集合表示的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：∵集合，集合，∴．
故答案为：A
【分析】首先根据一元二次不等式求出全集，再根据补集的定义计算即可；
2．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为AB为直径，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
故答案为：C
【分析】以线段 AB 为直径的圆，核心是确定圆心（AB 的中点）和半径（AB 长度的一半），再代入圆的标准方程。
3．【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
因为与垂直，所以，
解得，所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】先求出，再利用空间向量垂直的坐标表示即可求出，然后计算 即可．
4．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线的距离，当时，，当时，，恒有，于是得，综合得，所以点P到直线l的距离的取值范围是.
故答案为：C
【分析】首先利用点到直线距离公式进行列式，再借助函数进行求其值域即可得到范围.
5．【答案】D
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设关于直线对称的点为，
则，
解得，则，
因为入射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，
则入射光线所在直线方程为，即．
故答案为：D.
【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标和两点求斜率公式，再根据点斜式得出入射光线所在直线方程．
6．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆，得，由得圆心，半径，由点D为椭圆上任意一点，得，所以，所以，，
当且仅当三点共线，且在之间时取等号，故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可进行表示，再进而化简可得，利用三点共线进而可求最小值.
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：
在上取点，使得，则，当时，取得最小值，即的最小值为，因为此时，恰为的中点，所以，因此，，设外接球的半径为，则，解得，
因此，外接球的表面积为.
故答案为：B
【分析】首先添加辅助线，在上取与点对应的点，可得知，因此三点共线时距离最短，即取最小值，，M为PD的中点，利用勾股定理求出AC的长度以及求出PA的长度，再次结合勾股定理求出OP的长度，即为棱锥的高，外接球的球心在OP所在的直线上，然后表示外接球半径为r，通过勾股定理进行设方程，计算出球的半径，再结合球的表面积公式S=4πR2，可得出结果.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，如图1，动圆M与圆内切，切点为，与圆外切，切点为，
此时，所以，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，此时，故，故离心率为，
如图2，当动圆M与圆，圆均内切，切点分别为，，
，则，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，此时，故，故离心率为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题目要求进行画出图形，首先讨论当动圆M与圆内切，与圆外切，利用椭圆的定义C1M+C2M=2a，表示出a以及c，然后表示离心率为，在再讨论当动圆M与圆，圆均内切，表示出C1M+C2M=2a，然后表示出a以及c，表示该椭圆的离心率为，最后通过计算可求答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】两条直线平行的判定；直线的截距式方程；恒过定点的直线；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：对于A，由，显然时，恒成立，
即该直线恒过定点，故A正确；
对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确；
对于C，若截距均为0，则该直线为；
若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得，
即，故C错误；
对于D，由两直线平行可知，
此时方程可化为，故两直线距离为，
故D正确.
故答案为：ABD
【分析】对直线方程进行变形，得到定点即可判断A；根据方程求出截距即可判断B；分截距为零和不为零两种情况，利用截距式得到方程即可判断C；由平行可得，再根据平行线间的距离公式得到距离即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、以为空间一组基底，，，
所以
，所以不垂直于，A不符合题意；
B、因为，所以
，所以，B符合题意；
C、依题意可知，四边形是菱形，所以，又，所以，所以，所以，
又，平面，所以平面，C符合题意；
D、设直线与所成角为，因为，所以，
所以，所以，
所以直线与所成角的余弦值为，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】可以以为空间一组基底，A项，两个向量用基底向量进行表示，再用数量积判断是否垂直；B项表示向量进行平方即可；C项利用线线垂直证明线面垂直；D项表示两个向量进行求余弦值即可；
11．【答案】A,C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，因此；所以由可得；即，其中；再由三角函数值域可知，因此只有当时，等式成立；
因此，即，可知，A符合题意；
B、由分析可知，即；又，，所以，因此为钝角，即为钝角三角形，B不符合题意；
C、由分析知，且，根据余弦定理可得，
解得，C符合题意；
D、此时三角形面积，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】首先利用三角形内角和为π以及诱导公式，结合辅助角公式进行化简，再结合三角函数的值域可以得到 ，可得。A项：，即可判断；B项：，即B=C；再结合，即可判断为钝角；C项：因为B=C，所以b=c，然后利用正弦定理求得a，即，再用余弦定理计算求出b值即可；D项：直接运用三角形面积公式即可.
