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2025-2026学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列满足，，则公差为( )
A. B. C. D.
3.若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5.某高校选派名大学生志愿者到、、三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知为直线：上一点，为圆：上一点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处有极大值，则在上的值域为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，点为线段的中点点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若两个变量的相关性越强，则相关系数越大
B. 的展开式中项的系数为
C. 随机变量，若，则
D. 若一组不完全相同的数据，，，的平均数为，则当时，函数取得最小值
10.根据年发布的中国城市餐饮食物浪费报告显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达万吨，相当于万人一年的食物量为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知，，则下列判断正确的是( )
年龄 认可情况
认可 不认可
岁以下
岁以上含岁
A. 在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”
B. 在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动”
C. 有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
11.已知函数，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则函数在上单调递增
B. 若，不等式在区间上恒成立，则
C. 若方程有解，则实数的取值范围为
D. 若不等式对任意恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等比数列的前项之积为，且，则 ．
13.袋子中装有个大小相同的小球，其中黑球有个，白球有，且个，其余的球为红球从袋子中任意取出个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，则红球的个数为 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地区卫生部门为探究居民锻炼习惯与健康状况的关系，开展了一项大规模抽样调查通过分析，研究人员将人群分为“有定期锻炼习惯”和“无定期锻炼习惯”两类，调查结果显示，锻炼习惯与健康指标存在显著关联具体而言，在坚持定期锻炼的居民中，体检指标正常的比例为；而在缺乏锻炼习惯的居民中，这一比例仅为，综合全部样本数据，该地区全体居民体检指标正常的比例为用样本频率估算总体概率．
从该地区随机抽取一人，求此人具有定期锻炼习惯的概率；
现从该地区全体居民中随机抽取人，记其中具有定期锻炼习惯的人数为，求的分布列与数学期望．
16.本小题分
已知数列中，，．
证明：数列为等比数列；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，四边形是边长为的菱形．
证明：平面；
若，．
求平面与平面的夹角；
(ⅱ)若，证明：平面．
18.本小题分
已知椭圆经过点，离心率为．
求的标准方程；
若直线：与交于、两点，为的上顶点，且，证明：直线过定点；
在的条件下，若为坐标原点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若是的导函数的极大值点，求的取值范围；
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
的分布列为

16.【答案】已知数列中，，，
则，即，
故是以为首项，为公比的等比数列

17.【答案】平面，平面，
，
又四边形为菱形，，
且，，平面，
平面
；设，则，，
由，即，得，
，
平面的一个法向量为，
，
又平面平面
18.【答案】
设，，
由，消得，
则，且，，
又，则，，
因为，则，
又，，
所以
，
因为，所以，
整理得到，解得，
所以直线的方程为：，故直线过定点．

19.【答案】
因为，
由知，时，在单调递减，，
所以，
则，即，所以，
所以
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