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2025-2026学年河南省普通高中高一（下）期末数学试卷（人教B版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.样本数据，，，，，，，的分位数为( )
A. B. C. D.
3.若复数为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，为的中点，点满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个相交平面，有下列四个命题：存在直线与，都平行；存在直线与，都垂直；存在平面与，都平行；存在平面与，都垂直其中正确的命题为( )
A. B. C. D.
6.同时投掷两枚质地均匀的骰子，记事件“两骰子向上面的点数之积为偶数”，“两骰子向上面的点数之积为奇数”，“两骰子向上面的点数之和为偶数”，“两骰子向上面的点数一个为奇数一个为偶数”，则下列各组事件中互斥但不互为对立事件的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
7.已知高一班有名学生，调查他们的体重单位：，得到该班男生体重的平均值为，方差为；女生体重的平均值为，方差为，所有学生体重的方差为，则该班的女生人数为( )
A. B. C. D.
8.将绕其起点逆时针旋转角得到，记作，已知，且，，，若，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数在复平面内对应的点为，复数满足，则( )
A. B. C. D.
10.如图，下列各正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则满足直线与直线的夹角为的有( )
A. B.
C. D.
11.已知甲、乙、丙三个医学科研团队独立攻关某一医学难题，若甲没有攻克而乙攻克的概率为，丙攻克的概率为，且该医学难题被攻克的概率为，则( )
A. 甲攻克的概率为
B. 甲或乙攻克的概率为
C. 恰有两个团队攻克的概率小于甲或乙攻克的概率
D. 至多有一个团队攻克的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的虚部为 ．
13.已知圆台的上、下底面半径分别为和，若该圆台的外接球的表面积为，且外接球球心在圆台的两底面之间，则该圆台的体积为 ．
14.已知为的外心，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知正三棱柱的所有棱长均相等，，，，分别为线段，，，的中点．
证明：平面；
求平面与平面所成的锐二面角的大小．
16.本小题分
已知平面向量，满足，，，．
求；
若，求实数的值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求边上的高的最大值；
若，，线段上的点满足，求的值．
18.本小题分
某校积极开展教改活动，将个水平相近的教学班每班学生数均相等分成两组，其中个班采用全新的教学法，称之为实验班，另外个班采用原来的教学法，称之为非实验班，通过一个学期的教学实验，为检验新教改的效果，统计了这个班的数学期末成绩，成绩均在内，按，，，，，，，分组，作出如下频率分布直方图：
设非实验班、实验班数学平均分分别为，同一组数据以该组所在区间的中间值作代表，若，则认为非实验班与实验班数学成绩有明显差异，否则，认为非实验班与实验班数学成绩无明显差异请通过计算说明非实验班与实验班数学成绩是否有明显差异；
从实验班数学成绩在区间，，内的学生中，按区间采用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的人中至少人的数学成绩在区间的概率；
若以频率估计概率，从非实验班、实验班各随机抽取一名学生的数学成绩，记事件表示“抽取的两学生的数学成绩均低于分”，事件表示“抽取的两学生中仅有一人的数学成绩不低于分”，证明：事件，不相互独立．
19.本小题分
如图，在五面体中，平面平面，，，，，且，．
证明：平面平面；
证明：五面体为三棱台；
线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】取的中点，连接、，
，分别是，的中点，正三棱柱中，且，
故四边形是平行四边形，故DE，，
，分别是，的中点，故，，
正三棱柱中，，是中点，故C，，
故C，，四边形是平行四边形，
故，
又平面，平面，
故平面

16.【答案】
或
17.【答案】

18.【答案】，所以非实验班与实验班数学成绩有明显差异
证明：从非实验班随机抽取一名学生，该生数学成绩低于分的概率为，
低于分的概率为；从实验班随机抽取一名学生，
该生数学成绩低于分的概率为，低于分的概率为，
，
，
所以，
又，
显然，
故事件，不相互独立
19.【答案】因为，所以，
所以由勾股定理逆定理可得，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面
因为，，，平面，，平面，
所以平面，平面，
因为，平面，所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以．
因为，，，所以．
因为，，，所以，
所以，所以．
因为，，平面，所以平面．
因为，所以平面．
因为平面，所以，
因为，，所以．
综上可得：，
则五面体两底面平行，且两底面对应三角形相似，
所以五面体为三棱台
存在，
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