12．【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：由题意，，因为，所以，所以，，所以.
故答案为：
【分析】由题意可知，根据点坐标先表示出， ，再利用向量的共线定理表示出 ，进行列方程即可求解a、b值即可得答案.
13．【答案】2或0
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由于直线与直线垂直，故，解得或0．
故答案为：2或0．
【分析】由题意可知，先将一般式直线方程转化为斜截式方程，分别表示出l1以及l2的斜率，由两直线垂直斜率之积为-1，求出a值，注意要考虑斜率不存在的情况.
14．【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中作出与的部分图象，如图：
由，得，显然，
当时，，即，
当，解得，
当时，，即，解得，
观察图象知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，，，
因此，，，
则，
由，得，，于是，
不等式，而，
则有，依题意，
存在，，使得不等式成立，
从而，即，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】首先根据题意，可先作出函数与草图，联立进行拆绝对值即可得到一元二次方程，利用求根公式进行求解，表示出，，，将 分离参数得到，根据存在性问题，表示出最值，最后转化为关于的一元二次不等式求解即得.
15．【答案】（1）解：法一：由余弦定理可得，，
整理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以．
法二：由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）解：在中，由余弦定理得：，解得，
法一：，
在中，由余弦定理得：，得：．
法二：因为，所以，
所以，
所以，
解得：．
法三：因为，所以，
，所以．

【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）法一：根据余弦定理进行边角化边可得，再利用正弦定理即可求得cosB的值，进而可求得B；
法二：利用正弦定理进行边化角可得，再结合诱导公式和两角和的正弦公式化简可求得cosB的值，进而可求得B；
（2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求.
法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值.
法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值.
（1）法一：因为，由余弦定理：，
得：，则，因为，所以．
法二：因为，由正弦定理得：
，，
，，
因为，所以，因为，所以．
（2）在中，由余弦定理得：，
得：，
法一：，
在中，由余弦定理得：，得：．
法二：因为，所以，
所以，
所以，解得：．
法三：因为，所以，
，所以．
16．【答案】（1）解：设经过三点的圆的方程为，
则，
解方程组可得，
所以圆的方程为（或）；
又点在圆上，
所以证得四点在圆上；
（2）解：当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立；
当斜率存在时，设直线方程为，
即，
所以可得，可得，
所以直线为，
所以所求切线方程为或；
（3）解：设的坐标为，依题意可得，
平方化简可得的轨迹方程为，
两圆圆心的距离，
所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点.
【知识点】圆的一般方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）设经过三点的圆的方程为，再列方程组求出圆的方程，再代入D点坐标判断即可；
（2）分直线斜率不存在、存在两种情况进行讨论，结合相切的几何意义求解即可；
（3）设的坐标为，进而可得的轨迹方程为，再判断两圆的位置关系即可得出结论．
（1）设经过三点的圆的方程为，
则，
解方程组可得，
所以圆的方程为（或）；
又点在圆上，
所以证得四点在圆上；
（2）当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立；
当斜率存在时，设直线方程为，
即，
所以可得，可得，
所以直线为，
所以所求切线方程为或；
（3）设的坐标为，依题意可得，
平方化简可得的轨迹方程为，
两圆圆心的距离，
所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点.
17．【答案】（1）解：由总人数为160知.
由图表知道人数在1.0以下的是，在1.2以下的是，
我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，，所以分位数是.
画出频率分布直方图如下所示：
（2）解：由题意知：当时，元.
当时，，
所以.
设销售的利润不少于7000元的事件记为A，实际上得到，
此时.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）首先利用总人数即可求出的值，判断分位数对应频率为0.65的位置，先判断所在区间，再根据该区间的占比情况求出具体的数值，进行计算即可；
（2）由该店准备1000杯饮品，要想卖完需要进入游客为10000人，因此以10000为分界进行讨论分析，分为x≥10000以及x＜10000可以分两段求解与的关系，即可得到分段函数的解析式，然后再结合利用古典概型的概率公式求解即可．
（1）解：由总人数为160知.
由图表知道人数在1.0以下的是，在1.2以下的是，
我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，，所以分位数是.
画出频率分布直方图如下所示：
（2）解：由题意知：当时，元.
