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2025-2026学年广东省深圳外国语学校龙华高中部高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若为虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
3.某校举办经典诵读比赛，共有名学生晋级决赛，其中女生有名，现从这名学生中随机选名担任领诵，记选中的这人中女生人数为，则( )
A. B. C. D.
4.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
6.某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知抽取的袋面粉的样本均值单位：千克服从正态分布，若，则的最小值为参考数据：若，则( )
A. B. C. D.
8.甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且第项与第项的二项式系数相等，则下列说法正确的是( )
A. B. 展开式中的系数和等于二项式系数和
C. D.
10.如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且则( )
A.
B.
C.
D. 向量在方向上的投影向量为
11.如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，，为圆的两条直径，且，母线，与该圆锥的内切球分别切于，两点，则( )
A. 圆锥的体积为
B. 球与圆锥的公共点的轨迹的周长为
C. 异面直线与所成角为
D. 平面截球的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若，则 ．
13.已知边长为的正方形，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则三棱锥的体积为 ．
14.甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为，，，，，，，的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为 ；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲、乙两人得分之和的数学期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来年的增长数据万吨，如表所示：
经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；
为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如表：
地区 用设备 用设备
根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关？
参考公式：；
其中为样本容量．
参考数据：
16.本小题分
如图，和所在平面垂直，且，，求：
直线与平面所成角的大小；
平面和平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．
若质点只能在轴上移动，记第秒末质点回到原点的概率为，求；
从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位设质点在第秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
在四棱锥中，平面平面，，，，，，是线段的中点．
证明：．
若二面角的平面角的正弦值为．
求线段的长；
若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币质地均匀，每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为．
求抽取次后，总积分为分的概率；求的值；
设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法；
证明：当时，．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】；
认为增收情况与使用，两种不同设备有关．
16.【答案】解：过点作，交的延长线于，连接，
，，≌，
，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
平面，平面，，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
则，，，
，
平面，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
，，
直线与平面所成角的大小为．
，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
，，
平面和平面夹角的余弦值为．
17.【答案】
的分布列为：

18.【答案】证明：在中，，是线段的中点，
平面平面，平面平面，平面，
平面又平面，，
，即，，，平面，
平面，平面，
；存在实数
19.【答案】； ， 证明：第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况：
第一种情况：第次抽号，概率为，前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为，
第二种情况：第次抽号，其概率为，第次抽号，概率为，
前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为，
故，
则
，
所以当时，，
当时，由知，，
当时，
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