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哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度下学期高二期末考试
数学试题
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 对于事件，则（ ）
A． B． C． D．
4. 下列说法中正确的有（ ）个
①在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好；
②在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好；
③以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则；
④经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 已知有6个除了颜色外，形状大小材质等都完全一样的球，其中3个白球、2个红球、1个黄球.现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法总数是（ ）种.
A. 120 B. 72 C. 24 D. 12
6. 函数的值域为R，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ）
A． B．
C． D．
8. 已知函数，，当关于实数的方程有6个根时，实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则（ ）
A． B．
C．二项式系数最大的项是第六项 D．
10．已知为正实数，并且，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为2 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．已知定义域为R的函数，，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．点是的对称中心
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. .
13． 甲乙两个口袋，甲袋子中放有4个白球和2个黑球，乙袋子中放有6个白球. 现在从两个袋子各摸一个球并交换，这样交换2次后，记甲袋子中黑球的个数为，则= ___ .
14. 定义在上的函数，则不等式的解集为 __________ .
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分) 已知（且）．（1）若，求方程的解集； （2）若，求的取值范围．
16. (15分) 某校有A、B两家餐厅，王同学第一天午餐随机选择一家，如果第一天去A餐厅，第二天去A餐厅的概率为0.6，若第一天去B餐厅，第二天去A餐厅的概率为0.8，第n天去A餐厅概率为.（1）求；（2）求；（3）若，都是离散型随机变量，则，若王同学该月(30天）累计去A餐厅的次数为，求（保留到小数点后一位）．
17. (15分) 设是等比数列的前项和，已知． （1）求和；
（2）设，求数列的前项和．
18．(17分) 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）：
产品 合格 不合格 合计
调试前 80 60 140
调试后 40 20 60
合计 120 80 200
（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品500件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值．
参考公式及数据：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. (17分)已知函数.（1）若，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：.哈师大附中2025-2026学年度下学期高二期末考试
数学试题答案
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. B
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABD 10. ACD 11. ABD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 4 13. 14.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)解：（1）当时，则，
因为，
所以，
化简可得，
即，
化简得，
所以，
所以或，解得或；
（2）由，且，
若，则，，
若，则，，
综上，的取值范围是．
16. (15分)解：（1）
（2）
（3）记为第天王同学去A餐厅，为第天王同学去B餐厅，
则，则，
又，
所以．
17. (15分)解：（1）设的公比为，则，而，得，
已知，所以，
所以，则.
（2），
18. (17分)解：（1）提出假设：认为参数调试与产品质量无关联，
根据列联表中的数据，计算得到，
故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，
因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联．
（2）由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中，
合格产品有件，则不合格产品有2件，
的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
故的分布列为：
0 1 2
则.
（3）由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故，
则，，
由，
故由可得，
又，则当时，．
由可得，即当时，，
故当事件“”的概率最大时，．
19. (17分)解：
（1）
（2）
（3）■ 2025-2026学年度高二下学期期末考试数学答题卡
条码粘贴区 姓名：＿＿＿＿＿＿
班级：＿＿＿＿＿＿
考号：＿＿＿＿＿＿＿＿
一 选择题: 二 多项选择题
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[ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ]
[ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ]
[ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ]
三 填空题:（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. 13.
14.
四 解答题: (本题共5小题,共77分)
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1 2026 HSDFZ
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2 HSDFZ

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