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2025-2026学年湖南省衡阳市第八中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则下列结论不正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 若与的夹角为钝角，则且
3.设，，表示三条直线，，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )
A. ，若，则
B. ，，若，则
C. ，若，则
D. ，，，，，若，则
4.下列说法正确的是( )
A. 一组数据的标准差为，则这组数据中的数均相等
B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等
C. 若两个变量的相关系数越接近于，则这两个变量的相关性越强
D. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低
5.若平面向量，，满足，且，则( )
A. B. C. D.
6.设向量，的夹角定义：若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为( )
A. B. C. D.
7.卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的座体育馆举办，将甲、乙、丙、丁名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派名裁判，表示事件“裁判甲派往卢赛尔体育馆”；表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则( )
A. 事件与相互独立 B. 事件与为互斥事件
C. D.
8.已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是( )
A. 设，则样本数据，，，的平均数为
B. 设，，则样本数据，，，的方差为
C. 样本数据，，，的平均数为
D.
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最小值为
C. 若，则
D. 的最大值为
11.已知，都是定义在上的函数，对任意实数，满足，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. 为奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.顶点在单位圆上的中，角，，所对的边分别为，，若，，则______．
13.已知集合，且，则 ．
14.已知函数若，，使得，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，、、所对应的分边别为、、，且满足．
求；
点在线段的延长线上，且，若，求的面积．
16.本小题分
某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为，，，单位：克，得到如图所示的频率分布直方图．
求图中的值，并估计这个样本数据的平均数；同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表
若样本在内的平均质量是克，方差是，在内的平均质量为克，方差是，求这两组质量的总方差．
17.本小题分
对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点．
若，求的不动点；
对于二次函数．
当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围；
若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为棱，的中点．
求证：平面平面；
若，求二面角的大小．
19.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
若是偶函数，求的值；
求关于的方程在上所有的实数根之和．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，
所以；
在中，，
可得，又，可得，
又，，可得为正三角形，
故面积为．
16.【答案】；
17.【答案】 ．

18.【答案】解：证明：平面，、平面，
，
在中，，，
由正弦定理，
则，
，又，，平面，
平面，
又，分别为棱，的中点，
，则平面，又平面，
所以平面平面；
如图，取、中点、，连接、、，
又为的中点，，，
由平面，平面，
又、平面，
，，
由知，
，
、平面，，
平面，又平面，
，
则即为二面角的平面角，
设，则，
，，，
所以在直角三角形中，
，
，
即二面角的大小为．
19.【答案】
或

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