当时，，
所以.
设销售的利润不少于7000元的事件记为A，实际上得到，
此时.
18．【答案】（1）证明：由余弦定理，有，
因为，即，所以，
因为底面平面，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：
（i）连接，
因为平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，同理，有，
因为底面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，因此，有，
所以为四棱锥的外接球的球心.
按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接，由，有，
又，所以是正三角形，
有，易知，
设，则，有，
因为，所以，
有，得，
即，有，
故四棱锥的外接球的半径为
（ii），得，
设平面的法向量为，
由有
则，取，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由有
取，则，
得平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）首先由余弦定理先求得，根据长度关系可得，则，再由线面垂直的性质（若直线垂直平面，则垂直于平面内所有的直线），得到，即有平面，再结合垂直的判定定理（平面内的一条直线垂直另一个平面，则这两个平面垂直）即可得证；
（2）（i）添加辅助线进行连接，结合线面垂直的性质可以得到：，，F是PC的中点，可知，可得出为四棱锥的外接球的球心；然后建立空间直角坐标系，利用三角形全等得出AB=AD，又因为，所以证明出等边三角形，设，然后分别求出点坐标，因为，利用数量积公式可以得到，求得的值，再进而根据，利用勾股定理即可求解；（ii）先分别求得平面的法向量与平面的法向量，然后利用空间向量法求得二面角的余弦值，再结合sin2+cos2=1求出正弦值即可.
（1）由余弦定理，
有，
因为，即，
所以，
因为底面平面，
所以，
因为平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）（i）连接，
因为平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，同理，有，
因为底面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，因此，有，
所以为四棱锥的外接球的球心.
按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接，由，有，
又，所以是正三角形，
有，易知，
设，则，有，
因为，所以，
有，得，
即，有，
故四棱锥的外接球的半径为
（ii），得，
设平面的法向量为，
由有
则，取，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由有
取，则，
得平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则
19．【答案】证明：（1）设点，，则，令，即，
∵，∴，
即的轨迹是椭圆，椭圆的轨迹方程：.
解：（2）由，
正方形中为中点，易得与重合时与垂直，
此时，，则最大值为，
如上图，构建平面直角坐标系，则，底面椭圆方程为，
设，设，
联立椭圆得，且，
所以，，
而，
令，则，
由对勾函数性质知在上递增，
故，
由
综上所述
解：（3）设椭圆方程为，设点，则点在椭圆上，所以过点作椭圆的切线，则切线方程为，即
∴表示的是椭圆所有切线的集合，即椭圆即椭圆外部所有的点，即，
∴表示椭圆内部，即，
椭圆的面积.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；圆锥曲线的轨迹问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用圆的参数方程分别表示出和R的坐标，然后再结合两点坐标可以表示出的坐标，因为求Q即轨迹方程，可以将Q表示为（x，y）结合由K和R表示的Q点坐标，去建立x与y的关系即可；
（2）结合，因为P为的中点，与重合时与垂直，即可表示出最大值，然后可设直线方程并与椭圆方程进行联立消x可得到：，表示出韦达定理，再去表示，然后利用换元法以及对勾函数判断单调性求出值域，最后求得的范围；
（3）首先利用椭圆的参数方程表示出P点坐标，然后表示出椭圆上P点的切线方程：，由椭圆的切线方程分析得到集合是椭圆及椭圆外所有的点的集合，从而知道集合的几何意义，由椭圆的面积公式求得结果.
1 / 1广东省深圳市翠园中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：∵集合，集合，∴．
故答案为：A
【分析】首先根据一元二次不等式求出全集，再根据补集的定义计算即可；
2．已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为AB为直径，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
故答案为：C
【分析】以线段 AB 为直径的圆，核心是确定圆心（AB 的中点）和半径（AB 长度的一半），再代入圆的标准方程。
3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，所以，
因为与垂直，所以，
解得，所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】先求出，再利用空间向量垂直的坐标表示即可求出，然后计算 即可．
4．已知点，直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线的距离，当时，，当时，，恒有，于是得，综合得，所以点P到直线l的距离的取值范围是.
故答案为：C
【分析】首先利用点到直线距离公式进行列式，再借助函数进行求其值域即可得到范围.
