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2025-2026学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若实数，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.设集合，，则集合( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，若一组数据，，，，的平均数为，则该组数据的中位数为( )
A. B. C. D.
6.已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是( )
A. B. 是增函数
C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于轴对称
7.若整数，，经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则此等比数列的公比不可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是( )
A. 只有一个极值点
B. 有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C. 的极小值点小于极大值点，且极小值为
D. 的极小值点大于极大值点，且极大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在边长为的正方形中，剪去以为圆心，为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则( )
A. 该几何体的形状为圆柱中挖去个球
B. 该几何体的形状为圆柱中挖去个球
C. 该几何体的表面积为
D. 该几何体的体积为
10.已知事件，，，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知定义在上的函数满足：对任意实数，，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 函数的最小值为
C. 为上的增函数
D. 关于的不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，常数项为______．
13.由样本数据，求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为 ．
14.已知，，为集合的非空子集，满足：
，；
，中元素均为奇数，中元素均为偶数；
，，中所有元素的和分别记为，，，且则正整数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，，
求数列的通项公式；
若，求的值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
如图，是外一点，若，，，，求平面四边形的对角线的长．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，平面，为棱的中点，且，，直线与平面所成的角为．
证明：．
求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
某商场举行回馈顾客的抽奖游戏箱子里有张奖券，其中张“金券”，张“银券”每张“金券”面值均为元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，，元顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到张“金券”时停止，不可中途退出游戏游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金现有一顾客参加了此次抽奖游戏．
求游戏停止时该顾客共抽取次的概率；
求该顾客的奖金不低于元的概率；
已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量，，有，求该顾客的奖金的期望．
19.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若，求的取值范围；
若，设，且，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】由平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以

18.【答案】 元
19.【答案】单调递减区间为，单调递增区间为；
；
证明：由 知，当时，，当且仅当时等号成立，
则，即，同理，
于是，即，
当时， ，，显然当时，，单调递增，
当时，令，则，
当时，；当时，，
则当时，，单调递增，
而，且 ，则存在唯一，使得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又， ，则存在唯一，使得，
因此当时，，当时，，
而，且，于是，即，
又，则，即，从而，
所以
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