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2025-2026学年黑龙江省龙东十校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.
B.
C.
D.
2.设等比数列的公比为，则““是“数列为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为( )
A. B.
C. D.
4.已知，且，则下列情况不可能成立的是( )
A. B. C. D.
5.南宋数学家杨辉在详解九章算法商功一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，，以此类推，则第层小球的个数为( )
A.
B.
C.
D.
6.函数，且的图象过一个定点，且点在直线，且图象上，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知关于的不等式的解集为，则的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若函数和它的导函数定义域都是，函数和都是偶函数，又，当时，恒成立，则当时，一定有( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，则( )
A. 若，，则恒成立
B. 若，，则恒成立
C. 数列一定是等差数列
D. 若数列的前项和，则一定是等差数列
10.已知，函数，则( )
A. 若的两个实数根为，，则在区间上单调递减
B. 的图象一定关于点对称
C. 过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线
D. 若有三个实数根，，，则
11.已知，符号表示不小于的最小的整数，例如，，则( )
A. 对于，，都有
B. 函数的值域为
C. 不等式的解集是
D. 若，且方程有且仅有两个相异实根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的值域是 ．
13.若奇函数的定义域为，当时，，则当时， ．
14.若，函数和的公切线斜率为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，都有，求实数的取值范围；
若，使得，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知数列中，，，且．
求数列的通项公式；
若数列中，，求的前项和．
17.本小题分
已知函数的图象关于点对称．
求实数的值；
求关于的不等式的解集．
18.本小题分
如果数列对任意的，，则称为“速增数列”已知正项数列中，，．
求数列的通项公式；
判断数列是不是“速增数列”？请说明理由；
若数列是“速增数列”，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若是函数的极大值点，求实数的取值范围；
若，求证：；
若，求证：函数有且仅有个零点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
18.【答案】
证明：数列是“速增数列”；因为，
所以数列是“速增数列”

19.【答案】
证明：由可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以
证明：由可知，当时，在上单调递增，且，
所以函数有且仅有个零点；当时，在和上单调递增，在上单调递减，
且，所以在区间无零点，
由，
令，
则，
设，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
由，
则，
所以，即，
又因为，，
所以函数有且仅有个零点在区间内；综上所述，若，函数有且仅有个零点
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