5．暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：设关于直线对称的点为，
则，
解得，则，
因为入射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，
则入射光线所在直线方程为，即．
故答案为：D.
【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标和两点求斜率公式，再根据点斜式得出入射光线所在直线方程．
6．若D为椭圆上任意一点，，为椭圆Q的左右焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆，得，由得圆心，半径，由点D为椭圆上任意一点，得，所以，所以，，
当且仅当三点共线，且在之间时取等号，故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可进行表示，再进而化简可得，利用三点共线进而可求最小值.
7．如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：
在上取点，使得，则，当时，取得最小值，即的最小值为，因为此时，恰为的中点，所以，因此，，设外接球的半径为，则，解得，
因此，外接球的表面积为.
故答案为：B
【分析】首先添加辅助线，在上取与点对应的点，可得知，因此三点共线时距离最短，即取最小值，，M为PD的中点，利用勾股定理求出AC的长度以及求出PA的长度，再次结合勾股定理求出OP的长度，即为棱锥的高，外接球的球心在OP所在的直线上，然后表示外接球半径为r，通过勾股定理进行设方程，计算出球的半径，再结合球的表面积公式S=4πR2，可得出结果.
8．已知圆，圆，动圆与圆，圆都相切，若动圆圆心的轨迹是两个椭圆，且两个椭圆的离心率分别为，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得，如图1，动圆M与圆内切，切点为，与圆外切，切点为，
此时，所以，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，此时，故，故离心率为，
如图2，当动圆M与圆，圆均内切，切点分别为，，
，则，
故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，此时，故，故离心率为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题目要求进行画出图形，首先讨论当动圆M与圆内切，与圆外切，利用椭圆的定义C1M+C2M=2a，表示出a以及c，然后表示离心率为，在再讨论当动圆M与圆，圆均内切，表示出C1M+C2M=2a，然后表示出a以及c，表示该椭圆的离心率为，最后通过计算可求答案.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（　　）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距是
C．过点且在轴截距相等的直线方程为
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
【答案】A,B,D
【知识点】两条直线平行的判定；直线的截距式方程；恒过定点的直线；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：对于A，由，显然时，恒成立，
即该直线恒过定点，故A正确；
对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确；
对于C，若截距均为0，则该直线为；
若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得，
即，故C错误；
对于D，由两直线平行可知，
此时方程可化为，故两直线距离为，
故D正确.
故答案为：ABD
【分析】对直线方程进行变形，得到定点即可判断A；根据方程求出截距即可判断B；分截距为零和不为零两种情况，利用截距式得到方程即可判断C；由平行可得，再根据平行线间的距离公式得到距离即可判断D.
10．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且，则下列说法中正确的有（　　）
A．
B．
C．平面
D．直线与所成角的余弦值为
【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、以为空间一组基底，，，
所以
，所以不垂直于，A不符合题意；
B、因为，所以
，所以，B符合题意；
C、依题意可知，四边形是菱形，所以，又，所以，所以，所以，
又，平面，所以平面，C符合题意；
D、设直线与所成角为，因为，所以，
所以，所以，
所以直线与所成角的余弦值为，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】可以以为空间一组基底，A项，两个向量用基底向量进行表示，再用数量积判断是否垂直；B项表示向量进行平方即可；C项利用线线垂直证明线面垂直；D项表示两个向量进行求余弦值即可；
11．已知在中，内角的对边分别为，，，外接圆半径为5，且满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B．是锐角三角形
C． D．的面积为10
【答案】A,C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，因此；所以由可得；即，其中；再由三角函数值域可知，因此只有当时，等式成立；
因此，即，可知，A符合题意；
B、由分析可知，即；又，，所以，因此为钝角，即为钝角三角形，B不符合题意；
C、由分析知，且，根据余弦定理可得，
解得，C符合题意；
D、此时三角形面积，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】首先利用三角形内角和为π以及诱导公式，结合辅助角公式进行化简，再结合三角函数的值域可以得到 ，可得。A项：，即可判断；B项：，即B=C；再结合，即可判断为钝角；C项：因为B=C，所以b=c，然后利用正弦定理求得a，即，再用余弦定理计算求出b值即可；D项：直接运用三角形面积公式即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，三点共线，则　 　.
【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：由题意，，因为，所以，所以，，所以.
