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2025-2026学年山东省聊城市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.随机变量，，则，分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是( )
A. B. C. D.
3.有件产品，其中件是次品，从中任取件，若表示取得次品的个数，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.位家长带个孩子，人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知在的展开式中，的系数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的个小球，并将它们编号为，，，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过次摸球未能停止摸球”的条件下，经过次摸球停止摸球的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列线性回归分析与分类变量独立性检验的相关说法中，正确的有( )
A. 相关系数的绝对值越大，变量线性相关程度越强
B. 决定系数越大，模型对数据的拟合效果越差
C. 绘制残差图时，残差点均匀分布的水平带状区域宽度越窄，说明回归模型的预测精度越高
D. 独立性检验中，随机变量的值越大，作出推断“认为两变量和不独立”犯错误的概率越小
10.设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则( )
A. B.
C. D.
11.设函数和图象交点的横坐标为，下列说法正确的是( )
A. 若在定义域上不单调，则
B. 若和有相同的最小值，则
C. 当时，
D. 当时，若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.七一前夕，学校图书馆举办“缅怀先烈一纪念建党周年”知识竞答活动，竞答题目中逻辑推理题占，党史知识题占，校园文化题占，小伟同学答对逻辑推理题、党史知识题、校园文化题的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为 ．
13.已知函数没有极值点，则 ．
14.已知某产品在月份到月份销量如表：
月份
销量
设关于的函数，则当取最小值时，的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某班级学习小组共有名学生，其中男生名女生名，计划参与校园文化节相关活动．
活动要求小组至少派人参与，参与人数不限，每名学生均可选择参与或不参与，请问共有多少种不同的参与方案？
若小组名学生都获得了活动入场资格，现要从人中随机抽取人作为活动志愿者．
求抽取的人中女生人数不超过人的选法种数；
求抽取的人中至少有名女生的概率．
16.本小题分
已知．
求的值；
求的值；
求的值．
17.本小题分
某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组调查发现：甲组成员共人，其中男生人．
根据以上数据，填空下述列联表：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关；
现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望．
参考公式：，．
参考数据：
18.本小题分
已知函数，且．
求值；
若曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，求实数的取值范围．
19.本小题分
信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小，设随机变量的分布列为，，定义的信息熵．
若，，求；
若随机变量，求的最大值；
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
；
16.【答案】
17.【答案】列联表：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
有关 的分布列为：
数学期望为
18.【答案】
或
19.【答案】
设，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，取最大值，且最大值为，
则，即，，
令，得，
即，即，
即，
则，
因为，所以，
因为，，所以
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