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河北承德市宽城满族自治县2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂直的定义
C．点到直线，垂线段最短 D．两点确定一条直线
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，已知，可得到的是（ ）
A． B． C． D．
5．随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览．据统计，“豆包”在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．下面是计算的过程：
解：原式．
在上述运算中，依据（1）（2）分别表示的是（ ）
A．合并同类项，同底数幂相乘 B．幂的乘方，同底数幂相乘
C．幂的乘方，乘法结合律 D．乘法交换律，合并同类项
7．数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（ ）
A．要消去x，可以将 B．要消去x，可以将
C．要消去y，可以将 D．要消去y，可以将
8．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
9．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题
13．“x的平方与3的和大于5”用不等式表示为：______．
14．已知，，则的值为______．
15．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个．
16．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________．
三、解答题
17．按要求完成下列各小题：
(1)简便运算：；
(2)因式分解：；
(3)先化简，再求值：，其中，．
18．求不等式组的解集，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是 ．
19．如图所示，完成推理过程．
①（已知），
_____（_____）．
②（已知），
_____∥_____（______）．
③（已知），
（_____）
④（已知），
_____（_____）．
20．下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务：
解方程组：
解：，得……第一步
，得……第二步
……第三步
把代入，得……第四步
∴原方程组的解为……第五步
(1)任务一：
上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）；
A．公式法 B．换元法 C．代入法 D．加减法
上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，
在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）；
A．数形结合 B．公理化 C．演绎 D．转化
第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
(2)任务二：请你写出正确的求解过程．
21．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，开水的温度为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．
求该学生接的温水、开水的体积分别是多少？
22．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大；
为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示．
(1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简）
(2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？
23．如图，在中，和的平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系．
24．【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，．
(1)请讨论说明与的位置关系，并说明理由
(2)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由）
解：∵_____（已知），∴（平角的定义），
∵（已知），∴_________（_________），
∵（已知），∴；
(3)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由．
参考答案
1．C
解：根据题意，若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”．
2．C
解：∵，根据不等式性质1，不等式两边同时加(或减)同一个数，不等号方向不变，∴，，故选项A，B错误；
∵，根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴两边同乘得，故选项C正确；
∵，根据不等式性质2，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴两边同除以得，故选项D错误．
3．A
解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意；
B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意．
4．C
解：A．由无法判断；
B．∵，∴，无法判断；
C．如图，
∵，，
∴
∴；
D．由无法判断．
5．B
解：．
6．B
解：第（1）步，，依据是幂的乘方；
第（2）步，，依据是同底数幂相乘．
7．D
解：原方程组为
对选项A：
∵ ①②中，的系数为，无法消去，
∴A错误；
对选项B：
∵ ①②中，的系数为，无法消去，
∴B错误；
对选项C：
∵ ①②中，的系数为，无法消去，
∴C错误；
对选项D：
∵ ①②中，的系数为，可以消去，
∴D正确.
8．D
解：直角三角尺中，，，
，
，点、、在同一直线上，
，
，
，
．
9．A
解：根据题意可知： ，
在数轴上表示如下：
10．A
解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程，
甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为；
根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为，
因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为；
综上，可列方程组为，
故选：A．
11．B
解：根据折叠可知，
即．
∵，
∴，
即，
∴．
故选：B．
12．C
解：对图①，原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证；
对图②，原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；
对图③，原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证；
对图④，原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证；即可以验证的有①②③．
13．
解：根据题意可得：
x的平方表示为，
x的平方与3的和表示为，
由和大于5，列不等式得．
14．
解：对原式因式分解得，
将，代入，得原式 ．
15．
解：三角形三边长分别为，，，
，即，
为正整数，
可以为、、、、，共个．
16．
解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．(1)4
(2)
(3)，8
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，时，
原式
．
18．(1)x＞-2；
(2)x≤2；
(3)见解析
(4)-2＜x≤2．
【详解】（1）
移项，得x＞-2，
故答案为：x＞-2；
（2），
移项得，2x≤4，
系数化为，得x≤2，
故答案为：x≤2；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集是-2＜x≤2，
故答案为：-2＜x≤2．
19．①；内错角相等，两直线平行
②；同位角相等，两直线平行
③同旁内角互补，两直线平行
④；同位角相等，两直线平行
解：①（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
②（已知），
（同位角相等，两直线平行）．
③（已知），
（同旁内角互补，两直线平行）
④（已知），
（同位角相等，两直线平行）．
20．(1)①D
②D
③一；①时等号右边的4没有乘2（言之有理即可）；
(2)见解析
（1）①根据题意可得，阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法，
故选：D；
②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化，
故选：D；
③根据题意可得第一步错误；
理由：①时等号右边的没有乘（言之有理即可）
（2）解：①，得③，
②③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴方程组的解为．
21．该学生接的温水是 ，开水的体积是
解：设该学生接的温水的体积是，开水的体积是，根据题意得：
解得：．
答：该学生接的温水是 ，开水的体积是
22．(1)回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为
(2)山西大院的占地面积更大
（1）解：根据题意得：回字形福建土楼面积为：
；
山西大院的占地面积为：
．
（2）解：当，时，
回字形福建土楼的占地面积；
山西大院的占地面积，
而，
故山西大院的占地面积更大．
23．(1)
(2)
（1）解： ，
，
和的平分线相交于点，
，，
，
．
（2），理由如下：
在中，，
和的平分线相交于点，
，，
，
．
24．(1)解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
(2)90，，两直线平行，内错角相等；
(3)解：，理由如下：
∵与入射镜筒壁平行，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，过点O作，
∴，
∵与直管壁垂直，，
∴与直管壁垂直，
即，
由题干的反射定律可知，
∴，
∵镜筒上下壁可看作分别相互平行的直线，，，，
∴，
∴，
由题干的反射定律可知，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．

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