故答案为：
【分析】由题意可知，根据点坐标先表示出， ，再利用向量的共线定理表示出 ，进行列方程即可求解a、b值即可得答案.
13．已知直线与直线垂直，则实数的值为　 　．
【答案】2或0
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由于直线与直线垂直，故，解得或0．
故答案为：2或0．
【分析】由题意可知，先将一般式直线方程转化为斜截式方程，分别表示出l1以及l2的斜率，由两直线垂直斜率之积为-1，求出a值，注意要考虑斜率不存在的情况.
14．规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”.若函数与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为，，，且，若存在，，使得不等式成立，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中作出与的部分图象，如图：
由，得，显然，
当时，，即，
当，解得，
当时，，即，解得，
观察图象知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，，，
因此，，，
则，
由，得，，于是，
不等式，而，
则有，依题意，
存在，，使得不等式成立，
从而，即，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】首先根据题意，可先作出函数与草图，联立进行拆绝对值即可得到一元二次方程，利用求根公式进行求解，表示出，，，将 分离参数得到，根据存在性问题，表示出最值，最后转化为关于的一元二次不等式求解即得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
【答案】（1）解：法一：由余弦定理可得，，
整理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以．
法二：由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）解：在中，由余弦定理得：，解得，
法一：，
在中，由余弦定理得：，得：．
法二：因为，所以，
所以，
所以，
解得：．
法三：因为，所以，
，所以．

【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）法一：根据余弦定理进行边角化边可得，再利用正弦定理即可求得cosB的值，进而可求得B；
法二：利用正弦定理进行边化角可得，再结合诱导公式和两角和的正弦公式化简可求得cosB的值，进而可求得B；
（2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求.
法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值.
法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值.
（1）法一：因为，由余弦定理：，
得：，则，因为，所以．
法二：因为，由正弦定理得：
，，
，，
因为，所以，因为，所以．
（2）在中，由余弦定理得：，
得：，
法一：，
在中，由余弦定理得：，得：．
法二：因为，所以，
所以，
所以，解得：．
法三：因为，所以，
，所以．
16．在平面直角坐标系中，已知.
（1）证明：四点共圆；
（2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程；
（3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设经过三点的圆的方程为，
则，
解方程组可得，
所以圆的方程为（或）；
又点在圆上，
所以证得四点在圆上；
（2）解：当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立；
当斜率存在时，设直线方程为，
即，
所以可得，可得，
所以直线为，
所以所求切线方程为或；
（3）解：设的坐标为，依题意可得，
平方化简可得的轨迹方程为，
两圆圆心的距离，
所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点.
【知识点】圆的一般方程；圆的切线方程
【解析】【分析】（1）设经过三点的圆的方程为，再列方程组求出圆的方程，再代入D点坐标判断即可；
（2）分直线斜率不存在、存在两种情况进行讨论，结合相切的几何意义求解即可；
（3）设的坐标为，进而可得的轨迹方程为，再判断两圆的位置关系即可得出结论．
（1）设经过三点的圆的方程为，
则，
解方程组可得，
所以圆的方程为（或）；
又点在圆上，
所以证得四点在圆上；
（2）当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立；
当斜率存在时，设直线方程为，
即，
所以可得，可得，
所以直线为，
所以所求切线方程为或；
（3）设的坐标为，依题意可得，
平方化简可得的轨迹方程为，
两圆圆心的距离，
所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点.
17．某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙难承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.
人数（万）
频数（天） 8 8 16 24 24 a 32
（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的分位数；
（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为该沙难的人数（X为10的倍数，如有8006人，则X取8000）.每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式.以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率.
【答案】（1）解：由总人数为160知.
由图表知道人数在1.0以下的是，在1.2以下的是，
我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，，所以分位数是.
画出频率分布直方图如下所示：
（2）解：由题意知：当时，元.
当时，，
所以.
设销售的利润不少于7000元的事件记为A，实际上得到，
此时.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）首先利用总人数即可求出的值，判断分位数对应频率为0.65的位置，先判断所在区间，再根据该区间的占比情况求出具体的数值，进行计算即可；
（2）由该店准备1000杯饮品，要想卖完需要进入游客为10000人，因此以10000为分界进行讨论分析，分为x≥10000以及x＜10000可以分两段求解与的关系，即可得到分段函数的解析式，然后再结合利用古典概型的概率公式求解即可．
（1）解：由总人数为160知.
