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分课时学案
课题 3.2.3因式分解法第1课时 单元 三 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解因式分解法的依据，掌握提公因式法、平方差公式法解一元二次方程，能规范写出解题步骤。 2.经历“因式分解一降次转化一求解”的过程，深化转化与降次思想，提高观察、变形与运算能力。 3.能根据方程特征快速判断是否适用因式分解法，提升解题灵活性与优化意识。 4.感受因式分解法的简洁高效，培养规范书写、不丢根、不误用条件的良好解题习惯。
重点 1.因式分解法的依据与解题步骤：右边化0→因式分解→降次为两个一元一次方程→求解。 2.熟练运用提公因式法、平方差公式法解方程。
难点 准确将方程化为右边为 0 的形式，并正确进行因式分解，避免漏解与错解。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.若两个数的积为 0，这两个数满足什么结论？ 2.对进行因式分解。 探究问题 方程不用配方、不用公式，能不能更快解出来？
新知讲解 探究活动一:因式分解法 做一做:解方程:. 像上面这样,利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 议一议:试用公式法解方程,并与因式分解法进行比较,你觉得用哪种方法更简单 总结归纳: 探究活动二:用因式分解法解方程 例7用因式分解法解下列方程： (1); (2); (3). 例8 用因式分解法解方程：. 由例8可以看出， 若我们能把方程的左边进行因式分解后，写成，则 和 就是方程的根. 反过来， 如果 和是方程的根， 则方程的左边就可以分解成. 方法总结:
课堂练习 课堂练习 1.方程x2＝5x的解是( ) A.x1＝－5，x2＝0 B.x1＝5，x2＝0 C.x＝5 D.x＝0 2.方程(x－2)2＝x－2的解是( ) A.x1＝2，x2＝3 B.x1＝2，x2＝1 C.x＝2 D.x＝3 3.方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( ) A.x＝2 B.x＝3 C.x＝－1或x＝2 D.x＝－1或x＝3 4.一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为__ __. 5.若一元二次方程x2－mx＋n＝0的两个根为－3和4，则x2－mx＋n因式分解的结果为__ __. 6.阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案. 解方程x2＋2x＝3x＋6. 解：x(x＋2)＝3(x＋2)， 两边同时除以x＋2，得：x＝3. 7.关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是-2，则k值为( ) A.2或4 B.0或4 C.－2或0 D.－2或2 8.如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( ) A.2或－1 B.0或1 C.2 D.－1 9.阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4. 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 请你按照上述解题思想解方程(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.解方程(x＋3)(x－2)＝0的最佳方法应选择(　　) A.因式分解法 B.直接开平方法 C.配方法 D.公式法 2.将方程x2－5x－6＝0的左边化为两个一次因式的乘积的形式为(　　) A.(x－2)(x－3)＝0 B.(x－2)(x＋3)＝0 C.(x－1)(x＋6)＝0 D.(x＋1)(x－6)＝0 3.方程x2＝2x的解为(　　) A.x1＝x2＝2 B.x1＝x2＝－2 C.x1＝0，x2＝2 D.x1＝0，x2＝－2 4.方程x(x－2)＋x－2＝0的两个根为(　　) A.x1＝x2＝－1 B.x1＝x2＝－2 C.x1＝1，x2＝－2 D.x1＝－1，x2＝2 5.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为10，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为(　　) A.(x＋10)(x－6) B.(x－10)(x＋6) C.(x＋10)(x＋6) D.(x－10)(x－6) 6.若将二次三项式2x2＋px＋q因式分解的结果是2(x＋3)(x－4)，则一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两个根为(　　) A.x1＝－3，x2＝－4 B.x1＝3，x2＝4 C.x1＝－3，x2＝4 D.x1＝3，x2＝－4 7.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝____________. 能力提升: 8.已知一组数据a,4,2,5,3的中位数为b,且a是方程x2-7x+10=0的根,则b的值是　 　. 9.若关于x的方程x2＋2x－3＝0与有一个解相同,则a的值为　 　. 10.已知关于x的方程ax2＋bx－c－8＝0的解与(x－1)(x－3)＝0的解相同,则a＋b－c的值为　 　. 11.用因式分解法解下列方程. (1)x2＋6x＝0； (2) x2－2x－3＝0； (3)5x2－10x＝－5； (4) x(x＋4)＝－3(x＋4). 12.阅读下面的例题: 解方程:x2－|x|－2＝0. 解:①当x≥0时,原方程化为x2－x－2＝0,解得x1＝2,x2＝－1(不合题意,舍去); ②当x<0时,原方程化为x2＋x－2＝0,解得x1＝1(不合题意,舍去),x2＝－2, ∴原方程的根是x1＝2,x2＝－2. 请参照例题解方程:x2－|x－3|－3＝0. 拓展迁移: 13.已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)给k取一个负整数值，解这个方程. 14.阅读下列材料，然后找规律答题： ①方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2； ②方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3； ③方程x2－5x＋4＝0的解为x1＝1，x2＝4; … (1)根据以上方程和解的特征，请猜想： ①方程x2－10x＋9＝0的解为________________； ②关于x的方程x2－(n＋1)x＋n＝0的解为____________________.并说明理由； (2)请写出一个关于x的一元二次方程，且方程中二次项系数为1，使得它的解为x1＝1，x2＝12.
