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山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，不共线，且则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．3 B． C． D．
5．已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，截面为五边形
B．当时，截面只能是六边形
C．当时，截面的面积最大
D．当时，截面只能是五边形
8．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
二、多选题
9．在三角形中，，，若三角形有两解，则c的可能取值为（ ）
A． B．1.1 C． D．1.01
10．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若复数z满足，则
C．若，为实数，则的最小值为1
D．若复数，则z是方程的一个根
11．在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（ ）
A．无论，取何值，三棱锥的体积为定值10
B．当时，的最小值为
C．当时，直线与直线为异面直线
D．当时，平面
三、填空题
12．已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________.
13．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ．
14．在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为_____．
四、解答题
15．正四棱锥中，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.
(1)求四棱锥的表面积
(2)求四面体的体积.
16．在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
17．如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点．
（1）证明：//平面；
（2）设，求异面直线与所成角的大小．
18．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求角；
(2)若BC的长为，求的取值范围．
(3)若D为线段BC延长线上一点，且，，求．
19．如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.
(1)在斜坐标系中，，求；
(2)在斜坐标系中，，且与的夹角.
①求；
②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小.
五、填空题
20．设的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则________．
21．四棱锥的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点M，N，T．若N为棱PC的中点，则当四棱锥的体积与四棱锥的体积之比最小时，________．
参考答案
1．B
解析：因为，则，故的虚部为.
2．A
解析：因为向量，不共线，且，
那么存在实数，使得，
则有，解得.
3．C
解析：因为，
所以，则，
则，
因为，所以，即向量的夹角为.
4．B
解析：将圆锥沿过点母线展开，由，若扇形圆心角为，则，
所得扇形圆心角，
由余弦定理得蚂蚁爬行的最短路径长为.
故选：B
5．D
解析：因为，，
所以的外接圆半径为．
设球半径为，则，
所以，
．
故选：D．
6．C
解析：因为向量、满足，，且与的夹角为，
则，且与不共线，
因为向量与的夹角为锐角，
则，
即，即，解得，
若向量与共线，则存在，使得，
所以，整理得，解得，
故当向量与不共线时，
因为向量与的夹角为锐角，
故实数的取值范围是.
7．D
解析：对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示：
由正方体性质可得，即可得为正六边形，
因此当时，截面为六边形，即A错误；
对于B，如下图：
当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误；
对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示：
不妨取正方体的棱长为3，易知，
可知为等腰三角形，其底边上的高为，
因此其面积为；
又，可知四变形为等腰梯形；
其高为，因此其面积为；
此时五边形面积为
当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为；
显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误；
对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动，
此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确.
故选：D
8．D
解析：由已知，，，
在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为.
取，所以，
所以.
同理可知，，
所以，
所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上.
如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时，
易知，所以，即的最大值为.
.
9．BD
解析：根据正弦定理可得：，所以，
因为，三角形有两解，则，所以，
所以选项B，D满足条件.
10．AC
解析：对于A，，A正确；
对于B，设，所以，
若，则，所以或，当时，，B错误；
对于C，，则，
即，所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上，
又为实数，所以对应的点在实轴上，到实轴的距离为，
所以的最小值为，C正确；
对于D，，D错误；
11．ABD
解析：由为长方体，动点在平面内，点到平面的距离恒为，，，故选项A正确；
当时，点在线段上，将矩形和矩形沿展开为矩形，则，故选项B正确；
当时，由得，由，故点在上，当时，动点运动到点处时，
由，即，则此时的直线与直线共面，故选项C错误；

当时，由得动点在线段上，连接，，，，，，，平面，平面，则平面，同理平面，，则平面平面，平面,故平面 ，选项D正确.
故选：ABD.
12．
解析：设向量与的夹角为，
由题意可得，
则，又，则.
13．
解析：由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图：
其中，，，，
过作交于，则为的中点，
在中，，，
所以，
将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，
其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，
故此圆台体积为．
故答案为：；．
14．
解析：
由三角形面积公式可得：，
又，
可得：，
即，又，，
所以，又，
所以，所以，即，
即为直角三角形，所以，
又的面积为，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
令，则，
则是方程的两根，
所以，
所以
所以，即，所以，
所以，
则
即
的解析式可知其在单调递增，值域为
所以的取值范围是，
所以的取值范围是.
故答案为：
15．(1)
(2)
解析：（1）
取的中点，连接，
所以，
因为，所以，
所以，
，
所以四棱锥的表面积为；
（2）因为，
所以，
又为上靠近的三等分点，所以，
16．(1)
(2)
解析：（1）由得：，
边化角得：，
在中，，
故，
代入上式得：，
展开化简得：，
因为，，
两边同除以得： ，
又，
因此：；
（2）由三角形面积公式，
代入，
得：
由，代入，，
得，
即，
因为，故，
故的周长为 .
17．（1）证明：连结 AC1 ，交 A1C 于点O，连结OD，
因为D是AB的中点，所以//，
因为平面 ，OD 平面，
所以//平面．
（2）
解析：（1）略
（2）结合（1）易知即为异面直线与所成角，
因为，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又因为该三棱柱是直三棱柱，所以平面 ，
即CD⊥平面 ，
,
．
18．(1)；
(2)
(3)
解析：（1）在中，由条件及正弦定理可得：，
即，
故，则有，
又，，故有，
或（舍去），或（舍去），
则，又，所以；
（2）由正弦定理有：，
故，，即，
，，
，，，
的取值范围是.
（3）设，在和中，
由正弦定理可得，，
于是，又，
则，，
．
19．(1)
(2)①②最小值为，
解析：（1）因为，则，
，
所以；
（2）①因为，，
，，
，
则，
化简并整理得，
解得或（舍去，因为），
则；
②依题意设，，
因为为AB中点，则，
同理，
则，
在中，，依据余弦定理得，
所以
在中，，由正弦定理，
设，则，，
，，
所以，当时，取最小值，此时取最小值，
.
20．/0.75
解析：如图所示，过点A作交BC于点D.
由 可知，且.
取AB的中点E，则有，从而，
，
由有
(负值舍去)．
21．
解：如图所示，设，，其中
由于
故有，
又由于N为棱PC的中点，所以，
所以，，
，，
故有
从而
当且仅当时取等号．

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