由图表知道人数在1.0以下的是，在1.2以下的是，
我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，，所以分位数是.
画出频率分布直方图如下所示：
（2）解：由题意知：当时，元.
当时，，
所以.
设销售的利润不少于7000元的事件记为A，实际上得到，
此时.
18．如图，在四棱锥中，底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，且；
（i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径；
（ii）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：由余弦定理，有，
因为，即，所以，
因为底面平面，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：
（i）连接，
因为平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，同理，有，
因为底面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，因此，有，
所以为四棱锥的外接球的球心.
按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接，由，有，
又，所以是正三角形，
有，易知，
设，则，有，
因为，所以，
有，得，
即，有，
故四棱锥的外接球的半径为
（ii），得，
设平面的法向量为，
由有
则，取，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由有
取，则，
得平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）首先由余弦定理先求得，根据长度关系可得，则，再由线面垂直的性质（若直线垂直平面，则垂直于平面内所有的直线），得到，即有平面，再结合垂直的判定定理（平面内的一条直线垂直另一个平面，则这两个平面垂直）即可得证；
（2）（i）添加辅助线进行连接，结合线面垂直的性质可以得到：，，F是PC的中点，可知，可得出为四棱锥的外接球的球心；然后建立空间直角坐标系，利用三角形全等得出AB=AD，又因为，所以证明出等边三角形，设，然后分别求出点坐标，因为，利用数量积公式可以得到，求得的值，再进而根据，利用勾股定理即可求解；（ii）先分别求得平面的法向量与平面的法向量，然后利用空间向量法求得二面角的余弦值，再结合sin2+cos2=1求出正弦值即可.
（1）由余弦定理，
有，
因为，即，
所以，
因为底面平面，
所以，
因为平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）（i）连接，
因为平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，同理，有，
因为底面平面，
所以，
因为为的中点，
所以，因此，有，
所以为四棱锥的外接球的球心.
按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接，由，有，
又，所以是正三角形，
有，易知，
设，则，有，
因为，所以，
有，得，
即，有，
故四棱锥的外接球的半径为
（ii），得，
设平面的法向量为，
由有
则，取，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由有
取，则，
得平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则
19．（1）已知：如图，两同心圆：和.为大圆上一动点，连接（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为.当点在大圆上运动时，求证：垂足的轨迹是椭圆，并求出椭圆的轨迹方程.
（2）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，是以椭圆为底面的“椭圆柱”，，为下底面椭圆的左右焦点，，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与重合）.求三棱锥的体积的取值范围.
（3）已知集合，，求集合表示的面积.
【答案】证明：（1）设点，，则，令，即，
∵，∴，
即的轨迹是椭圆，椭圆的轨迹方程：.
解：（2）由，
正方形中为中点，易得与重合时与垂直，
此时，，则最大值为，
如上图，构建平面直角坐标系，则，底面椭圆方程为，
设，设，
联立椭圆得，且，
所以，，
而，
令，则，
由对勾函数性质知在上递增，
故，
由
综上所述
解：（3）设椭圆方程为，设点，则点在椭圆上，所以过点作椭圆的切线，则切线方程为，即
∴表示的是椭圆所有切线的集合，即椭圆即椭圆外部所有的点，即，
∴表示椭圆内部，即，
椭圆的面积.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；圆锥曲线的轨迹问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用圆的参数方程分别表示出和R的坐标，然后再结合两点坐标可以表示出的坐标，因为求Q即轨迹方程，可以将Q表示为（x，y）结合由K和R表示的Q点坐标，去建立x与y的关系即可；
（2）结合，因为P为的中点，与重合时与垂直，即可表示出最大值，然后可设直线方程并与椭圆方程进行联立消x可得到：，表示出韦达定理，再去表示，然后利用换元法以及对勾函数判断单调性求出值域，最后求得的范围；
（3）首先利用椭圆的参数方程表示出P点坐标，然后表示出椭圆上P点的切线方程：，由椭圆的切线方程分析得到集合是椭圆及椭圆外所有的点的集合，从而知道集合的几何意义，由椭圆的面积公式求得结果.
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