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山东省泰安市肥城市2025-2026学年 上学期期中考试九年级数学试题
一、单选题
1．如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
2．如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如果把锐角的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（ ）
A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的
C．没有改变 D．无法判断是否发生改变
4．已知，，是反比例函数的图象上的三点，若，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点A与点B关于原点中心对称 B．
C．的周长等于的周长 D．
9．若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④
二、填空题
11．若反比例函数的图象位于第二、四象限，那么a的取值范围是______．
12．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为______．
13．将，，用“＞”号连接起来为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是______．
15．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，在平整的地面上，10个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．
(1)在下面的网格中画出从左面看和从上面看的形状图．
(2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是______．
(3)若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小正方体的位置），继续添加相同的小正方体，搭成一个大正方体，至少还需要小正方体的个数是______．
18．如图，正方形和正方形，点在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，点在边上，点，落在反比例函数第一象限的图象上，其中点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求线段的长；
(3)点在反比例函数图象上，它的纵坐标是，是坐标平面内一点，，，，四个点组成一个平行四边形，请直接写出点坐标．
19．某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求：
(1)点D到地面的距离；
(2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
20．某数学兴趣小组开展一项综合实践活动，记录如下：
【活动项目】测量山坡上一棵垂直于水平地面的大树的高度．
【测量方案】示意图如图所示：
1．在水平地面上正对大树的方向上选取点，在点处测量大树顶端的仰角；
2．沿方向前进到达坡脚点处，在点处测量大树顶端的仰角；
3．测量之间的距离；
4．测量斜坡的坡角．
【测量数据】
1．在点处测得的仰角为；
2．在点处测得的仰角为；
3．；
4．斜坡的坡角为．
请根据以上方案，计算大树的高度．（结果保留精确值．参考数据：，
21．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．
已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案，设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为．
方案一 方案二
如图1，围成一个矩形花圃. 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）.
(1)在方案一中，
①求与的函数表达式；
②若围成的花圃面积为，求与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，求与墙平行的边的长度为多少米？
22．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度与时间成一次函数关系：锻造时，温度与时间成反比例函数关系。已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时与的函数关系式，并且写出自变量的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？．
（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线顶点坐标；
(2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值；
(3)抛物线若经过点，已知和是抛物线上不同的两点，求证：．
参考答案
1．B
解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，
∴它的投影属于中心投影．
故选B．
2．A
解：由俯视图可得主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4．
即主视图为：．
故选：A．
3．C
解：如图所示，在锐角中，是边上的高，
∴；
设锐角的各边长都扩大到原来的4倍后得到的三角形为（其中A、B、C分别与对应），为的边上的高，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴锐角A的正切值没有改变，
故选：C．
4．B
解：，
反比例函数的图象在一、三象限，并且在每一象限内，y随着x的增大而减小，
时，，
当时，，
．
故选：B．
5．C
解：连接，如图
∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
6．A
解：如图，由题意得：米，
，
米
她在水平方向走了米，
故选：A．
7．A
解：∵将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴，
故选：A．
8．C
解：∵反比例函数图象关于原点对称，直线与双曲线交于两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，故A选项正确，不符合题意；
设，则，
∵轴于点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，，
∴B，D选项正确，不符合题意；
∴，，，
∴的周长为，
的周长为，
∴，即的周长不等于的周长，故C选项错误，符合题意；
故选：C ．
9．B
解：∵二次函数与轴有两个交点，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，且，
∴这个方程根的判别式，
∴，
又∵关于的方程的两根，均为正实数，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
10．C
【详解】该二次函数与轴有两个交点，
，
即，故①不正确，不符合题意；
对称轴为直线，
，
，故②正确，符合题意；
由图可知，当时，，
故③正确，符合题意；
抛物线开口方向向下，且对称轴为直线，
当时，取最大值，
对于任意的实数，总有，
即故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有②③④，
故选：．
11．
解：反比例函数的图像位于第二、四象限，
，
解得．
故答案为：．
12．/
解：如图所示，取格点，连接，
∵，，
∴
∴，
故答案为：．
13．
解：依题意，，，
∵在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大，且，
∴，
即，
故答案为：．
14．12
解：如图，作轴交于点D，
∵直线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入，得，
解得，
∴直线，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B，
∴．
故答案为：12．
15．200
解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
∴，，，，
设内侧抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴内侧抛物线的解析式为，
当时，，
∴米，
故答案为：200．
16．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
画出从左面看和从上面看的形状图如下：
(2)
(3)17个
【详解】（1）略
（2）解：观察图形可知，露在外面的面有（个），
则这个几何体喷漆的面积是，
故答案为：．
（3）解：由图可知，当大正方体的边长为3个小正方体时，搭成这个大正方体所需要的小正方体的个数最少，
则搭成一个大正方体，至少还需要小正方体的个数是（个），
故答案为：17个．
18．(1)
(2)
(3)或或
（1）解：∵四边形是正方形，且，
∴点的坐标为．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）小正方形的边长为，则，，
∴点的坐标为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，，
解得（舍去），，
∴，．
在中，．
（3）∵在反比例函数图象上，它的纵坐标是，
∴，设，
∵，，，，
当为对角线时，，解得，∴；
当为对角线时，，解得，∴；
当为对角线时，，解得，∴；
所以的坐标为或或．
19．(1)5米
(2)17.1米
（1）解：∵斜坡的坡度，设，，
∵，
∴，
解得，
答：点D到地面的距离为米；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
斜坡的坡度，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
塔高约为米．
20．大树的高度为
解：延长交于，则，
∵ 斜坡的坡角为，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即大树的高度为．
21．(1)①；②与墙垂直的边的长度为15米
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大
（1）解：①与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
∴，
②根据题意得，
解得，
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，则与墙垂直的边的长度为，
根据题意得，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
22．（1），；（2）锻造一次操作时间为6分钟；（3）加工第一个零件一共需要分钟．
【详解】(1)材料锻造时，设，由题意得，解得，
当时，，解得，
∴点的坐标为(6，800)，材料煅烧时，设，
由题意得，解得，
∴材料煅烧时，与的函数关系式为．
材料锻造时与的函数关系式为；
(2)把代入，得，
，即:锻造一次操作时间为6分钟．
(3)当时，，
∴锻造每个零件需要煅烧两次，第一次煅烧需要6分钟，第二次煅烧从400℃煅烧到800℃，
当时，代入，，用时，
∴加工第一个零件一共需要分钟．
23．(1)
(2)最小值为，最大值为10
(3)见解析
（1）解：把代入抛物线得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：∵将二次函数向左移动1个单位，
∴，此时对称轴为，
当时，范围在对称轴的右侧，y值随x的增加而增加，
∴当时，；
当时，；
（3）证明：将代入抛物线得：
，
∴，
依题意得：，
∴，它的两个根为，，
∴，，
，，
，
∴．

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