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2025-2026学年陕西省铜川市第一中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据，，，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：，，，，，，，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. 的虚部为 D.
4.某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学按，，进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个个体是注：表为随机数表的第行和第行
A. B. C. D.
5.水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点．有以下三个命题：
异面直线与所成的角是定值；
三棱锥的体积是定值；
直线与平面所成的角是定值．
其中真命题的个数是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知三棱锥中，，，，，则( )
A. 三棱锥的外接球的体积为 B. 三棱锥的外接球的体积为
C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为
10.某班级有名学生，其中名男生、名女生随机询问了该班名男生和名女生在某次数学测验中的成绩，名男生的成绩分别为，，，，，名女生的成绩分别为，，，，则下列说法不正确的是( )
A. 这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样
B. 这种抽样方法是一种简单随机抽样
C. 这名男生成绩的方差大于这名女生成绩的方差
D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
11.已知，，分别是三个内角，，的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若是的重心，则
C. 若为的垂心，，则
D. 若分别表示，的面积，则：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出人服役，则西乡抽 人．
13.已知在三棱锥中，，，且，平面，则其外接球体积为 ．
14.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，，，则试用向量表示向量 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知复数，其中为虚数单位．
若是纯虚数，求实数的值；
若，是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值．
17.本小题分
某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差
18.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，底面，．
求四棱锥的表面积；
求点到平面的距离．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
取中点，求证：平面，
求直线与所成角的余弦值，
在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角，如果不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为向量，且，
所以，由正弦定理得，
又因为，所以，因为，
所以；
由余弦定理得，因为，
所以，即因为，所以，
故的面积为．
16.【答案】解：因为复数，
是纯虚数，，且，
解得，
故
当时，．
因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以的共轭复数也是实系数方程的根，
所以，，
解得，，
故．
17.【答案】解：一至六组的频率分别为，，，，，，
所以平均数估计为：
，
由图可知，众数为，以样本估计总体，
该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分；
前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
所以第分位数落在第组，设为，
则，
解得，
所以“防溺水达人”的成绩至少为分；
的频率为，的频率为，
所以的频率与的频率之比为，
的频率与的频率之比为，
设内的平均成绩和方差分别为，，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为．
18.【答案】

19.【答案】证明：取中点，连结、、，
在四棱锥中，平面，，，
，，，是中点，
，，
，，、平面，、平面，
平面平面，
平面，平面．
解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设直线与所成角为，
则．
直线与所成角的余弦值为．
假设在线段上，存在一点，使得二面角的大小为，
设，，，
则，
，
，，
设平面的法向量，
则
取，得，
平面的法向量，
二面角的大小为，
，
则，解得，，
，，
，
设与平面所成角为，
则，，
与平面所成角为．
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