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2025-2026学年吉林省延边州延吉市第三高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.用，，，中的任意一个数作分子，，，，中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为( )
A. B. C. D.
3.下列命题为真命题的是( )
A. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
B. 若与线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多
C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于
D. 线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好
4.已知函数的导函数为，的图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
5.下列四组成对数据：
，，，，；
，，，，；
，，，，；
，，，，．
其中样本相关系数最小的是( )
附：样本相关系数
A. B. C. D.
6.现有道四选一的单选题，某生对其中道题有思路，道题完全没有思路有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为该生从这道题中随机选择题，他做对该题的概率为( )
A. B. C. D.
7.若随机事件在一次试验中发生的概率为，用随机变量表示在一次试验中发生的次数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数在区间的值域为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，，则( )
A. B.
C. D.
10.设函数的导函数为，则( )
A. B. 是函数的极值点
C. 有且仅有两个零点 D. 在上的最小值为
11.某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳万人主办公司计划通过广告宣传提高客流量通过调研，发现投入的广告费与每晚客流量存在如下关系：
万元
千人
附：，，，，
令
现用曲线拟合变量与的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数的最小二乘估计，依所求回归方程为预测依据，则( )
A. 曲线经过点
B.
C. 若投入广告费万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
D. 广告费每增加万元，每晚客流量增加人
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去个地方，新疆安排名，青海安排名，西藏安排名，则不同的安排方法共有 ．
13.已知满足，则在处的导数为 ．
14.已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的极值；
Ⅱ画出函数的大致图象．
16.本小题分
已知在的展开式中，第项为常数项．
Ⅰ求含的项的系数；
Ⅱ求展开式中所有的有理项．
17.本小题分
台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自年月日至年月日的免费畅游古城活动景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取人进行调查，得到如下列联表：
调查结果
组别 不满意 满意 合计
高考生游客
中考生游客
合计
根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关；
在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出人，再从这人中随机抽取人做进一步的访谈，求这人中满意人数的概率分布列、数学期望和方差．
附：，．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，求的取值范围；
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：Ⅰ，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值，没有极大值；
Ⅱ当时，，，，
，，，，
且时，函数取得极小值，
故的大致图象如图所示：

16.【答案】解：Ⅰ由通项公式得，
因为第项为常数项，所以时，有，解得，
令，得，故所求含的项的系数为．
Ⅱ根据通项公式，由题意得，令，则，即，
因为，所以应为偶数，所以可以取，，，即可以取，，，
所以第项，第项，第项为有理数，
它们分别为，，．
17.【答案】解：零假设：：满意情况与学生的组别相互独立，
根据列联表中数据可得：
，
所以根据小概率值的独立性检验，没有足够的论据说明成立，
即认为满意情况与学生的组别有关；
根据题意可知选出人中，满意人数为，不满意人数为，
所以，，，
又，
，
，
所以的分布列为：
所以，
．
18.【答案】

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