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分课时学案
课题 3.2.3因式分解法第2课时 单元 三 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.熟练运用完全平方公式、十字相乘法等多种因式分解方法解一元二次方程,规范完成复杂变形与求解。 2.能根据方程项数、系数、结构特点,快速选择最优解法,提升解题速度与准确性。 3.系统梳理一元二次方程四种解法,归纳适用条件与解题步骤,形成完整解法体系。 4.培养观察、判断、优化、验算的良好习惯,发展代数运算与逻辑推理素养。
重点 1.多种因式分解方法的综合运用与整体代换分解技巧。 2.根据方程特点灵活选择最简解法。
难点 复杂方程的恒等变形与整体因式分解,以及在多方法中快速择优的思维形成。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.因式分解法解方程的核心依据是什么？ 2.我们已经学过哪几种解一元二次方程的方法？ 探究问题 观察方程:①②③,不计算直接判断各用哪种方法最简单。
新知讲解 探究活动一:解一元二次方程的方法 前面已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程,但在具体问题中,要根据方程的特点,选择合适的方法来求解. 做一做: 下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由. (1)；(2)； (3). 方法总结: 探究活动二:用合适的方法解一元二次方程 例9:选择合适的方法解下列方程: (1)；(2)； (3). 议一议:用自已的语言总结解一元二次方程的基本思路,并与同学交流. 解一元二次方程的基本思路都是:将一元二次方程转化为一元一次方程,即降次,其本质是把方程的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积,即,于是原方程可以写成.由此得出,或.于是和是方程的两个根. 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.下列方程中适宜用配方法解的是(　　) A. B. C. D. 2.解方程,选择最恰当的方法是(　　) A.开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 3.解方程较为简捷的方法是(　　) A.开平方法或因式分解法 B.开平方法或配方法 C.公式法或因式分解法 D.公式法 4.小明同学解一元二次方程的过程如下: 解:移项,得,…① 配方,得,…② 即,…③ 开平方,得,…④ 所以.…⑤ (1)小明解方程的方法是　　　　,他的求解过程从第　　　　步开始出现错误; (2)写出这个方程的正确解答过程. 5.用适当的方法解下列方程. (1); (2); (3); (4); 6.当为何值时,的值和的值相等 7.已知代数式与的值互为相反数,则x的值是 (　　) A.-1或3 B.1或-3 C.1或3 D.-1或-3 8.已知:关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求的取值范围; (2)写出一个满足条件的的值,并求出此时方程的两个根. 9.关于的一元二次方程. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根都是正整数,求的最小值.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.一个三角形的三边长都是方程的根,则这个三角形的周长不可能是( ). A.B.C.D. 2.已知,则的值是( ). A.B.C.或D.或 3.若一元二次方程有一个根是,则的值及方程的另一个根是( ). A.B. D. 4.已知是一元二次方程的两个实数根,则的值为( ). A.3B.-3C. 5.二次三项式配方的结果是( ). A.B.C.D. 6.关于的方程是一元二次方程的条件是( ). A.且B.C.且D. 能力提升: 7.已知关于的方程(均为常数,且)的两个解分别是和,则方程的解是_________. 8.若直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长是则较短的直角边的长为_________. 9.在中,,第三边的长为一元二次方程的一个根,则该三角形为_________三角形. 10.等腰三角形三边的长分别为,且是关于的一元二次方程的两根,则的值为_________. 11.解方程: (直接开平方法)；(2)((配方法); (3)(公式法);(4)(因式分解法). 拓展迁移: 12.已知关于的一元二次方程,. (1)求证:无论为何实数,该方程总有两个不相等的实数根； (2)当的斜边且两条直角边的长和恰好是这个方程的两个根时,求的值.
参考答案：
复习回顾:1.若,则或。
2.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
3.①直接开平方②因式分解③公式法。
探究一：
(1):因式分解法:
解:把方程左边因式分解可得,
由此得或。
因此,原方程的根.
公式法:
解:这里.
因而,
所以.
因此,原方程的根.
配方法:
解:配方,得,
因此.
由此得或.
解得.
教师讲授:(1)采用因式分解法更简便,因为计算更简便
(2):公式法:
解:这里.
因而,
所以.
因此,原方程的根.
配方法:
解:将二次项系数化为1,得:,
移项得.
配方,得,
因此.
由此得或.
解得,.
教师讲授:(2)采用公式法更简便,只需要将对应的系数代入求解即可。
(3):因式分解法:
解:移项可得,
把方程左边因式分解可得,
由此得或。
因此,原方程的根.
公式法:
解:移项可得,
这里.
因而,
所以.
因此,原方程的根.
小结:(2)采用因式分解法更简便,因为计算更简便.
探究二：
解:(1)将方程左边因式分解可得,
由此得或。
解得.
(2)这里.
因而,
所以.
因此,原方程的根为.
(3)原方程可化为,
即,
由此得或.
解得,.
课堂练习：
1.A　解:当一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时,适宜用配方法来解.
2.D　解:当一元二次方程右边化为0,左边能因式分解时,采用因式分解法来解最合适.
3.A
4.解:(1)配方法　②
(2)因为,
所以,
即,所以
所以,
即.
5.解:(1)移项,得,方程两边同时除以,得,
所以.
(2)因为,
所以,
所以,
所以.
(3)移项,得,
配方,得,即,
所以,
所以.
(4)化简,得,移项,得,
所以.
6.或
7.
8.解:(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根,
所以,
所以,所以.
(2)答案不唯一,如:当时,此时方程为,
所以,
所以.
课后提升：
1.B2.C3.B4.B5.B6.C
;;直角或等腰;10.10
(4).
12.(1),
∵无论k为何实数,总有,
∴无论k为何实数,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)由一元二次方程根与系数的关系,得,在中,根据勾股定理,得,
即,
整理后,得,解得或.
当时,,不符合题意,舍去;
当时,,符合题意,故.
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