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2025-2026学年吉林省部分校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
3.超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为( )
A. B. C. D.
4.若曲线在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
5.已知变量与变量线性相关，与的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，则关于的经验回归方程可能是( )
A. B. C. D.
6.除以的余数为( )
A. B. C. D.
7.若，，且，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，为两个随机事件，且，，，则( )
A. B. C. D. 与相互独立
10.若，则( )
A. B.
C. D.
11.设关于，，的三元方程的正整数解的组数为，其中，，均为常数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，且，，则 ．
13.已知函数的导函数，且，则在上的最小值为 ．
14.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则 ，在的展开式中，含项的系数为 结果用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录次试验数据，统计涂层无积冰合格、有积冰不合格的情况，整理得到如下列联表：
防冰涂层类型 积冰情况 合计
无积冰 有积冰
电热防冰涂层
疏水防冰涂层
合计
分别求两种防冰涂层的合格率；
依据的独立性检验，能否认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联？
参考公式：，其中．
参考数据：
16.本小题分
吉林雾凇是中国四大自然奇观之一，冬季江水不冻，水汽遇低温凝华在树枝上形成洁白蓬松的雾凇，冰清玉洁，仪态万千某文创店推出的雾凇盲盒销售火爆，货架上仅存个盲盒，其中个盲盒中各有个雾凇冰箱贴，另外个盲盒中各有个雾凇冰晶挂件．
若甲先购买个盲盒，乙再购买个盲盒，求甲买到雾凇冰箱贴且乙买到雾凇冰晶挂件的概率；
若甲一次性购买个盲盒，甲买到的雾凇冰箱贴数量为，雾凇冰晶挂件数量为，记，求的分布列与期望．
17.本小题分
已知三对夫妻坐成一排照相．
求不同的排列数；
求每对夫妻两人均相邻的排列数；
求同性别的人均不相邻的排列数．
18.本小题分
某同学进行投篮训练，投中次记分，未投中次记分，次投篮后累计得分为，当或时，训练结束设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立．
当时，求；
求时训练结束的概率；
记该同学恰好经过次投篮后训练结束，证明：．
19.本小题分
证明：函数在上单调递增．
已知函数有两个不同的零点，．
求的取值范围；
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】疏水防冰涂层合格率为，电热防冰涂层合格率为
在的独立性检验下，可以认为防冰涂层类型和防冰涂层是否有积冰有关联
16.【答案】
的分布列为：

17.【答案】

18.【答案】
因为该同学恰好经过次投篮后训练结束，所以为偶数，故的可能取值为，，，，
；；；
．
则，
所以，
两式作差得，，
即

19.【答案】函数的定义域为，，
令，则．
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以，
所以在上单调递增
．
(ⅱ)证明：不妨假设，因为，所以，得，
由可知，在上单调递增，且，
所以当时，，
当时，，
所以，得，
因为，所以，，
所以，得．
两式相加得，
得
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