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江西省上饶市鄱阳县鄱阳中学2025-2026学年高一上学期开学考数学试题
一、单选题
1．如下图所示，（ ）

A． B． C． D．
2．的结果在哪两个连续整数之间（ ）
A．7与8 B．8与9 C．9与10 D．10与11
3．如图，在边长为的正方形中，对角线与相交于点，点是上的一个动点，过点作，分别交正方形的两条边于点，，连接，，设，的面积为，则能大致反映与之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．若：，，（），则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知是二次函数图象上的一系列点，其中，记（n为正整数），令，则S的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD内接于，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，BD，CE是的中线，P，Q分别是BD，CE的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点M是正方形ABCD内一点，△MDC是等边三角形，连接AM、BM，对角线BD交CM于点N，给出下列结论：
①，②，
③，④．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
10．对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
11．如图，矩形中，，，点在对角线上，过点作，交边于点，过点作交于点，连接．下列结论正确的是（ ）
A．
B．四边形的面积不变
C．当时，
D．的最小值是20
三、填空题
12．已知，则集合的真子集的个数为___________.
13．计算______．
14．如图，在中，，，点在直线上，，，则的最小值为______________．
四、解答题
15．集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
16．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
17．已知不等式的解集为．
（1）求，的值，并求不等式的解集；
（2）解关于的不等式（，且）．
18．在直角坐标系中，正方形的两边分别在轴、轴上，点的坐标为．
(1)如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于．求点的坐标．
(2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点．求证：平分．
(3)若，为延长线上一动点，过三点作，交于，如图．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
19．已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且．
(1)求点的坐标；
(2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围；
(3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为()．
①求()与之间的函数关系式；
②若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】在七边形中，其内角和为，
即
，
因为七边形的外角和为，即，
则，
故选：C.

2．C
【详解】，
，
，
.
故选：C.
3．B
【详解】当点在上时，
四边形是正方形，边长为，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当点在上时，
同理可得：，．
由此可知，只有B中图象符合题意，
故选：B.
4．D
【详解】由题意：，解得：，（），
所以.
故选：D.
5．D
【详解】由是二次函数 图象上的一系列点，,
所以，
，
，
，
所以
故选：D
6．D
【详解】连接，设，在正方形中，，
由，得，
又，则，解得，
令，则，所以.
故选：D
7．B
【详解】取BE的中点M，连接PM，QM，DE，如图，
因BD，CE是的中线，即点D，E分别为边AC，AB的中点，则，
因M是BE的中点，P是BD的中点，则有，，
又M是BE的中点，Q是CE的中点，则有，，因此点M，P，Q共线，
所以，即.
故选：B
8．D
【详解】对于①：
是等边三角形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
同理，
，故①正确；
对于②：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
对于③：
过点作于，如图所示：
设，
在Rt中，，
，
，
，故③正确；
对于④：
过作于，设，如图所示：
则∥，
，
，
，
∥，
，故④正确；
故选：D．
9．BCD
【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得，
而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；
对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确；
对C，取，，则由，得或3，故C正确；
对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得，
若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，，
且，关于x的方程有一个正根和一个负根.
因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确.
故选：BCD.
10．BD
【详解】A：当时，不成立，错误；
B：由，有，则，正确；
C：由，则，错误；
D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.
故选：BD
11．BCD
【详解】对于A，因为，
如果，则点在线段的中垂线上，
又，则有，即点为中点，
因点是矩形对角线上的动点，不能推得此结论，故A错误；
对于B，如图，延长交于点，
因为，，易得，
从而与相似，故有,
因,代入可得，解得，
所以四边形的面积,为定值，故B正确；
对于C，因为,所以，解得，
易得与相似，
故，
又因为 ,所以,故C正确；
对于D，因为,
所以当最小时，的值最小，
分别作点关于的对称点，
如图，作，连接，易得与全等,则得,
由图知，当三点共线时，的值最小，
同理可得与全等,
所以,而,
所以,又因为,
所以四边形为菱形，
设,则由可得,解得，
所以,所以,
所以的最小值为，故D正确.
12．7
【详解】由题意得，集合中含有，，三个元素，所以集合的真子集个数为.
故答案为：7.
13．5
【详解】此问题可以看作数列的前50项和.
即.
故答案为：5.
14．
【详解】，，即，
∴点在以为直径的圆上，如图，
取的中点，连接，
则，，，
是的直径，.
连接，，
，，
，，
即，.
，.
延长交于点，则，，
，.
，，.
，.
，∴点在上.
取点，连接，则，
连接，则，，，
即点在以点为圆心，1为半径的上运动，
当位于点时，最小，最小值为，
，∴点共线，，
，，
∴BC的最小值为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）若，则，
由得，得，则，
所以或.
（2）因为，所以，
当时，，得，此时满足；
当时，，解得，
综上所述：a的取值范围为.
16．(1)；
(2)会，理由如下：
当运动员在空中距池边的水平距离为米，即时，，
所以此时运动员距水面距离为，
所以此次跳水会出现失误.
(3)米.
【详解】（1）依题意，设抛物线方程为，而抛物线必过，两点，
则有，解得，即有，
所以这个抛物线的解析式为；
（2）此次跳水会出现失误，理由略；
（3）设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)，
则有，解得，
所以运动员此时距池边的水平距离最大为米.
17．(1)，R；(2) 当时，，当时，.
【详解】(1)因不等式的解集为，则，且，2是方程的两个根，
于是得，解得，所以，
不等式化为：，即恒成立，
所以不等式的解集为R；
(2)由(1)知关于的不等式化为：，即，
而，当时，，解得，
当时，原不等式化为：，而，解得，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
18．(1)
(2)详见解析；
(3)
【详解】（1）如图：
连接OG，因为 ，由轴对称得，
又，
所以，则.
（2）如图：
过作，与AO交于点G，与BC交于点E，
因为，所以，
由切线长定理得：，
所以，由切线长定理得，
所以平分.
（3）如图：
连接HT，HS，HA，在AT上取点V，使TV=AS，则，
因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，，
因为，所以，，
因为，所以，
所以为等腰三角形，
所以.
19．(1)
(2)，的取值范围为且；
(3)①；
②.
【详解】（1）令，即，
解得，
又因为当时，，
所以；
（2）设直线的解析式为，将代入，
得，解得，
所以直线的解析式为，
又因为，是直线上方抛物线上的两点，
所以，且，
如图①，过作于点，
因为，易得,
因为，,
所以，
即，
整理得：，
所以，的取值范围为且；
（3）①因为轴，轴，
所以,又因为，
所以四边形为平行四边形，
又因为，
所以，
所以，
由（2）得，，
因为，
所以,
因为，,
所以，
所以，
所以平行四边形的周长为；
当时，，；
当时，，；
综上，；
②当时，，
由二次函数的性质可知；
当时，，
由二次函数的性质可知；
四边形的周长的图象为抛物线上的实线，如图②：
恰好存在四个点，使四边形的周长相等，
即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，
所以四边形的周长的取值范围为.

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