参考答案：
复习回顾:
1.至少有一个数为 0，即若，则或。
2.。
3.可以，先分解为，得或，解得.
探究一：
对于方程,用已学过的配方法,公式法都能求出它的解.由于该方程右边为0,左边的多项式可以进行因式分解,于是还可以采用下述方法求解:
原方程可写在.
由此得或,
即
探究二：
例7: 解：(1)移项可得,
把方程左边因式分解可得,
即,
由此得或。
因此,原方程的根 .
(2)移项可得,
把方程左边因式分解可得,
由此得或。
因此,原方程的根.
(3)原方程可化为.
把方程左边因式分解可得,
由此得或.
因此,原方程的根 .
例8:解：配方，得,
因而
把方程左边因式分解可得,
即,
由此得或。
因此,原方程的根.
课堂练习：
1.B;2.A;3.D;4. x1＝0，x2＝－1;5. (x＋3)(x－4);
6.解:因为不能判断x＋2是否为0，所以方程两边不能同时除以x＋2.
正确得解题过程为x(x＋2)＝3(x＋2)，
x(x＋2)－3(x＋2)＝0，∴(x－3)(x＋2)＝0，
解得x1＝3，x2＝－2.
7.B;8.C;
9. 解:设y＝x2＋x，
则由原方程，得y2－4y－12＝0，
整理，得(y－6)(y＋2)＝0，
解得，y＝6或y＝－2，
当y＝6时，x2＋x＝6，即(x＋3)(x－2)＝0，
解得，x1＝－3，x2＝2.
当y＝－2时，x2＋x＝－2，即x2＋x＋2＝0，该方程无实数解.
综上所述，该方程的解为x1＝－3，x2＝2.
课后提升：
1.A;2.D;3.C;4.D;5.B;6.C;7.-3或4;8.3或4;9.-1;10.8;
11. (1)解：原方程可变形为x(x＋6)＝0，∴x＝0或x＋6＝0.
∴x1＝0，x2＝－6.
(2)解：因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.
∴x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
(3)解:原方程可变形为x2－2x＋1＝0，∴(x－1)2＝0.
∴x1＝x2＝1.
(4)解：原方程可变形为(x＋4)(x＋3)＝0，
∴x＋4＝0或x＋3＝0，
∴x1＝－4，x2＝－3.
12.解:①当x≥3时,原方程化为x2－(x－3)－3＝0,即x2－x＝0,解得x1＝0(不合题意,舍去),x2＝1(不合题意,舍去);
②当x<3时,原方程化为x2＋x－3－3＝0,即x2＋x－6＝0,解得x1＝－3,x2＝2,
∴原方程的根是x1＝－3,x2＝2.
13. (1)解：根据题意，得Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得k＞－3.
(2)(答案不唯一)取k＝－2，则方程为x2－2x＝0.
因式分解，得x(x－2)＝0，解得x1＝0,x2＝2.
14. ①x1＝1，x2＝9
②x1＝1，x2＝n
理由：将方程x2－(n＋1)x＋n＝0左边因式分解得：(x－1)(x－n)＝0.
∴x－1＝0或x－n＝0.
∴x1＝1，x2＝n.
(2)解：以x1＝1，x2＝12为解的方程为x2－13x＋12＝0
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